2010年高考试题—数学文(福建) 9页

数学试题（文史类）‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 1. 若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于 A {x | 2＜x≤3} B {x | x≥1} C {x | 2≤x＜3} D {x | x＞2}‎ 2. 计算1－2sin222.5°的结果等于 A.1/2 B. /2 C/3 D/2‎ 3. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积等于 A. B.2‎ C.2 D.6‎ 4. i是虚数单位，（（1+i）/(1-i)）4等于 A.i B.-i C.1 D.-1‎ 5. 若x，y∈R，且，则z=x+2y的最小值等于 A.2 B.3 C.5 D.9‎ 6. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于 A.2 B.3 C.4 D.5‎ 7. 函数f（x）= 的零点个数为 A.2 B.2 C.1 D.0‎ ‎8.若向量a=（x，3）（x∈R），则“x=4”是“| a |=5”的 A.充分而不必要 B.必要而不充分 ‎ C充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎9.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 A.91.5和91.5 B.91.5和92 ‎ C 91和91.5 D.92和92‎ ‎10.将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图像向左平移π/2个单位，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能等于 A.4 B.6 C.8 D.12‎ ‎11.若点O和点F分别为椭圆x2/4 +y2/3 =1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8‎ ‎12.设非空集合S=={x | m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题：‎ ‎①若m=1，则S={1}；②若m=－1/2 ，则1/4 ≤ l ≤ 1；③ l=1/2，则－/2≤m≤0‎ 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13.若双曲线x2 / 4－y2 / b2=1 (b＞0) 的渐近线方程为y=±1/2 x ，则b等于 .‎ ‎14.将容量为n的样本中的数据分成6组. 绘制频率分步直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频率之和等于27，则n等于 .‎ ‎15. 对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包涵Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）.‎ ‎16.观察下列等式：‎ ‎① cos2α=2 cos2 α－1；‎ ‎② cos 4α=8 cos4 α－8 cos2 α+1；‎ ‎③ cos 6α=32 cos6 α－48 cos4 α＋18 cos2 α－1；‎ ‎④ cos 8α= 128 cos8α－256cos6 α＋160 cos4 α－32 cos2 α＋1；‎ ‎⑤ cos 10α=mcos10α－1280 cos8α＋1120cos6 α＋ncos4 α＋p cos2 α－1；‎ 可以推测，m－n+p= .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 数列{a n}中，a 1 =1/3，前n项和S n 满足S n+1 －S n =（1 / 3）n + 1 (n∈)N *.‎ ‎（I）求数列{a n}的通项公式a n 以及前n项和S n ‎（II）若S 1，t（S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差数列，求实数t的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 设平面向量a m =（m，1），b n =（2，n），其中m，n∈{1,2,3,4}.‎ ‎（I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；‎ ‎（II）记“使得a m ⊥（a m－b n）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知抛物线C的方程C：y 2 =2 p x（p＞0）过点A（1，-2）.‎ ‎（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；‎ ‎（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l 的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1 中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1 不重合），且EH∥A1 D1. 过EH的平面与棱BB1 ，CC1 相交，交点分别为F，G。‎ （I） 证明：AD∥平面EFGH；‎ （II） 设AB=2AA1 =2 a .在长方体ABCD－A1B1C1D1 内随机选取一点。记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p，当点E，F分别在棱A1B1上运动且满足EF=a时，求p的最小值.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.‎ （I） 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ （II） 为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；‎ （I） 是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知函数的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求实数a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）设是上的增函数.‎ ‎ （ⅰ）求实数m的最大值；‎ ‎ （ⅱ）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.‎ 参考答案 选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分60分.‎ ‎1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C ‎7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D 填空题：本大题考查基础知识和基本运算. 每小题4分，满分16分.‎ ‎ 13.1 14.60 15.②③ 16.962‎ 三、 解答题：本大题共6小题；共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎ 17.本小题主要考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想.满分12分.‎ ‎ 解：(Ⅰ)由S n+1 －S n =（）n + 1得 (n∈N *)；‎ 又，故(n∈N *)‎ 从而(n∈N *).‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，，.‎ 从而由S 1，t（S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差数列可得：‎ ‎，解得t=2.‎ ‎ 18.本小题主要考查概率、平面向量等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归与转化思想、必然与或然思想.满分12分.‎ ‎ 解：(Ⅰ)有序数组（m,n）的吧所有可能结果为：‎ ‎ （1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个.‎ ‎ (Ⅱ)由得，即.‎ ‎ 由于｛1,2,3,4｝，故事件A包含的基本条件为（2,1）和（3,4），共2个.又基本事件的总数为16，故所求的概率.‎ ‎ 19.本小题主要考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分12分.‎ ‎ 解：（Ⅰ）将（1,-2）代入，所以.‎ ‎ 故所求的抛物线C的方程为，其准线方程为.‎ ‎ （Ⅱ）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y=－2x + t ，‎ ‎ 由，得y2 ＋2 y －2 t=0.‎ ‎ 因为直线l与抛物线C有公共点，所以得Δ=4+8 t，解得t ≥－1/2 .‎ ‎ 另一方面，由直线OA与l的距离d=，可得=，解得t=±1.‎ ‎ 因为－1∉[-,＋∞），1∈[－，＋∞），所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.‎ ‎20.本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、形数结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分 ‎ 解法一：‎ （I） 证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1 中，AD∥A1 D1 ‎ 又∵EH∥A1 D1 ，∴AD∥EH.‎ ‎∵AD￠平面EFGH EH 平面EFGH ‎∴AD//平面EFGH.‎ （II） 设BC=b，则长方体ABCD－A1B1C1D1 的体积V=AB·AD·AA1 =2a2b，‎ 几何体EB1F-HC1G的体积V1 =（1/2EB1 ·B1F）·B1C1 =b/2·EB1 ·B1 F ‎∵EB12 + B1 F2=a2‎ ‎ ∴EB12 + B1 F2 ≤ （EB12 + B1 F2 ）/2 = a2 / 2,当且仅当EB1 =B1 F=/2 a时等号成立 从而V1 ≤ a2b /4 .‎ 故 p=1-V1/V ≥7/8‎ 解法二：‎ （I） 同解法一 （II） 设BC=b，则长方体ABCD－A1B1C1D1 的体积V=AB·AD·AA1 =2a2b ，‎ 几何体EB1F-HC1G的体积 V1=（1/2 EB1 ·B1 F）·B1C1 =b/2 EB1 ·B1 F 设∠B1EF=θ（0°≤θ≤90°），则EB1 = a cosθ，B1 F =a sinθ 故EB1 ·B1 F = a2 sinθcosθ= ，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.‎ 从而 ‎∴p=1- V1/V≥=7/8，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.‎ 所以，p的最小值等于7/8‎ ‎21.本小题主要考察解三角形、二次函数等基础知识，考察推断论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分12分.‎ 解法一：（I）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则 S= ‎ ‎= ‎ ‎= ‎ 故t=1/3时，S min = ，v= =30‎ 即，小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小 （III） 设小艇与轮船在B处相遇 由题意可知，（vt）2 =202 +（30 t）2-2·20·30t·cos（90°-30°），‎ 化简得：v2=+900 =400+675‎ 由于0＜t≤1/2，即1/t ≥2,‎ 所以当=2时，‎ 取得最小值，‎ 即小艇航行速度的最小值为海里/小时。‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，设，‎ 于是。（*）‎ ‎ 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程（*）应有两个不等正根，即：‎ 解得。‎ 所以的取值范围是。‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。‎ 设小艇与轮船在C处相遇。‎ 在中，，‎ ‎。‎ 又,‎ 此时，轮船航行时间，。‎ 即，小艇以海里/小时的速度行驶，相遇时小艇的航行距离最小。‎ ‎（Ⅱ）同解法一 ‎（Ⅲ）同解法一 22. 本小题主要考察函数、导数等基础知识，考察推力论证能力、抽象概况能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转换思想、分类与整合思想。满分14分。‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）由及题设得即。‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）由 得。‎ 是上的增函数， 在上恒成立，‎ 即在上恒成立。‎ 设。‎ ‎，‎ 即不等式在上恒成立 当时，不等式在上恒成立。‎ 当时，设，‎ 因为，所以函数在上单调递增，‎ 因此。‎ ‎，即。‎ 又，故。‎ 综上，的最大值为3。‎ ‎（ⅱ）由（ⅰ）得，其图像关于点成中心对称。‎ 证明如下：‎ ‎ ‎ 因此，。‎ 上式表明，若点为函数在图像上的任意一点，则点也一定在函数的图像上。而线段中点恒为点，由此即知函数的图像关于点成中心对称。‎ 这也就表明，存在点，使得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一。‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）由 得。‎ 是上的增函数， 在上恒成立，‎ 即在上恒成立。‎ 设。‎ ‎，‎ 即不等式在上恒成立。‎ 所以在上恒成立。‎ 令，，可得，故，即的最大值为3.‎ ‎（ⅱ）由（ⅰ）得，‎ 将函数的图像向左平移1个长度单位，再向下平移个长度单位，所得图像相应的函数解析式为，。‎ 由于，所以为奇函数，故的图像关于坐标原点成中心对称。‎ 由此即得，函数的图像关于点成中心对称。‎ 这也表明，存在点，是得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。‎