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- 2021-06-11 发布
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微专题 66 直线与圆位置关系
一、基础知识：
1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
2、圆的标准方程：设圆心的坐标 ，半径为 ，则圆的标准方程为：
3、圆的一般方程：圆方程为
（1） 的系数相同
（2）方程中无 项
（3）对于 的取值要求：
4、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：
（1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径
为 ，圆心到直线的距离为 ，则：
① 当 时，直线与圆相交
② 当 时，直线与圆相切
③ 当 时，直线与圆相离
（2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的
方程，再判断解的个数。设直线： ，圆： ，则：
消去 可得关于 的一元二次方程，考虑其判别式的符号
① ，方程组有两组解，所以直线与圆相交
② ，方程组有一组解，所以直线与圆相切
③ ，方程组无解，所以直线与圆相离
5、直线与圆相交：
弦长计算公式：
6、直线与圆相切：
（1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心
到切线的距离等于半径
,C a b r
2 2 2x a y b r
2 2 0x y Dx Ey F
2 2,x y
xy
, ,D E F 2 2 4 0D E F
r d
r d
r d
r d
0Ax By C 2 2 0x y Dx Ey F
2 2
0
0
Ax By C
x y Dx Ey F
y x
0
0
0
2 22 2AB AM r d
例：已知圆的方程为： 及圆上一点 ，求过 的圆的切线
方法一：利用第一条性质： ，所以可得切线斜率
切线方程为： ，整理后可得：
方法二：利用第二条性质：设切线方程 为：
即
整理可得： 解得：
（2）圆上点的切线结论：
① 圆 上点 处的切线方程为
② 圆 上 点 处 的 切 线 方 程 为
（3）过圆外一点的切线方程（两条切线）：可采取上例方法二的做法，先设出直线方程，再
利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程。（要注意判断斜率不存在的直线是否
为切线）
7、与圆相关的最值问题
（1 ）已知圆 及圆外一定点 ，设圆 的半径为 则圆上点到 点
距离的最小值为 ，最大值为 （即连结
并延长， 为 与圆的交点， 为 延长线与圆的交点
2 2 4x y 1, 3P P
3OPk 3
3k
33 13y x 3 4x y
l 3 1y k x
3kx y k 2
3
2
1O l
k
d r
k
223 2 3 1 0 3 1 0k k k 3
3k
3: 3 1 3 43l y x x y
2 2 2x y r 0 0,P x y 2
0 0x x y y r
2 2 2x a y b r 0 0,P x y
2
0 0x a x a y b y b r
C P C r P
PM PC r PN PC r
PC M PC N PC
M
C
N
P
（2）已知圆 及圆内一定点 ，则过 点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直
的弦
解：， 弦 长 的 最 大 值 为 直 径 ， 而 最 小 值 考 虑 弦 长 公 式 为
，若 最小，则 要取最大，在圆中 为定值，
在弦绕 旋转的过程中， ，所以 时， 最小
（3）已知圆 和圆外的一条直线 ，则圆上点到直线距离的最
小 值 为 ， 距 离 的 最 大 值 为
（过圆心 作 的垂线，垂足为 ， 与圆 交于 ，其
反向延长线交圆 于
（4）已知圆 和圆外的一条直线 ，则过直线 上的点作圆
的切线，切线长的最小值为
解： ，则若 最小，则只需 最小即可，
所以 点为过 作 垂线的垂足时， 最小
过 作圆的切线，则切线长 最短
8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含
（1）可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆 的半径为 ，
① 外离
② 外切
③ 相交
④ 内切
⑤ 内含
（2）可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系。但只能判断交点的
个数。例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直
接判定。
C P P
MN
2 22AB r d AB d CP
P d CP d CP AB
C l
C lPM d r C lPN d r
C l P CP C M
C N
C l l
PM
2 2PM CP r PM CP
P C l CP
P PM
1 2,O O 1 2,r r 1 2O O d
1 2d r r 1 2,O O
1 2d r r 1 2,O O
1 2 1 2r r d r r 1 2,O O
1 2d r r 1 2,O O
1 2d r r 1 2,O O
C
P
A
B
l M
C
P
N
l
C
P
M
二、典型例题：
例 1：已知直线 与圆心为 的圆 相交于 两点，且
为等边三角形，则实数 （ ）
A. B. C. 或 D.
思路：因为 为等边三角形且 为圆心，所以该三角形的边长为 ，由等边三角形的性
质可知高为 ，即 到 的距离为 ，由圆方程可得： ，所以利用点到直线距
离公式可得： ，解得：
答案：D
例 2：圆心在曲线 上，且与直线 相切的面积最小的圆的方程为
（ ）
A. B.
C. D.
思 路 ： 不 妨 设 圆 心 ， 其 中 ， 半 径 为 ， 因 为 直 线 与 圆 相 切 ， 所 以 有
，若圆的面积最小，则半径最小，则
， 即 ， 此 时 ， 所 以 圆 方 程 为 ：
答案：A
例 3：设点 ，若在圆 上存在点 ，使得 ，则 的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
思路：由圆的性质可知：圆上一点 ，与 所组成的角 ，当 与圆相切时，
2 0ax y C 2 21 4x y a ,A B
ABC a
3
3 1
3 1 7 4 15
ABC C 2
3 C AB 3 1,C a
2 2
2
2 3 2 2 3 1
1C AB
a ad a a
a
4 15a
2 0y xx 2 1 0x y
2 21 2 5x y 2 22 1 5x y
2 21 2 25x y 2 22 1 25x y
2,a a
0a r
22 1
5
a ad r
22 1 1 22 1
5 5
a ar a a
1 12 2 1 5
5
a a
min 5r 1a
2 21 2 5x y
,1M m 2 2: 1O x y N 30OMN m
3, 3
1 1,2 2
2,2 3 3,3 3
T ,M O OMT MT
最大。所以若圆上存在点 ，使得 ，则 。由
和 可知过 且与圆相切的一条直线为 ，切点 ，所以在直角三角形
中， ，从而
答案：A
例 4：设 ，若直线 与圆 相切，则
的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
思 路 ： 通 过 圆 方 程 可 知 圆 心 ， 半 径 ， 因 为 直 线 与 圆 相 切 ， 所 以
， 整 理 后 可 得 ：
，即 ，所以 ，进而由“对勾
函数“性质可知
答案：D
小炼有话说：本题由于 ，所以对于 不能使用均值不等式，而要通过换
元转换为常见函数求得值域
例 5：若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，
则直线 斜率的取值范围是___________
思路：本题的关键在于如何将“至少三个符合条件的不同的点”这个条件与 找到联系。通过
图像可知该条件与圆心到直线的距离相关。圆方程为： ，即圆心为
，半径 ，作出图像可知若至少有三个不同的点到直线 距离为 ，则圆心到
直 线 的 距 离 应 小 于 等 于 ， 所 以 ， 即 解 不 等 式 ：
，解得：
OMT N 30OMN 30OMT ,1M m
2 2 1x y M 1y 0,1T
OMT 3tan 3
OTOMT TM 3 3 3TM m
,m n R 1 1 2 0m x n y 2 21 1 1x y
m n
1 3,1 3 ,1 3 1 3,
2 2 2,2 2 2 ,2 2 2 2 2 2,
1,1C 1r
2 2 2
2 2
1 1 1
1 1
C l
m nd m n m n
m n
1mn m n 1
1
mn m
1 21 21 1
mm n m mm m
,2 2 2 2 2 2,m n
m R 21 21m m
2 2 4 4 10 0x y x y :l y kx 2 2
l
k
2 22 2 18x y
2,2 3 2r l 2 2
2 2
2 2 2
1C l
kd
k
2 22 2 2 1k k 2 3,2 3k
答案：
例 6：直线 与圆 交于不同的两点 ，且 ，
其中 是坐标原点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
思路：不妨设 的中点为 ，则可知 ，从而 ，在圆
中，可知 为圆心 到 的距离，即弦心距。由圆中弦，半径，弦心距的
关 系 可 得 ： ， 代 入 可 得 ：
，解得： ，即 ，所以
答案：D
例 7：在平面直角坐标系 中，已知圆 ，点 是 轴上的一个动点，
分别切圆 于 两点，则线段 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
思路：如图设 交于 ，则有 ，只需确认
的范围即可，由圆方程可得 ，设 ，所
以 ， 在 中 ， 可 得 ：
， 所 以
， 下 面 确 定 的 范 围 。 设 ， 因 为 ， 所 以
， 从 而 解 得 。 则
2 3,2 3
y x m 2 2 16x y ,M N 3MN OM ON
O m
2 2, 2 2,2 2 4 2, 2 2 2 2,4 2
2,2 2 2,2 2
MN A 2OM ON OA 2 3MN OA
2 2 16x y OA O MN
2
2 21 162 MN OA r
2 3MN OA
2 23 16OA OA 2OA 2
2O MN
md 2 2,2 2m
xOy 22: 3 2C x y A x
,AP AQ C ,P Q PQ
14 , 23
2 14 ,2 23
14 , 23
2 14 ,2 23
,AC PQ M 2PQ PM
PM 2r PCM
sin 2 sinPM PC Rt PCA
2 2
2
2sin 1AC rAP
AC AC AC
PM
2
22 1
AC
2AC ,0A x 0,3C
2 2 9 9,AC x 14 , 23PM
答案：B
例 8：已知圆 ，直线 下面四个命题：
（1）对任意实数 与 ，直线 和圆 相切；
（2）对任意实数 与 ，直线 和圆 有公共点；
（3）对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线 和圆 相切;
（4）对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线 和圆 相切.
其中真命题的代号是______________
思路一（代数运算）：四个命题均和直线与圆位置关系相关，所以考虑圆心到直线的距离和
半 径 的 大 小 关 系 ： 由 圆 方 程 可 知 圆 心 ， 半 径 为 1 ， 所 以
，为 了便于 计算， 不妨比 较 与 1 的大 小关系 ，从而 有：
所以对任意的实数 ，直线 和圆 有公共点，但不一定相切。故（1）错误（2）正确；
（3）（4）与相切有关，所以考虑 ，由上式可得： ①，从而可得，对
于任意的实数 ，不一定会存在 ，使得等式成立。例如 时，①不成立；但对于任
意的 ，总有 ，使得①成立，即直线与圆相切。所以（3）错误，（4）正确，
综上所述，正确的是（2）（4）
思路二（数形结合）：通过观察 ，可知 为单位圆上的点。则必有
，又因为 的半径为 1，所以可得 过原点。而直线 过定点 ，
所以直线与圆必有公共点。（2）正确。因为 在圆上，所以可知若直线与圆相切，则原点
为切点，故切线也只有一条。所以（1）错误。对于（3）（4），通过前面的结论可知对于任意
的一个圆 ，均可过原点作出圆的切线。另一方面通过切线也可确定圆心。所以（4）正确。
2 142 ,2 23PQ PM
2 2: cos sin 1M x y :l y kx
k l M
k l M
k l M
k l M
M cos ,sinM
2
cos sin
1M l
kd
k
2
M ld
2 2 2 2 2 2
2
2 2
cos sin 1 cos 2sin cos sin 11 1 1M l
k k k k kd k k
22 2 2
2 2
1 cos 2sin cos 1 sin sin cos 01 1
k k k
k k
,k l M
2 1M ld sin cosk
k sin 0
k cos 1
sin tank
cos ,sinM M
1OM M M :l y kx 0,0
0,0
M
而（3）忽略了一种情况，当圆心 位于 轴上时，此时切线为 轴，虽有切线但斜率不存
在，所以不能表示为 的形式。所以（3）错误
答案：（2）（4）
例 9：:设 ，直线 圆 .若圆 既与线段 又与
直线 有公共点，则实数 的取值范围是 ．
思路：本题 的取值范围为两个条件的交集。先处理圆 与 有公共点：由圆方程可知圆的圆
心为 ，半径 ，若圆与直线有公共点，则 ，解得：
，所以 。另一方面，考虑圆 与 有公共点，
因为该圆半径不变，圆心在 轴上移动，所以可根据 的符号进行分类讨论： 显然成立，
当 时，由图像可知圆心的最远端为在 的右侧且到 的距离为 1，即 ，当
时 ， 可 知 圆 最 左 端 的 位 置 为 与 线 段 相 切 的 情 况 ， ， 所 以
，解得： 。所以 ，综上所述：圆与线段 有公
共点时， ，从而
答案：
例 10：已知 的三个顶点 ， ， ，其外接圆为圆 ．
（1）求圆 的方程；
（2）若直线 过点 ，且被圆 截得的弦长为 2，求直线 的方程；
（3）对于线段 上的任意一点 ，若在以 为圆心的圆上都存在不同的两点 ，使得点
是线段 的中点，求圆 的半径 的取值范围
解：（1）思路：求圆的方程关键在于确定圆心坐标，条件中给了三个点，考虑两点所成线段
的垂直平分线为直径（过原点），所以选择两组点，求出两条直径，即可解出圆心。在本题中
抓住 ，关于 轴对称。从而得到圆心在 轴上，设其坐标为 再根据
M x y
y kx
)1,0(),0,1( BA ,: axyl 1: 22 yaxC C AB
l a
a C l
,0a 1r
2
4 2
2
1 1
1C l
a
d a a
a
2 1 50, 2a
1 5 1 5,2 2a
C AB
x a 0a
0a A A 0 2a 0a
AB : 1 0AB x y
1 1
2C AB
ad
1 2a 1 2 0a AB
1 2 2a
1 2 2
1 51 21 5 1 5 2
2 2
a
a
a
1 51 2, 2
ABC ( 1, 0)A (1, 0)B (3 , 2)C H
H
l C H l
BH P C ,M N
M PN C r
1,0 , 1,0A B y y 0,H y
，即可解出 值。从而得到圆心坐标，然后计算半径即可得到圆的方程
由 外接圆为圆 可得：
在 垂直平分线上
在 轴上 设
，解得：
（2）思路：已知弦长和半径，可求出弦心距。直线过 从而可设出直线方程，再利用弦心距
解得直线方程即可
设
由弦长为 2 和 可得：
，解得：
当斜率不存在时， ，联立方程：
弦长为 2，符合题意
综上所述： 的方程为 和
（3）思路一：（代数方法）由 坐标可求出 的方程： ，其线段上一点
，设 ，则中点 ，由 在圆 上可得（设圆 的半径
为 ）： ，则存在 即方程组有解。方程组中的方程
为两个圆 ，只需两个圆有公共点即
BH CH y
ABC H
H AB 1,0 , 1,0A B
H y 0,H y
BH CH 2 2 22 21 3 2BH CH y y
3y 0,3H 10r BH
22: 3 10H x y
C
: 2 3 2 3 0l y k x kx y k
10r 2 21 3H ld r
2 2
2
3 2 3 3 1 3 9 1
1H l
kd k k
k
4
3k
4: 2 3 4 3 6 03l y x x y
: 3l x 22 3 33 10 ,4 23
x xx y
y yx
l 4 3 6 0x y 3x
,B H BH 3 3 0x y
,P m n ,N x y ,2 2
m x n yM
,M N C C
r
2 2 2
2 2
2
3 2
3 22 2
x y r
m x n y r
,M N
2 2 2 22 23 2 , 6 4 4x y r x m y n r
可 。 所 以 ， 再 由 整 理 后 可 得 ：
对任意 恒成立。可得： ，再有线段 与圆
无 公 共 点 ， 即 在 恒 成 立 。 解 得 ： ， 从 而
，即可求得 的范围
解： 的方程为：
设 在线段 上
且
设 为 中点
设圆 ，由 在圆上可得：
，整理后可得：
，若 存在，则方程组有解
即圆心为 ，半径为 的圆与圆心为 ，半径为 的圆有公共点
根据两圆位置关系可知： ，即：
在 恒成立
，整理后可得：
在 恒成立
设
2 23 6 2 4 3r m n r 3 3 0m n
2 2 210 12 10 9r m m r 0,1m
2
2
32
5
9 10
r
r
BH
C 2 2 23 2m n r 0,1m 2 32
5r
210 32
9 5r r
1,0 , 0,3B H BH 1 3 3 03
yx x y
,P m n P BH
3 3 0m n 0,1m 3 3n m
,N x y M PN 3 3, ,2 2 2 2
m x n y m x m yN
2 2 2: 3 2C x y r ,M N
2 2 2
2 2
2
3 2
3 33 22 2
x y r
m x m y r
2 2 2
2 2 2
3 2
6 3 1 4
x y r
x m y m r
,M N
3,2C r ' 6 ,3 1C m m 2r
'2 2r r CC r r
2 23 6 2 3 1 3r m m r 0,1m
2 22 23 3 1 9r m m r
2 2
2 2
10 12 10
9 10 12 10
r m m
r m m
0,1m
2 2
min
2 2
max
10 12 10
9 10 12 10
r m m
r m m
2
2 3 3210 12 10 10 5 5f m m m m
，解得：
若 为 中点，则 在圆 外
即 在 恒成立
综上所述：
思路二（数形结合）：通过图像可观察出，若对于线段 上任意一点 均满足题意，则需
达到两个条件：第一， 在圆外，可先利用坐标判定出 为锐角，从而 在
上的投影位于线段 上，所以 ；第二， 到圆上点的最小距离（记为 ）应小
于或等于到圆上点最大距离（记为 ）的一半，即 ，否则，若
当 圆 上 取 其 他 点 时 ， ， 由 不 等 式 的 传 递 性 可 知 ：
， 不可能为 中点。因为 在圆外，所以可知在圆上任意一点中，
， ，代入可得 恒成立。综上 即可求出
的范围
解： ，若对任意 点，已知条件均满足
则 在 外
为锐角
在 上的投影位于线段 上
32 ,105f m
2
2
2
32 10 325 9 59 10
r r
r
10 4 10
3 5r
M PN P C
2 23 2m n r 2 2 23 3 1m m r 0,1m
2 2
min
32 4 1010 12 10 5 5r m m r
10 4 10,3 5r
BH P
P ,CBH CHB C BH
BH C BHr d P mind
maxd min max
1
2d d min max
1
2d d
,M N min max,PM d PN d
1
2PM PN M PN P
mind PC r maxd PC r 3PC r
max3
C BHr d
r PC
r
1,0 , 0,3 , 3,2B H C P
P C
1,3 , 2,2 , 1, 3 , 3, 1BH BC HB HC
0, 0BH BC HB HC
,CBH CHB
C BH BH
依题意，若对任意 点，均存在 使得
设 到圆上点的最小距离为 ，到圆上点最大距离为 ，则有：
否则若
，导致不存在满足条件的
在圆外 ，代入可得：
由图可知：
即
综上所述：
三、历年好题精选
1、设圆 ，直线 ，点 ，若存在点 ，使得
（ 为坐标原点），则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2、已知 ，若 ，则实数 的
取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2 2
3 3 2 3 4 1053 1C BHr d
P ,M N 1
2PM PN
P mind maxd
min max
1
2d d
min max
1
2d d min max,PM d PN d
1
2PM PN ,M N
P min max,d PC r d PC r
1 32PC r PC r PC r
max
1
3r PC
223 2 3 10CH 2 23 1 2 0 2 2BC
CH BC max 10PC CH
10
3r
10 4 10,3 5r
2 2: 3C x y : 3 6 0l x y 0 0,P x y l Q C
60OPQ O 0x
1 ,12
60, 5
0,1
2 2, | 1 1 , , |A x y x x y y B x y x y a A B a
0, 2 1 ,2
2, 2 ,2
3、（2015，广东）平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
4 、（ 2015 ， 江 苏 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 以 点 为 圆 心 且 与 直 线
相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
5、（2014，湖北）直线 和 将单位圆 分成长度相等的
四段弧，则 _______
6、（2014，全国卷）直线 和 是圆 的两条切线，若
与 的交点为 ，则 与 夹角的正切值等于_______
7 、 (2016 ， 吉 安 一 中 高 三 期 中 ) 已 知 圆 C ：
，直线 经过点 ，若
对任意的实数 m，直线 被圆 C 截得的弦长都是定值，则直线 的方程为________
8、已知 是圆 内一点，现有以 为中点的弦所在直
线 和直线 ，则（ ）
A. ，且 与圆相交 B. ，且 与圆相交
C. ，且 与圆相离 D. ，且 与圆相离
9、（2015，广东）已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点
（1）求圆 的圆心坐标；
（2）求线段 的中点 的轨迹 的方程；
（3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点？若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由.
习题答案：
2 1 0x y 2 2 5x y
2 5 0x y 2 5 0x y 2 5 0x y 2 5 0x y
2 5 0x y 2 5 0x y 2 5 0x y 2 5 0x y
xOy 1,0
2 1 0mx y m m R
1 :l y x a 2 :l y x b 2 2: 1C x y
2 2a b
1l 2l 2 2 2x y 1l
2l 1,3 1l 2l
2 2 2(6 2 ) 4 5 6 0x y m x my m m l (1,1)
l l
, 0M a b ab 2 2 2:O x y r M
m 2:l ax by r
m l∥ l m l l
m l∥ l m l l
l 2 2
1 : 6 5 0C x y x ,A B
1C
AB M C
k : 4L y k x C k
1、答案：B
解析：依题意可知 ，由 可得： 。
在 与圆相切时取得最大值
若 变长，则 的最大值将变小
当 且 与圆相切时，
若存在点 ，使得 ，则
，解得：
2、答案：C
解析： 即 为以 为圆心， 为
半径的圆 的内部，集合 为圆心在原点，半径为 的圆 的内部。则 表示圆 在
圆 的内部，在坐标系中作出圆 ，数形结合即可得到圆 半径的范围为 ，则 的
范围为
3、答案：D
解析：由平行关系可设切线方程为 ，则 ，解得： ，所以
切线的方程为 或
4、答案：
解析：方法一： 可知动直线过定点 ，
所以可算出圆心与定点的距离为 ，所以半径最大的圆即为以该定点为切点的圆，所以
，圆方程为：
方法二：由相切可知 ，所以半径最大的圆方程
2 2 2
0 0OP x y 0 0,P x y l 0
0
6
3
xy
OPQ PQ
OP OPQ
60OPQ PQ 2PO
Q C 60OPQ 2PO
0
0
2 2
0 0
6
3
4
xy
x y
0
60, 5x
2 2
2 2 1 1 1: 0 2 2 2A x x y y x y
A 1 1,2 2
2
2
A B a B A B A
B A B 2, a
2,
2 0x y c 5
5
cd 5c
2 5 0x y 2 5 0x y
2 21 2x y
2 1 0 2 1 0mx y m x m y 2, 1
2
2r 2 21 2x y
2
2 22
1 1 21 21 11
m m mr m mm
为
5、答案：2
解析：由直线方程可知 ，若将单位圆分成相等的四段弧，则弦端点与圆心所成的角为
，所以 ，所以 解得 ，所以
6、答案：
解析：从几何性质出发，结合坐标计算线段的长，设 ，则
，又因为 ，所以 ，所
以
可 得 ， 则 所 求
7、答案：
解析：圆标准方程： ，圆心为 ，半径为 ，可知
在直线 。点 到直线 的距离 ，所以过
且与 平行的直线与圆相交，因为圆的半径 ，所以截得的弦长为定值。
所以 ，即
8、答案：C
解析：由圆的性质可知可知中点弦与 垂直，所以斜率 ，中点弦
方程为： ，可得 ，另一方面，
，因为 在圆内，所以 ，所以
，直线 与圆相离
2 21 2x y
1 2l l∥
2
1 2
2
2O l O ld d
1
2
2
22
2
22
O l
O l
ad
bd
1a b 2 2 2a b
4
3
1,3P
10PO 2r 5sin 5
BOBPO PO 1tan 2BPO 2
2tan 4tan tan2 1 tan 3
BPOBPA BPO BPO
2 3 0x y
2 23 2 9x m y m 3 ,2C m m 3 C
2 6y x (1,1) 2 6y x 2 1 6 3 3
5 5
d
(1,1) 2 6y x 3r
2k : 1 2 1 2 3 0l y x x y
OM 1
OM
bk k a
m 2 2ay b x a ax by a bb m l∥
2
2 2O l
rd
a b
,M a b 2 2a b r
2
2 2O l
rd r
a b
l
9、解析：（1）圆
圆心坐标为
（2）设 ，则可知
，整理可得：
当动直线与圆相切时，设直线方程：
则
切点的横坐标为
由圆的性质可得： 横坐标的取值范围为
所以轨迹方程为
（ 3 ） 由 （ 2 ） 可 得 曲 线 为 圆
的一部分圆弧 （不包
括 ），其中
直线 过定点
① 当直线与圆相切时：
② 当直线与圆不相切时，可得 ，
数形结合可得：当 时，直线与圆有一个交点
22 2 2
1 : 6 5 0 3 4C x y x x y
3,0
,M x y 1C M AB
1
1 13C M AB
y yk k x x
2
23 9
2 4x y
y kx
2 2
2 26 5 0 1 6 5 0x y x k x x
y kx
2 2 436 20 1 0 5k k
2
1 6 5
2 1 3x k
M 5,33
2
23 9 3, ,32 4 5x y x
C
2
23 9 5, ,32 4 3x y x
EF
,E F 5 2 5 5 2 5, , ,3 3 3 3E F
: 4L y k x 4,0
2
5
3 32
2 41C l
k
d k
k
2 50 2 53
5 74 3
DEk
2 50 3 2 5
5 74 3
DFk
2 5 2 5,7 7k
综上所述： 时，直线 与曲线 只有一个交点2 5 2 5 3 3, ,7 7 4 4k L C
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