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  • 2021-06-11 发布

【数学】浙江省湖州中学2021届高三上学期第二次质检试题

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浙江省湖州中学 2021 届高三上学期第二次质检试题 一、选择题:每小题 4 分,共 40 分 1.若集合  0,1, 2A  ,   2lg 0B x x  ,则 A B ( ) A. 0,1, 2 B. 1,0,1,2 C. 1 D. 0 2.双曲线 2 2 1 4 3 y x   的焦点坐标是( ) A.  1,0 B.  7,0 C.  0, 1 D.  0, 7 3.已知 i为虚数单位,且  3 1z i i   ,则 z ( ) A. 1 2 5 5 i B. 1 2 5 5 i C. 2 1 5 5 i D. 2 1 5 5 i 4.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积是 ( ) A. 3 B. 3 6 C. 3 3 D. 2 3 3 5.若 4sin 6 5 x      ,则 sin 2 6 x     的值是( ) A. 24 25 B. 24 25  C. 7 25 D. 7 25  6.若 xR ,则“ 2a  ”是“函数  f x x a  在区间 1,  上单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.把函数 2sin 2y x 的图象向左平移 8  单位后得到函数  y g x 的图象,再把函数  y g x 的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标保持不变),则所得函数图象 的一条对称轴方程为( ) A. 16 x   B. 3 16 x   C. 4 x   D. 3 8 x   8.已知数列 na 满足 2 1 2 3 2nna a a a  ,且对任意 *Nn 都有 1 2 3 1 1 1 1 n t a a a a      , 则实数 t的取值范围是( ) A. 1 , 3      B. 1 , 3    C. 2 , 3      D. 2 , 3    9.已知正数 a,b 满足 1 2 3 a b   ,则    1 2a b  的最小值是( ) A. 16 3 B. 50 9 C. 49 9 D. 6 10.已知数列 na 满足 1 1a  ,  1ln 1n na a   .若 1 1n na a   恒成立,则实数的最大 值是( ) (选项中 e为自然对数的底数,大约为 2.71828 ) A. 2 1e  B. 2 1e  C. e D. e 二、填空题:单空题每题 4 分,多空题每题 6 分 11.已知函数   2 3 sin 2 6 xf x        ,则  f x 的最小正周期是_______,其图象在区间  2, 4 上的对称中心的坐标是_______. 12.已知公差为 d 的等差数列 na 的前 n项和为 nS .若 1 0a  , 4a , 5a 是方程 2 1 0x mx   ,  mR 的两实数根,则当 n  _______时, nS 最大; d 的取值范围是 _______. 13.锐角 ABC△ 中,D是边 BC上一点,且 2 2AB  , 3BC  , AC AD . 若 3cos 5 CAD  ,则 sinC  _______, ABC△ 的面积是_______. 14.已知函数   sin 0, 0y A x A      在 , 4 3        ,上单调,其图象经过点 ,0 4       , 且有一条对称轴为直线 4 x    ,则的最大值是_______. 15.已知 P为椭圆 2 2 1 16 4 x y   上的一个动点,过点P作圆  2 21 1x y   的两条切线,切 点分别是 A,B,则 AB 的最小值为_______. 16.已知平面向量 a,b  不共线,且 1a   , 1a b   ,记b  与 2a b  的夹角是 ,则 最 大时, a b   _______. 17.已知数列 na 各项都是正数,且 2 1 1n n na a a   ,若 na 是递增数列,则 1a 的取值范围 是_______. 若 1 2 3 a  ,   11 1 n n n b a    ,且 1 2 3 2020 1k b b b b k      ,则整数 k  _______. 三、解答题:5 小题,共 74 分 18.(本题满分 14 分) 在锐角 ABC△ 中,角 A,B,C的对边分别是 a,b ,c .已知 3b  ,sin sin 2 3A a B  . (Ⅰ)求角 A的值; (Ⅱ)求函数    2 2cos cos 0, 2 f x x A x x           ,的值域. 19.(本题满分 15 分) 如图,四棱锥 P ABCD 中,底面为直角梯形,AB CD∥ , 90BAD  , 3 6AB CD  , PA CD .在锐角 PAD△ 中, E是边 PD上一点,且 4 4 2AD PD ED   . (Ⅰ)求证:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)若 AC与平面 PCD所成角的正弦值是 6 3 ,求 PA的长. 20.(本题满分 15 分) 已知 nS 是正项数列 na 的前 n项和, 1 1a  ,  * 1 , 2n n na S S n n   N . (Ⅰ)求数列 na 的通项公式; (Ⅱ)证明: 1 2 3 1 1 1 1 3 2 3 2na a a na      . 21.(本题满分 15 分) 如图,抛物线 2: 4E x y ,其中 AB,CD是过抛物线焦点 F 的两条弦,且 AB CD , 记 ACF△ , BDF△ 的面积分别为 1S , 2S . (Ⅰ)当直线 AB,CD关于 y轴对称时,求 1S 的值; (Ⅱ)求 1 2S S 的最小值. 22.(本题满分 15 分) 设函数      22ln 2 1f x x x    ,    1g x k x  . (Ⅰ)求函数  f x 的单调区间; (Ⅱ)当 2k  时,求证:对于任意的  1,x   ,均有    f x g x ; (Ⅲ)若存在 0 1x   ,使得当  01,x x  时,恒有    f x g x ,试求实数 k 的取值范 围 【参考答案】 一、选择题:每小题 4 分,共 40 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B C D B A D B D 二、填空题:单空题每题 4 分,多空题每题 6 分 11.(1) 4 ;(2) 7 ,0 3       . 12.(1) 4 ;(2)  , 2  . 13.(1) 2 5 5 ;(2)3 . 14.3. 15. 4 2 3 . 16. 3 . 17.(1)  0,2 ;2 5 18.解(I)由正弦定理得: sin sin 3sina B b A A  ,所以 3sin 2 A  , 又 ABC△ 为锐角三角形,所以 3 A   ; (Ⅱ)   2 2 21 cos 2 1 cos 23cos cos 3 2 2 x xf x x x                  1 2 3 1 3 3cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 2 3 2 2 2 2 3 x x x x x                          因为 0, 2 x      ,所以 22 , 3 3 3 x         , 3sin 2 ,1 3 2 x             , 则   3 3, 4 2 f x        . 19.解(I)连接BD,交 AC于 F ,连接EF, 因为 ~AFB CFD△ △ ,所以 1 3 DF CD FB AD   , 又 1 3 DE EP  ,所以 DE DF EP FB  ,于是EF PB∥ , 而EF 平面 AEC,PB 平面 AEC,所以PB∥平面 AEC; (Ⅱ)方法一:由已知得:CD AD , PA CD , AD CD D  , 所以CD 平面 PAD,过 AH PD ,垂足为H,连接CH , 于是 AH 平面 PCD, 所以 ACH 为 AC 与平面 PCD所成的角, 6sin 3 AHACH AC    ,而 2 2 6AC AD CD   ,所以 2 6AH  , 2 2 2 2DH AD AH   , 2 2PH DP DH   , 所以 2 2 24 8 4 2PA AH PH     . 方法二:空间向量 建立空间直角坐标系,如图所示,  0, 0, 0A ,  6, 0, 0B ,  0,4 2,0D ,  2, 4 2,0C , 设    , , 0P a b c c  ,  , ,AP a b c  ,  2,0,0DC   因为 PA CD ,所以 0a  ,则  0, ,P b c ,  0, 2,DP b c   ,  2 24 2 4 2 32DP b c      ①,  2,4 2,0AC   ,设平面 PCD的一个法向量为  , ,n x y z  ,  0 2 0 2 00 n DP b y cz xn DC               , 取 y c ,则  0, , 2n c b   ,  2 2 4 2 4 2 6sin cos , 6 36 4 26 2 cAC n c cAC n AC n b c                , 解得 2 6c  ,将其代入①得  2 4 2 8b  , 2 2b  2 2 8 24 4 2AP b c     . 20.解(Ⅰ)当 2n  时, n n na S S  , 所以 1 1n n n n na S S S S     ,即 1 1n nS S   所以数列 na 是等差数列,其中首项为 1,公差为 1, 于是 nS n , 2 nS n , 1 2 1n n na S S n    ( 1n  时也符合) (Ⅱ)      1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1n n na n n n n n n           所以 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 31 2 3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2na a a na n n n                                 . 方法二:数学归纳法 直接证明是证不出来的,需要添加项,比如证明: 1 1 3 1 2 1 n k kka n    (添项不唯一), 01 当 1n  时, 1LHS  , 1RHS  ,成立; 02 假设当  1n k k  时, 1 1 3 1 2 1 k i iia k    , 那么当 1n k  时,       1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 k k i ii iia ia k k k k k               , 只要证明:     3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 2 2k k k k         成立 等价于     1 1 1 1 2 1 1 2k k k k       ,等价于 1 1 2 1 2k k    等价于 2 2 1k k   ,等价于1 k (显然成立) 所以原命题成立,于是 1 1 3 1 3 2 1 2 n k kka n     . 21.解(Ⅰ) 方法一:传统解析法 不妨设 AB的斜率为负数,其中 A在第二象限, 当直线 AB,CD关于 y轴对称时,则 AB,CD的斜率分别为-1、1, 直线 AB的方程 1y x   , 联立方程 2 24 4 4 0 1 x y x x y x          , 2 2 2Ax    , 2 2 2Bx    , 根据对称性,则 2 2 2Cx   , 所以  2 2 2 2AF   、  2 2 2 2CF    , 所以 1 1 4 2 S AF CF  ; 方法二:参数方程 设直线方程为 2 2 21 2 x t y t       , 联立方程得: 2 2 1 1 4 2 2 4 2 8 0 2 2 4 2 t t t t t         , 2 2 2 4t   所以 2 2 4AF   , 4 2 2CF   ,故, 1 1 4 2 S CF AF    . (Ⅱ)方法一:点参法 易得 4A Bx x   , 1A By y  ; 4C Dx x   , 1C Dy y  ; 设  24 2 ,a a ,  22 ,C c c ,从而有 2 2 1,B a a      , 2 2 1,D c c      , 1 1 2ABk a a       , 1 1 2CDk c c       , 于是   2 21 1 1 4AB CDk k a c ac        ,即 2 2 2 2 4 1a c a c ac    , 2 1 1 1AF y a    , 2 2 1 1CF y c    所以   2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 S AF CF a c a c ac        ,同理有 2 2 2 1 2 1S a c ac    所以  2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 12 1 1 2 2S S a c ac a c ac a c ac a c ac                             2 2 2 2 1 12 4 2 8a c ac a c ac     ,当且仅当 1ac  时取等号. 方法二:极坐标 设CD的倾斜角为 0, 2          ,则 2 1 sinD    , 2 1 sinC    , 因为 AB CD ,于是 2 1 cosD    , 2 1 cosC    所以        1 2 1 1 12 2 1 cos 1 sin 1 cos 1 sinA C B DS S                       2 2 4 1 sin cos 8 sin cos        (当且仅当 1sin cos 2    时取等号). 22.解(Ⅰ)显然函数的定义域为  2,  ,      22 3 12' 2 1 2 2 x x f x x x x          ,   5 3' 0 2 2 f x x       ,   5 3' 0 2 f x x     , 所以函数  f x 的单调增区间为 5 32, 2        ,减区间为 5 3 , 2        ; (Ⅱ)方法一:当 2k  时,             22ln 2 1 2 1 1h x f x g x x x x x          ,       3 12' 2 1 2 2 0 2 2 x x h x x x x            , 所以  h x 在  1,  ,于是    1 0h x h   , 即当 2k  时,求证:对于任意的  1,x   ,均有    f x g x ; 方法二:由    21ln 1 0 2 x x x x    得, 令 1x x  得:       21ln 2 1 1 1 2 x x x x       所以:    f x g x . (Ⅲ)(1)由(Ⅱ)知道,当 2k  时,    f x g x ,不合题意; (2)当 2k  时, 1x   ,则 1 0x   ,此时    2 1 1x k x   , 于是        22ln 2 1 2 1 1x x x k x       , 即    f x g x 恒成立,不合题意; (3)当 2k  时,记             22ln 2 1 1 1h x f x g x x x k x x          ,    22 6 2 2 ' 2 x k x k h x x         令    22 6 2 2x x k x k        ,注意  x 与  'h x 符号相同, 当  0 ,x x  时,   0x  ,  h x , 当  01,x x  时,    1 0h x h   ,于是恒有    f x g x , 综上所述:实数 k 的取值范围  , 2 . 方法二:由              2 2ln 2 2ln 2 1 1 1 1 x f x g x x x k x k x x              . 令 1t x  得: 构造函数         2 2 2ln 12ln 1 1' 1 0 t tt th t t h t t t         这里没有仔细写完,…… 所以  0 2k h  .

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