【数学】山西运城市景胜中学2019-2020学年高二下学期期末模考（文）（解析版） 19页

山西运城市景胜中学2019-2020学年高二下学期期末模考（文）‎ ‎ 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分） ‎ ‎1. 已知复数，则＝（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 已知命题，，那么命题￢为(        ) ‎ A.， B.， C.， D.， 3. 已知命题，，，，下列命题为真命题的是（ ） ‎ A. B.￢ C.￢ D.￢‎ ‎4. 若输出的的值等于，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 设，，，是非零实数，则“”是“，，，成等比数列”的（ ） ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.命题：“若，则”的逆否命题是（ ）‎ A. 若，则 ‎ B. 若，则 ‎ C. 若且，则 ‎ D. 若或，则 ‎ ‎ 7.函数＝在（）处的切线如图所示，则＝（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，且，则椭圆的方程为(        ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 函数的单调减区间是(        ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 点是双曲线与圆的一个交点，且，其中、分别为的左右焦点，则的离心率为(       ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 若点的坐标为，为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则取得最小值时点的坐标是(        ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 设，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率取值范围是        ‎ A. B. C. D.‎ 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ） ‎ ‎13. ＝________． ‎ ‎14. 若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是________． ‎ ‎ ‎ ‎15.已知双曲线的离心率为，若抛物线＝的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的方程为________． ‎ ‎16.在中，若，，，则三角形的外接圆半径，把此结论类比到空间，空间三条侧棱互相垂直的四面体，三条侧棱长分别为，，，则此三棱锥外接球的半径是________． ‎ 三、解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ） ‎ ‎17.(10分)为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了年下半年该市名农民工（其中技术工、非技术工各名）的月工资，得到这名农民工的月工资均在（百元）内，且月工资收入在（百元）内的人数为，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图： ‎ 求的值；‎ 已知这名农民工中月工资高于平均数的技术工有名，非技术工有名． ①完成如下所示列联表;‎ 技术工 非技术工 总计 月工资不高于平均数 月工资高于平均数 总计 ‎②则能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？ 参考公式及数据：，其中．‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)某校医务室欲研究昼夜温差大小与高三患感冒人数多少之间的关系，他们统计了年月至年月每月号的昼夜温差情况与高三因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：‎ 日期 年月日 年月日 年月日 年月日 年月日 昼夜温差 就诊人数 该医务室确定的研究方案是先从这组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再用被选取的组数据进行检验．假设选取的是年月日与年月日的组数据． ‎ ‎（1）求就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程（结果精确到）‎ ‎（2）若由（1）中所求的线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该医务室所得线性回归方程是否理想？ 参考公式：，．‎ ‎ ‎ ‎19.(12分) 在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为，过左顶点的直线与椭圆交于另一点． ‎ 求椭圆的方程；‎ 若，求直线的倾斜角．‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)一个圆经过点，且和直线＝相切． ‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点、，若轴是的角平分线，证明直线过定点．‎ ‎ ‎ ‎21. （12分） 设函数＝． Ⅰ求函数的极小值； Ⅱ设函数＝，若关于的方程＝在区间上有唯一实数解，求实数的取值范围． ‎ ‎ ‎ ‎22.(12分) ‎ 设，．‎ 令，求的单调区间；‎ 已知在处取得极大值，求实数的取值范围．‎ 参考答案 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） ‎ ‎1.【答案】B ‎【解答】‎ 解：∵ ， ∴ ． 故选.‎ ‎2.【答案】A ‎【解答】‎ 解：因为全称命题的否定是特称命题， 故命题“，”的否定命题￢为：，． 故选.‎ ‎3.【答案】D ‎【解答】‎ ‎∵ ＝恒成立， ∴ ，恒成立，即命题是真命题， ∵ ，， ∴ ，为假命题， 则￢为真命题，其余为假命题，‎ ‎4.【答案】B ‎【解答】‎ ‎，，不满足条件，执行循环； ，，不满足条件，执行循环； ，，不满足条件，执行循环； ，，不满足条件，执行循环； ，，不满足条件，执行循环； ‎ ‎，，满足条件，退出循环体，输出 故判定框中应填或 ‎5.【答案】B ‎【解答】解：若，，，成等比数列，则， 反之数列，，，．满足， 但数列，，，不是等比数列， 即“”是“，，，成等比数列”的必要不充分条件． 故选．‎ ‎6.【答案】D ‎【解答】‎ 解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若或，则”； 故选．‎ ‎7.【答案】A ‎【解答】‎ ‎∵ 切线过点与，∴ ， 则切线方程为，取＝，得， ∴ ． 故选：．‎ ‎8.【答案】D ‎【解答】‎ 解：设直线与椭圆在第一象限的交点为， 因为，所以，即， 由可得，， 故所求椭圆的方程为． 故选.‎ ‎9.【答案】B ‎【解答】‎ 解：由已知， ， 令，则， 即， 因为函数的定义域为， 所以单调减区间为. 故选.‎ ‎10.【答案】B ‎【解答】‎ 解：∵， ∴圆必过双曲线的两个焦点，， ，则，， 故双曲线的离心率为． 故选．‎ ‎11.【答案】C ‎【解答】‎ 解：根据题意，作图如下， 设点在其准线上的射影为，有抛物线的定义得：， ∴ 欲使取得最小值，就是使最小， ∵ （当且仅当，，三点共线时取“”）， ∴ 取得最小值时（，，三点共线时）点的纵坐标，设其横坐标为， ‎ ‎∵ 为抛物线上的点， ∴ ， ∴ 点的坐标为． 故选．‎ ‎12.【答案】C ‎【解答】‎ 解：如图所示： ∵ 为等腰三角形， ∴ ， 根据椭圆定义应该有， 可推出， ∵ 双曲线也以和为焦点，根据其定义也有： ， ∴ 点横坐标为，由，得：； 设椭圆的离心率为，则 ， 又∵ 双曲线离心率的范围： , ∴ . 故选.‎ 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） ‎ ‎13.【答案】‎ ‎【解答】‎ ‎＝＝．‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解答】‎ 由得或， 若“”是“”成立的充分不必要条件， 则， 即实数的取值范围是，‎ ‎15.【答案】＝‎ ‎【解答】‎ 由题意可得双曲线的渐近线为＝， 化为一般式可得＝，离心率， 解得，∴ ， 又抛物线＝故焦点到＝的距离， ∴ ， ∴ 抛物线的方程为：＝‎ ‎16.【答案】‎ ‎【解答】‎ 解：若三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且长度分别为，，， 则构造以为顶点，，，为长方体的相邻的三条棱， 其外接球的直径为长方体的对角线，即. 故答案为：.‎ 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ） ‎ ‎17.【答案】‎ 解：∵ 月工资收入在（百元）内的人数为， ∴ 月工资收入在（百元）内的频率为：, 由频率分布直方图得：， 解得.‎ ‎①根据题意得到列联表如下：‎ 技术工 非技术工 总计 月工资不高于平均数 月工资高于平均数 总计 ‎②由表中数据，计算， ∴ 不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 月工资收入在（百元）内的人数为， ∴ 月工资收入在（百元）内的频率为：, 由频率分布直方图得：， 解得.‎ ‎①根据题意得到列联表如下；‎ 技术工 非技术工 总计 月工资不高于平均数 月工资高于平均数 总计 ‎②由表中数据，计算， ∴ 不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关．‎ ‎18.【答案】‎ 由题意可得，， 则， ， 故关于的线性回归方程为；‎ 当＝时，； 当＝时，． ∵ ＝，且＝， ∴ 该医务室所得线性回归方程是理想的．‎ ‎【解答】‎ 由题意可得，， 则， ， 故关于的线性回归方程为；‎ 当＝时，； 当＝时，． ∵ ＝，且＝， ∴ 该医务室所得线性回归方程是理想的．‎ ‎19.【答案】‎ 解：由题意得： 则 椭圆的方程为.‎ 由题意直线得斜率存在， 因为左顶点为, 设直线的方程为：, 代入椭圆方程得： , 所以. 因为一根为， 则另一根为, 则, 化简得， 即， 所以， 则倾斜角为或．‎ ‎【解答】‎ 解：由题意得： 则 椭圆的方程为.‎ 由题意直线得斜率存在， 因为左顶点为, 设直线的方程为：, 代入椭圆方程得： , 所以. 因为一根为， 则另一根为, 则, 化简得， 即， 所以， 则倾斜角为或．‎ ‎20.【答案】‎ 设动圆圆心，则由抛物线定义易得：点是以为焦点，以＝为准线的抛物线， 动圆圆心的轨迹方程为：＝‎ 设两点，，设不垂直于轴的直线：＝， 则有：＝，所以：＝，＝ 因为轴是的角平分线， 所以：＝，即：，即：＝ 则：＝， 所以：＝，＝， 所以直线过定点 ‎【解答】‎ 设动圆圆心，则由抛物线定义易得：点是以为焦点，以＝为准线的抛物线， 动圆圆心的轨迹方程为：＝‎ 设两点，，设不垂直于轴的直线：＝， 则有：＝，所以：＝，＝ 因为轴是的角平分线， 所以：＝，即：，即：＝ 则：＝， 所以：＝，＝， 所以直线过定点 ‎21.【答案】‎ ‎（1）依题意知的定义域为， ∵ ＝， ∴ ， 令＝，解得＝或， 则单调递增， ，单调递减． ∴ 所以当＝时函数取得极小值，且极小值为＝． （2）由＝得，＝， 又，所以， 要使方程＝在区间上有唯一实数解， 只需． 令，则， 由，得，单调递增， 由，得单调递减． ‎ ‎∴ 在区间上是单调递增，在区间上是单调递减． ∴ 当＝时函数有最大值，且最大值为， 又， ∴ 当或时，方程， ∴ 实数的取值范围为．‎ ‎【解答】‎ ‎（1）依题意知的定义域为， ∵ ＝， ∴ ， 令＝，解得＝或， 则单调递增， ，单调递减． ∴ 所以当＝时函数取得极小值，且极小值为＝． （2）由＝得，＝， 又，所以， 要使方程＝在区间上有唯一实数解， 只需． 令，则， 由，得，单调递增， 由，得单调递减． ∴ 在区间上是单调递增，在区间上是单调递减． ∴ 当＝时函数有最大值，且最大值为， 又， ‎ ‎∴ 当或时，方程， ∴ 实数的取值范围为．‎ ‎22.‎ ‎【答案】‎ 解：∵ ， ∴ ，， ， 若，恒成立，即的单调递增区间是； 若，当时，，函数为减函数； 当，，函数为增函数， ∴ 当时，的单调递增区间是； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎∵ 在处取得极大值， ∴ ，由中的单调性可知， ①当时，单调递增， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴ 在处取得极小值，不合题意； ②当时，，在内单调递增， 当时，，当时，， ∴ 在内单调递减，在内单调递增， 即在处取得极小值，不合题意； ③当时，，在内单调递增，在上单调递减， 则当时，，单调递减，不合题意； ④当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ‎ ‎∴ 当时，取得极大值，满足条件． 综上实数的取值范围是．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ ， ∴ ，， ， 若，恒成立，即的单调递增区间是； 若，当时，，函数为减函数； 当，，函数为增函数， ∴ 当时，的单调递增区间是； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎∵ 在处取得极大值， ∴ ，由中的单调性可知， ①当时，单调递增， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴ 在处取得极小值，不合题意； ②当时，，在内单调递增， 当时，，当时，， ∴ 在内单调递减，在内单调递增， 即在处取得极小值，不合题意； ③当时，，在内单调递增，在上单调递减， 则当时，，单调递减，不合题意； ④当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ‎ ‎∴ 当时，取得极大值，满足条件． 综上实数的取值范围是．‎