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  • 2021-06-11 发布

高中数学人教a版选修4-1配套课件:2_2 圆内接四边形的性质与判定定理

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第 2 课时 圆内接四边形的性质与判定定理 【 课标要求 】 1 . 理 解圆内接四边形的两条性质定理,能应用定理解决相关的几何问题. 2 . 理 解圆内接四边形判定定理及推论,能应用定理及推论解决相关的几何问题. 【 核心扫描 】 1 . 用 圆内接四边形的判定定理判断四点共圆. ( 重点 ) 2 . 用 圆内接四边形的性质定理解决相关问题. ( 难点 ) 自学导引 1 . 圆内接多边形 (1) 如果 多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆. (2) 同样,如果四边形的四个顶点都在同一个圆上,则称该四边形为圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆. 2 . 圆内接四边形的两个性质定理 (1) 定理 1 :圆的内接四边形的 . (2) 定理 2 :圆内接四边形的外角等于 . 对角互补 它的内角的对角 3 .圆内接四边形的判定定理 (1) 圆内接四边形的判定定理 如果一个四边形的 ,那么这个四边形的四个顶点共圆. (2) 圆内接四边形的判定定理的推论 如果四边形的一个外角等于 ,那么这个四边形的四个顶点共圆. 对角互补 它的内角的对角 (3) 判断四点共圆的常用方法 ① 如果四个点与一定点的距离相等,那么这四个点共圆; ② 如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆; ③ 如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆; ④ 如果两个三角形有公共边,公共边所对的角相等且在公共边的同侧,那么这两个三角形的四个顶点共圆. 试一试: 判断下列各命题是否正确. (1) 任意三角形都有一个外接圆,但可能不止一个; (2) 矩形有唯一的外接圆; (3) 菱形有外接圆; (4) 正多边形有外接圆. 提示  (1) 错误,任意三角形有唯一的外接圆; (2) 正确,因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等; (3) 错误,只有当菱形是正方形时才有外接圆; (4) 正确,因为正多边形的中心到各顶点的距离相等. 名师点睛 1 . (1) 要 注意圆内接四边形的四个内角都是圆周角这一特点.利用圆周角定理,把圆周角与相应的圆心角联系起来,从而得出圆内接四边形性质定理 1 ,然后在性质定理 1 的基础上,推出了性质定理 2. (2) 圆内接四边形的性质定理为证明角的相等或互补提供了理论依据,因而也为论证角边关系提供了一种新方法. 2 . 掌握圆的内接四边形需注意的问题 (1) 在 圆内接四边形的判定定理的证明中,利用了穷举法.所谓的 “ 穷举法 ” 就是当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情况分别论证,最后获证结论的方法.在每一种情形的证明中都用到了反证法,要注意这些方法的应用. (2) 圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况,它们的关系可以用集合形式表示: { 圆内接四边形 } ⊆ { 圆内接多边形 } . (3) 掌握一些常见的结论,例如,正多边形一定存在外接圆;三角形一定存在外接圆,并且三角形的外接圆的圆心 ( 即外心 ) 是三条边的垂直平分线的交点;圆内接梯形一定是等腰梯形等. (4) 要注意圆内接四边形的性质定理和判定定理的综合应用. 题型一 用圆内接四边形的性质定理解决与线段长度有关的问题 【 例 1】 在 ⊙ O 中, AC = AB , E 是弦 BC 延长线上的一点, AE 交 ⊙ O 于点 D . 求证: AC 2 = AD · AE . 反思感悟  要证明等积式,因比例式是等积式的一种特殊形式,故可转化为比例式.只需找到包含 AC 、 AD 、 AE 的两个三角形来证明.而要证三角形相似,可借助圆内接四边形的性质,得出对应的角相等. 【 变式 1】 如 图所示, AD 是 △ ABC 外角 ∠ EAC 的角平分线, AD 与三角形的外接圆 ⊙ O 交于点 D . 求证: DB = DC . 证明  ∵ AD 是 △ ABC 的外角 ∠ EAC 的平分线, 又 ∵∠ EAD = ∠ BCD , ∠ CAD = ∠ CBD . ∴ ∠ DBC = ∠ DCB . ∴ DC = B D . 题型二 利用圆内接四边形的性质定理求角 【 例 2】 如 图所示,已知四边形 ABCD 内接于圆,延长 AB 和 DC 相交于 E , EG 平分 ∠ BEC ,且与 BC 、 AD 分别 相交于 F 、 G . 求证: ∠ CFG = ∠ DGF . [ 思维启迪 ] 已知四边形 ABCD 内接于圆,自然想到圆内接四边形的性质定理,即 ∠ BCE = ∠ BAD ,又 EG 平分 ∠ BEC ,故 △ CFE ∽△ AGE . 下面易证 ∠ CFG = ∠ DGF . 证明  因 为四边形 ABCD 是圆内接四边形, 所以 ∠ ECF = ∠ EAG . 又因为 EG 平分 ∠ BEC , 即 ∠ CEF = ∠ AEG ,所以 △ EFC ∽△ EGA . 所以 ∠ EFC = ∠ EGA . 而 ∠ EGD = 180° - ∠ EGA , ∠ CFG = 180° - ∠ EFC , 所以 ∠ CFG = ∠ DGF . 反思感悟  利用圆内接四边形的性质定理求角 (1) 观察图形,找出圆内接四边形的对角或外角与其内对角; (2) 利用圆内接四边形的性质定理 1 或性质定理 2 求出所要求的角. (3) 当题目中出现圆内接四边形时,首先利用性质定理,再结合其他条件进行推理证明. 【 变式 2】 如图 所示,在圆内接 四边形 ABCD 中, AC 平分 BD , 且 AC ⊥ BD . ∠ BAD = 72° , 求四边形其余的各角. 解  ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形, ∴∠ BAD + ∠ BCD = 180°. 又 ∵∠ BAD = 72° , ∴∠ BCD = 108°. 又 ∵ AC 平分 BD ,并且 AC ⊥ BD , ∴ AC 是四边形 ABCD 外接圆的直径. ∴∠ ABC = ∠ ADC = 90°. 题型三 利用圆内接四边形的判定定理证明四点共圆问题 【 例 3】 如 图所示,在 △ ABC 中, AD = DB , DF ⊥ AB 交 AC 于 F , AE = EC , EG ⊥ AC 交 AB 于 G . 求证: (1) D 、 E 、 F 、 G 四点共圆; (2) G 、 B 、 C 、 F 四点共圆. [ 思维启迪 ] (1) 要证 D 、 E 、 F 、 G 四点共圆,只需找到过这四点的外接圆的圆心,证明圆心到四点的距离相等,可取 GF 的中点 H ,证点 H 即为圆心. (2) 要证 G 、 B 、 C 、 F 四点共圆,只需证 ∠ B = ∠ AFG ( 或 ∠ C = ∠ AGF ) ,由 D 、 E 为中点,可知 DE ∥ BC , ∠ B = ∠ ADE ,故只需证 ∠ ADE = ∠ AFG ,由 D 、 E 、 F 、 G 四点共圆可得. 证明  (1) 如 图,连接 GF ,取 GF 的中点 H . ∵ DF ⊥ AB , EG ⊥ AC , ∴△ DGF , △ EGF 都是直角三角形.又 ∵ 点 H 是 GF 的中点, ∴ 点 H 到 D 、 E 、 F 、 G 的距离相等, ∴ 点 H 是过 D 、 E 、 F 、 G 的外接圆的圆心, ∴ D 、 E 、 F 、 G 四点共圆. (2) 连接 DE . 由 (1) 知 D 、 G 、 F 、 E 四点共圆. 由四点共圆的性质定理的推论,得 ∠ ADE = ∠ AFG . ∵ AD = DB , AE = EC , ∴ D 是 AB 的中点, E 是 AC 的中点, ∴ DE ∥ BC , ∴∠ ADE = ∠ B , ∴∠ AFG = ∠ B , ∴ G 、 B 、 C 、 F 四点共圆. 反思感悟  (1) 判断四点共圆的步骤: ① 观察几何图形,找到一定点、一对对角或一外角与其内对角; ② 判断四点与这一定点的关系; ③ 判断四边形的一对对角的和是否为 180° ; ④ 判断四边形一外角与其内对角是否相等; ⑤ 下结论. (2) 注意事项: 在证明一个命题成立时,要根据命题中的条件和结论画出图形,并且写出已知和求证. 【 变式 3】 已知四边形 ABCD 为平行四边形,过点 A 和点 B 的圆与 AD 、 BC 分别交于 E 、 F ,求证: C 、 D 、 E 、 F 四点共圆. 证明  连接 EF ,因为四边形 ABCD 为平行四边形, 所以 ∠ B + ∠ C = 180°. 因为四边形 ABFE 内接于圆, 所以 ∠ B + ∠ AEF = 180°. 所以 ∠ AEF = ∠ C . 所以 C 、 D 、 E 、 F 四点共圆. 方法技巧 综合运用圆内接四边形的性质定理与判定定理解决 问题 【 示例 1】 已 知 CF 是 △ ABC 的 AB 边上的高, FP ⊥ BC , FQ ⊥ AC . 求证: A 、 B 、 P 、 Q 四点共圆. [ 思维启迪 ] 首先,连接 PQ ,要证 A 、 B 、 P 、 Q 四点共圆,只要利用判定定理或推论即可.而由题目中的垂直条件易得 Q 、 F 、 P 、 C 四点共圆,再考虑利用圆内接四边形的性质. 证明  连 接 PQ , 在四边形 QFPC 中, 因为 PF ⊥ BC , FQ ⊥ AC , 所以 ∠ FQA = ∠ FPC = 90°. 所以 Q 、 F 、 P 、 C 四点共圆. 所以 ∠ QFC = ∠ QPC . 又因为 CF ⊥ AB , 所以 ∠ QFC 与 ∠ QFA 互余. 而 ∠ A 与 ∠ QFA 也互余, 所以 ∠ A = ∠ QFC . 所以 ∠ A = ∠ QPC . 所以 A 、 B 、 P 、 Q 四点共圆. 反思感悟  熟练掌握圆内接四边形的判定定理及其推论. 【 示例 2】 (2011 · 辽宁高考 ) 如 图, A , B , C , D 四点在同一圆上, AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC = ED . (1) 证明: CD ∥ AB ; (2) 延长 CD 到 F ,延长 DC 到 G ,使得 EF = EG ,证明: A , B , G , F 四点共圆. [ 思维启迪 ] 利用圆内接四边形的性质与判定定理证明. 证明  (1) 因 为 EC = ED ,所以∠ EDC =∠ ECD . 因为 A , B , C , D 四点在同一圆上,所以 ∠ EDC = ∠ EBA . 故 ∠ ECD = ∠ EBA . 所以 CD ∥ AB . (2) 由 (1) 知, AE = BE . 因为 EF = EG , 故 ∠ EFD = ∠ EGC ,从而 ∠ FED = ∠ GEC . 连接 AF , BG ,则 △ EFA ≌△ EGB , 故 ∠ FAE = ∠ GBE . 又 CD ∥ AB , 所以 ∠ FAB = ∠ GBA . 所以 ∠ AFG + ∠ GBA = 180°. 故 A , B , G , F 四点共圆. 反思感悟  本题考查了圆内接四边形的性质与判定定理.

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