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- 2021-06-11 发布
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第
2
课时 圆内接四边形的性质与判定定理
【
课标要求
】
1
.
理
解圆内接四边形的两条性质定理,能应用定理解决相关的几何问题.
2
.
理
解圆内接四边形判定定理及推论,能应用定理及推论解决相关的几何问题.
【
核心扫描
】
1
.
用
圆内接四边形的判定定理判断四点共圆.
(
重点
)
2
.
用
圆内接四边形的性质定理解决相关问题.
(
难点
)
自学导引
1
.
圆内接多边形
(1)
如果
多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.
(2)
同样,如果四边形的四个顶点都在同一个圆上,则称该四边形为圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.
2
.
圆内接四边形的两个性质定理
(1)
定理
1
:圆的内接四边形的
.
(2)
定理
2
:圆内接四边形的外角等于
.
对角互补
它的内角的对角
3
.圆内接四边形的判定定理
(1)
圆内接四边形的判定定理
如果一个四边形的
,那么这个四边形的四个顶点共圆.
(2)
圆内接四边形的判定定理的推论
如果四边形的一个外角等于
,那么这个四边形的四个顶点共圆.
对角互补
它的内角的对角
(3)
判断四点共圆的常用方法
①
如果四个点与一定点的距离相等,那么这四个点共圆;
②
如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆;
③
如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆;
④
如果两个三角形有公共边,公共边所对的角相等且在公共边的同侧,那么这两个三角形的四个顶点共圆.
试一试:
判断下列各命题是否正确.
(1)
任意三角形都有一个外接圆,但可能不止一个;
(2)
矩形有唯一的外接圆;
(3)
菱形有外接圆;
(4)
正多边形有外接圆.
提示
(1)
错误,任意三角形有唯一的外接圆;
(2)
正确,因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等;
(3)
错误,只有当菱形是正方形时才有外接圆;
(4)
正确,因为正多边形的中心到各顶点的距离相等.
名师点睛
1
.
(1)
要
注意圆内接四边形的四个内角都是圆周角这一特点.利用圆周角定理,把圆周角与相应的圆心角联系起来,从而得出圆内接四边形性质定理
1
,然后在性质定理
1
的基础上,推出了性质定理
2.
(2)
圆内接四边形的性质定理为证明角的相等或互补提供了理论依据,因而也为论证角边关系提供了一种新方法.
2
.
掌握圆的内接四边形需注意的问题
(1)
在
圆内接四边形的判定定理的证明中,利用了穷举法.所谓的
“
穷举法
”
就是当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情况分别论证,最后获证结论的方法.在每一种情形的证明中都用到了反证法,要注意这些方法的应用.
(2)
圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况,它们的关系可以用集合形式表示:
{
圆内接四边形
}
⊆
{
圆内接多边形
}
.
(3)
掌握一些常见的结论,例如,正多边形一定存在外接圆;三角形一定存在外接圆,并且三角形的外接圆的圆心
(
即外心
)
是三条边的垂直平分线的交点;圆内接梯形一定是等腰梯形等.
(4)
要注意圆内接四边形的性质定理和判定定理的综合应用.
题型一 用圆内接四边形的性质定理解决与线段长度有关的问题
【
例
1】
在
⊙
O
中,
AC
=
AB
,
E
是弦
BC
延长线上的一点,
AE
交
⊙
O
于点
D
.
求证:
AC
2
=
AD
·
AE
.
反思感悟
要证明等积式,因比例式是等积式的一种特殊形式,故可转化为比例式.只需找到包含
AC
、
AD
、
AE
的两个三角形来证明.而要证三角形相似,可借助圆内接四边形的性质,得出对应的角相等.
【
变式
1】
如
图所示,
AD
是
△
ABC
外角
∠
EAC
的角平分线,
AD
与三角形的外接圆
⊙
O
交于点
D
.
求证:
DB
=
DC
.
证明
∵
AD
是
△
ABC
的外角
∠
EAC
的平分线,
又
∵∠
EAD
=
∠
BCD
,
∠
CAD
=
∠
CBD
.
∴ ∠
DBC
=
∠
DCB
.
∴
DC
=
B
D
.
题型二 利用圆内接四边形的性质定理求角
【
例
2】
如
图所示,已知四边形
ABCD
内接于圆,延长
AB
和
DC
相交于
E
,
EG
平分
∠
BEC
,且与
BC
、
AD
分别
相交于
F
、
G
.
求证:
∠
CFG
=
∠
DGF
.
[
思维启迪
]
已知四边形
ABCD
内接于圆,自然想到圆内接四边形的性质定理,即
∠
BCE
=
∠
BAD
,又
EG
平分
∠
BEC
,故
△
CFE
∽△
AGE
.
下面易证
∠
CFG
=
∠
DGF
.
证明
因
为四边形
ABCD
是圆内接四边形,
所以
∠
ECF
=
∠
EAG
.
又因为
EG
平分
∠
BEC
,
即
∠
CEF
=
∠
AEG
,所以
△
EFC
∽△
EGA
.
所以
∠
EFC
=
∠
EGA
.
而
∠
EGD
=
180°
-
∠
EGA
,
∠
CFG
=
180°
-
∠
EFC
,
所以
∠
CFG
=
∠
DGF
.
反思感悟
利用圆内接四边形的性质定理求角
(1)
观察图形,找出圆内接四边形的对角或外角与其内对角;
(2)
利用圆内接四边形的性质定理
1
或性质定理
2
求出所要求的角.
(3)
当题目中出现圆内接四边形时,首先利用性质定理,再结合其他条件进行推理证明.
【
变式
2】
如图
所示,在圆内接
四边形
ABCD
中,
AC
平分
BD
,
且
AC
⊥
BD
.
∠
BAD
=
72°
,
求四边形其余的各角.
解
∵
四边形
ABCD
是圆内接四边形,
∴∠
BAD
+
∠
BCD
=
180°.
又
∵∠
BAD
=
72°
,
∴∠
BCD
=
108°.
又
∵
AC
平分
BD
,并且
AC
⊥
BD
,
∴
AC
是四边形
ABCD
外接圆的直径.
∴∠
ABC
=
∠
ADC
=
90°.
题型三 利用圆内接四边形的判定定理证明四点共圆问题
【
例
3】
如
图所示,在
△
ABC
中,
AD
=
DB
,
DF
⊥
AB
交
AC
于
F
,
AE
=
EC
,
EG
⊥
AC
交
AB
于
G
.
求证:
(1)
D
、
E
、
F
、
G
四点共圆;
(2)
G
、
B
、
C
、
F
四点共圆.
[
思维启迪
]
(1)
要证
D
、
E
、
F
、
G
四点共圆,只需找到过这四点的外接圆的圆心,证明圆心到四点的距离相等,可取
GF
的中点
H
,证点
H
即为圆心.
(2)
要证
G
、
B
、
C
、
F
四点共圆,只需证
∠
B
=
∠
AFG
(
或
∠
C
=
∠
AGF
)
,由
D
、
E
为中点,可知
DE
∥
BC
,
∠
B
=
∠
ADE
,故只需证
∠
ADE
=
∠
AFG
,由
D
、
E
、
F
、
G
四点共圆可得.
证明
(1)
如
图,连接
GF
,取
GF
的中点
H
.
∵
DF
⊥
AB
,
EG
⊥
AC
,
∴△
DGF
,
△
EGF
都是直角三角形.又
∵
点
H
是
GF
的中点,
∴
点
H
到
D
、
E
、
F
、
G
的距离相等,
∴
点
H
是过
D
、
E
、
F
、
G
的外接圆的圆心,
∴
D
、
E
、
F
、
G
四点共圆.
(2)
连接
DE
.
由
(1)
知
D
、
G
、
F
、
E
四点共圆.
由四点共圆的性质定理的推论,得
∠
ADE
=
∠
AFG
.
∵
AD
=
DB
,
AE
=
EC
,
∴
D
是
AB
的中点,
E
是
AC
的中点,
∴
DE
∥
BC
,
∴∠
ADE
=
∠
B
,
∴∠
AFG
=
∠
B
,
∴
G
、
B
、
C
、
F
四点共圆.
反思感悟
(1)
判断四点共圆的步骤:
①
观察几何图形,找到一定点、一对对角或一外角与其内对角;
②
判断四点与这一定点的关系;
③
判断四边形的一对对角的和是否为
180°
;
④
判断四边形一外角与其内对角是否相等;
⑤
下结论.
(2)
注意事项:
在证明一个命题成立时,要根据命题中的条件和结论画出图形,并且写出已知和求证.
【
变式
3】
已知四边形
ABCD
为平行四边形,过点
A
和点
B
的圆与
AD
、
BC
分别交于
E
、
F
,求证:
C
、
D
、
E
、
F
四点共圆.
证明
连接
EF
,因为四边形
ABCD
为平行四边形,
所以
∠
B
+
∠
C
=
180°.
因为四边形
ABFE
内接于圆,
所以
∠
B
+
∠
AEF
=
180°.
所以
∠
AEF
=
∠
C
.
所以
C
、
D
、
E
、
F
四点共圆.
方法技巧 综合运用圆内接四边形的性质定理与判定定理解决
问题
【
示例
1】
已
知
CF
是
△
ABC
的
AB
边上的高,
FP
⊥
BC
,
FQ
⊥
AC
.
求证:
A
、
B
、
P
、
Q
四点共圆.
[
思维启迪
]
首先,连接
PQ
,要证
A
、
B
、
P
、
Q
四点共圆,只要利用判定定理或推论即可.而由题目中的垂直条件易得
Q
、
F
、
P
、
C
四点共圆,再考虑利用圆内接四边形的性质.
证明
连
接
PQ
,
在四边形
QFPC
中,
因为
PF
⊥
BC
,
FQ
⊥
AC
,
所以
∠
FQA
=
∠
FPC
=
90°.
所以
Q
、
F
、
P
、
C
四点共圆.
所以
∠
QFC
=
∠
QPC
.
又因为
CF
⊥
AB
,
所以
∠
QFC
与
∠
QFA
互余.
而
∠
A
与
∠
QFA
也互余,
所以
∠
A
=
∠
QFC
.
所以
∠
A
=
∠
QPC
.
所以
A
、
B
、
P
、
Q
四点共圆.
反思感悟
熟练掌握圆内接四边形的判定定理及其推论.
【
示例
2】 (2011
·
辽宁高考
)
如
图,
A
,
B
,
C
,
D
四点在同一圆上,
AD
的延长线与
BC
的延长线交于
E
点,且
EC
=
ED
.
(1)
证明:
CD
∥
AB
;
(2)
延长
CD
到
F
,延长
DC
到
G
,使得
EF
=
EG
,证明:
A
,
B
,
G
,
F
四点共圆.
[
思维启迪
]
利用圆内接四边形的性质与判定定理证明.
证明
(1)
因
为
EC
=
ED
,所以∠
EDC
=∠
ECD
.
因为
A
,
B
,
C
,
D
四点在同一圆上,所以
∠
EDC
=
∠
EBA
.
故
∠
ECD
=
∠
EBA
.
所以
CD
∥
AB
.
(2)
由
(1)
知,
AE
=
BE
.
因为
EF
=
EG
,
故
∠
EFD
=
∠
EGC
,从而
∠
FED
=
∠
GEC
.
连接
AF
,
BG
,则
△
EFA
≌△
EGB
,
故
∠
FAE
=
∠
GBE
.
又
CD
∥
AB
,
所以
∠
FAB
=
∠
GBA
.
所以
∠
AFG
+
∠
GBA
=
180°.
故
A
,
B
,
G
,
F
四点共圆.
反思感悟
本题考查了圆内接四边形的性质与判定定理.