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  • 2021-06-11 发布

高中数学讲义微专题66 直线与圆位置关系

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微专题 66 直线与圆位置关系 一、基础知识: 1、定义:在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 2、圆的标准方程:设圆心的坐标 ,半径为 ,则圆的标准方程为: 3、圆的一般方程:圆方程为 (1) 的系数相同 (2)方程中无 项 (3)对于 的取值要求: 4、直线与圆位置关系的判定:相切,相交,相离,位置关系的判定有两种方式: (1)几何性质:通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系,设圆的半径 为 ,圆心到直线的距离为 ,则: ① 当 时,直线与圆相交 ② 当 时,直线与圆相切 ③ 当 时,直线与圆相离 (2)代数性质:可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系,即联立直线与圆的 方程,再判断解的个数。设直线: ,圆: ,则: 消去 可得关于 的一元二次方程,考虑其判别式的符号 ① ,方程组有两组解,所以直线与圆相交 ② ,方程组有一组解,所以直线与圆相切 ③ ,方程组无解,所以直线与圆相离 5、直线与圆相交: 弦长计算公式: 6、直线与圆相切: (1)如何求得切线方程:主要依据两条性质:一是切点与圆心的连线与切线垂直;二是圆心 到切线的距离等于半径  ,C a b r    2 2 2x a y b r    2 2 0x y Dx Ey F     2 2,x y xy , ,D E F 2 2 4 0D E F   r d r d r d r d 0Ax By C   2 2 0x y Dx Ey F     2 2 0 0 Ax By C x y Dx Ey F          y x 0  0  0  2 22 2AB AM r d   例:已知圆的方程为: 及圆上一点 ,求过 的圆的切线 方法一:利用第一条性质: ,所以可得切线斜率 切线方程为: ,整理后可得: 方法二:利用第二条性质:设切线方程 为: 即 整理可得: 解得: (2)圆上点的切线结论: ① 圆 上点 处的切线方程为 ② 圆 上 点 处 的 切 线 方 程 为 (3)过圆外一点的切线方程(两条切线):可采取上例方法二的做法,先设出直线方程,再 利用圆心到切线距离等于半径求得斜率,从而得到方程。(要注意判断斜率不存在的直线是否 为切线) 7、与圆相关的最值问题 (1 )已知圆 及圆外一定点 ,设圆 的半径为 则圆上点到 点 距离的最小值为 ,最大值为 (即连结 并延长, 为 与圆的交点, 为 延长线与圆的交点 2 2 4x y   1, 3P P 3OPk  3 3k     33 13y x    3 4x y  l  3 1y k x   3kx y k   2 3 2 1O l k d r k        223 2 3 1 0 3 1 0k k k      3 3k    3: 3 1 3 43l y x x y        2 2 2x y r   0 0,P x y 2 0 0x x y y r     2 2 2x a y b r     0 0,P x y       2 0 0x a x a y b y b r      C P C r P PM PC r  PN PC r  PC M PC N PC M C N P (2)已知圆 及圆内一定点 ,则过 点的所有弦中最长的为直径,最短的为与该直径垂直 的弦 解:, 弦 长 的 最 大 值 为 直 径 , 而 最 小 值 考 虑 弦 长 公 式 为 ,若 最小,则 要取最大,在圆中 为定值, 在弦绕 旋转的过程中, ,所以 时, 最小 (3)已知圆 和圆外的一条直线 ,则圆上点到直线距离的最 小 值 为 , 距 离 的 最 大 值 为 (过圆心 作 的垂线,垂足为 , 与圆 交于 ,其 反向延长线交圆 于 (4)已知圆 和圆外的一条直线 ,则过直线 上的点作圆 的切线,切线长的最小值为 解: ,则若 最小,则只需 最小即可, 所以 点为过 作 垂线的垂足时, 最小 过 作圆的切线,则切线长 最短 8、圆与圆的位置关系:外离,外切,相交,内切,内含 (1)可通过圆心距离与半径的关系判定:设圆 的半径为 , ① 外离 ② 外切 ③ 相交 ④ 内切 ⑤ 内含 (2)可通过联立圆的方程组,从而由方程组解的个数判定两圆位置关系。但只能判断交点的 个数。例如方程组的解只有一组时,只能说明两圆有一个公共点,但是外切还是内切无法直 接判定。 C P P MN 2 22AB r d  AB d CP P d CP d CP AB C l C lPM d r  C lPN d r  C l P CP C M C N C l l PM 2 2PM CP r  PM CP P C l CP  P PM 1 2,O O 1 2,r r 1 2O O d 1 2d r r   1 2,O O  1 2d r r   1 2,O O  1 2 1 2r r d r r     1 2,O O  1 2d r r   1 2,O O  1 2d r r   1 2,O O  C P A B l M C P N l C P M 二、典型例题: 例 1:已知直线 与圆心为 的圆 相交于 两点,且 为等边三角形,则实数 ( ) A. B. C. 或 D. 思路:因为 为等边三角形且 为圆心,所以该三角形的边长为 ,由等边三角形的性 质可知高为 ,即 到 的距离为 ,由圆方程可得: ,所以利用点到直线距 离公式可得: ,解得: 答案:D 例 2:圆心在曲线 上,且与直线 相切的面积最小的圆的方程为 ( ) A. B. C. D. 思 路 : 不 妨 设 圆 心 , 其 中 , 半 径 为 , 因 为 直 线 与 圆 相 切 , 所 以 有 ,若圆的面积最小,则半径最小,则 , 即 , 此 时 , 所 以 圆 方 程 为 : 答案:A 例 3:设点 ,若在圆 上存在点 ,使得 ,则 的取值 范围是( ) A. B. C. D. 思路:由圆的性质可知:圆上一点 ,与 所组成的角 ,当 与圆相切时, 2 0ax y   C    2 21 4x y a    ,A B ABC a  3 3 1 3 1 7 4 15 ABC C 2 3 C AB 3  1,C a    2 2 2 2 3 2 2 3 1 1C AB a ad a a a         4 15a    2 0y xx  2 1 0x y      2 21 2 5x y       2 22 1 5x y       2 21 2 25x y       2 22 1 25x y    2,a a      0a  r 22 1 5 a ad r     22 1 1 22 1 5 5 a ar a a          1 12 2 1 5 5 a a          min 5r  1a     2 21 2 5x y     ,1M m 2 2: 1O x y  N 30OMN   m 3, 3   1 1,2 2      2,2 3 3,3 3      T ,M O OMT MT 最大。所以若圆上存在点 ,使得 ,则 。由 和 可知过 且与圆相切的一条直线为 ,切点 ,所以在直角三角形 中, ,从而 答案:A 例 4:设 ,若直线 与圆 相切,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 思 路 : 通 过 圆 方 程 可 知 圆 心 , 半 径 , 因 为 直 线 与 圆 相 切 , 所 以 , 整 理 后 可 得 : ,即 ,所以 ,进而由“对勾 函数“性质可知 答案:D 小炼有话说:本题由于 ,所以对于 不能使用均值不等式,而要通过换 元转换为常见函数求得值域 例 5:若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为 , 则直线 斜率的取值范围是___________ 思路:本题的关键在于如何将“至少三个符合条件的不同的点”这个条件与 找到联系。通过 图像可知该条件与圆心到直线的距离相关。圆方程为: ,即圆心为 ,半径 ,作出图像可知若至少有三个不同的点到直线 距离为 ,则圆心到 直 线 的 距 离 应 小 于 等 于 , 所 以 , 即 解 不 等 式 : ,解得: OMT N 30OMN   30OMT    ,1M m 2 2 1x y  M 1y   0,1T OMT 3tan 3 OTOMT TM  3 3 3TM m     ,m n R    1 1 2 0m x n y        2 21 1 1x y    m n 1 3,1 3     ,1 3 1 3,      2 2 2,2 2 2     ,2 2 2 2 2 2,       1,1C 1r           2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 C l m nd m n m n m n             1mn m n   1 1 mn m   1 21 21 1 mm n m mm m          ,2 2 2 2 2 2,m n         m R 21 21m m   2 2 4 4 10 0x y x y     :l y kx 2 2 l k    2 22 2 18x y     2,2 3 2r  l 2 2 2 2 2 2 2 1C l kd k       2 22 2 2 1k k   2 3,2 3k      答案: 例 6:直线 与圆 交于不同的两点 ,且 , 其中 是坐标原点,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 思路:不妨设 的中点为 ,则可知 ,从而 ,在圆 中,可知 为圆心 到 的距离,即弦心距。由圆中弦,半径,弦心距的 关 系 可 得 : , 代 入 可 得 : ,解得: ,即 ,所以 答案:D 例 7:在平面直角坐标系 中,已知圆 ,点 是 轴上的一个动点, 分别切圆 于 两点,则线段 的取值范围是( ) A. B. C. D. 思路:如图设 交于 ,则有 ,只需确认 的范围即可,由圆方程可得 ,设 ,所 以 , 在 中 , 可 得 : , 所 以 , 下 面 确 定 的 范 围 。 设 , 因 为 , 所 以 , 从 而 解 得 。 则 2 3,2 3    y x m  2 2 16x y  ,M N 3MN OM ON    O m  2 2, 2 2,2 2      4 2, 2 2 2 2,4 2      2,2 2 2,2 2   MN A 2OM ON OA    2 3MN OA  2 2 16x y  OA O MN 2 2 21 162 MN OA r       2 3MN OA   2 23 16OA OA  2OA  2 2O MN md    2 2,2 2m     xOy  22: 3 2C x y   A x ,AP AQ C ,P Q PQ 14 , 23      2 14 ,2 23      14 , 23       2 14 ,2 23       ,AC PQ M 2PQ PM PM 2r  PCM   sin 2 sinPM PC    Rt PCA 2 2 2 2sin 1AC rAP AC AC AC      PM  2 22 1 AC   2AC  ,0A x  0,3C  2 2 9 9,AC x    14 , 23PM      答案:B 例 8:已知圆 ,直线 下面四个命题: (1)对任意实数 与 ,直线 和圆 相切; (2)对任意实数 与 ,直线 和圆 有公共点; (3)对任意实数 ,必存在实数 ,使得直线 和圆 相切; (4)对任意实数 ,必存在实数 ,使得直线 和圆 相切. 其中真命题的代号是______________ 思路一(代数运算):四个命题均和直线与圆位置关系相关,所以考虑圆心到直线的距离和 半 径 的 大 小 关 系 : 由 圆 方 程 可 知 圆 心 , 半 径 为 1 , 所 以 ,为 了便于 计算, 不妨比 较 与 1 的大 小关系 ,从而 有: 所以对任意的实数 ,直线 和圆 有公共点,但不一定相切。故(1)错误(2)正确; (3)(4)与相切有关,所以考虑 ,由上式可得: ①,从而可得,对 于任意的实数 ,不一定会存在 ,使得等式成立。例如 时,①不成立;但对于任 意的 ,总有 ,使得①成立,即直线与圆相切。所以(3)错误,(4)正确, 综上所述,正确的是(2)(4) 思路二(数形结合):通过观察 ,可知 为单位圆上的点。则必有 ,又因为 的半径为 1,所以可得 过原点。而直线 过定点 , 所以直线与圆必有公共点。(2)正确。因为 在圆上,所以可知若直线与圆相切,则原点 为切点,故切线也只有一条。所以(1)错误。对于(3)(4),通过前面的结论可知对于任意 的一个圆 ,均可过原点作出圆的切线。另一方面通过切线也可确定圆心。所以(4)正确。 2 142 ,2 23PQ PM          2 2: cos sin 1M x y     :l y kx k  l M k  l M  k l M k  l M M  cos ,sinM   2 cos sin 1M l kd k       2 M ld   2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 1 cos 2sin cos sin 11 1 1M l k k k k kd k k                        22 2 2 2 2 1 cos 2sin cos 1 sin sin cos 01 1 k k k k k                  ,k  l M 2 1M ld   sin cosk    k sin 0  k cos 1 sin tank      cos ,sinM   M 1OM  M M :l y kx  0,0  0,0 M 而(3)忽略了一种情况,当圆心 位于 轴上时,此时切线为 轴,虽有切线但斜率不存 在,所以不能表示为 的形式。所以(3)错误 答案:(2)(4) 例 9::设 ,直线 圆 .若圆 既与线段 又与 直线 有公共点,则实数 的取值范围是 . 思路:本题 的取值范围为两个条件的交集。先处理圆 与 有公共点:由圆方程可知圆的圆 心为 ,半径 ,若圆与直线有公共点,则 ,解得: ,所以 。另一方面,考虑圆 与 有公共点, 因为该圆半径不变,圆心在 轴上移动,所以可根据 的符号进行分类讨论: 显然成立, 当 时,由图像可知圆心的最远端为在 的右侧且到 的距离为 1,即 ,当 时 , 可 知 圆 最 左 端 的 位 置 为 与 线 段 相 切 的 情 况 , , 所 以 ,解得: 。所以 ,综上所述:圆与线段 有公 共点时, ,从而 答案: 例 10:已知 的三个顶点 , , ,其外接圆为圆 . (1)求圆 的方程; (2)若直线 过点 ,且被圆 截得的弦长为 2,求直线 的方程; (3)对于线段 上的任意一点 ,若在以 为圆心的圆上都存在不同的两点 ,使得点 是线段 的中点,求圆 的半径 的取值范围 解:(1)思路:求圆的方程关键在于确定圆心坐标,条件中给了三个点,考虑两点所成线段 的垂直平分线为直径(过原点),所以选择两组点,求出两条直径,即可解出圆心。在本题中 抓住 ,关于 轴对称。从而得到圆心在 轴上,设其坐标为 再根据 M x y y kx )1,0(),0,1( BA ,: axyl    1: 22  yaxC C AB l a a C l  ,0a 1r  2 4 2 2 1 1 1C l a d a a a       2 1 50, 2a       1 5 1 5,2 2a         C AB x a 0a  0a  A A 0 2a  0a  AB : 1 0AB x y   1 1 2C AB ad    1 2a   1 2 0a   AB 1 2 2a   1 2 2 1 51 21 5 1 5 2 2 2 a a a               1 51 2, 2       ABC ( 1, 0)A  (1, 0)B (3 , 2)C H H l C H l BH P C ,M N M PN C r    1,0 , 1,0A B  y y  0,H y ,即可解出 值。从而得到圆心坐标,然后计算半径即可得到圆的方程 由 外接圆为圆 可得: 在 垂直平分线上 在 轴上 设 ,解得: (2)思路:已知弦长和半径,可求出弦心距。直线过 从而可设出直线方程,再利用弦心距 解得直线方程即可 设 由弦长为 2 和 可得: ,解得: 当斜率不存在时, ,联立方程: 弦长为 2,符合题意 综上所述: 的方程为 和 (3)思路一:(代数方法)由 坐标可求出 的方程: ,其线段上一点 ,设 ,则中点 ,由 在圆 上可得(设圆 的半径 为 ): ,则存在 即方程组有解。方程组中的方程 为两个圆 ,只需两个圆有公共点即 BH CH y ABC H H AB    1,0 , 1,0A B  H y  0,H y BH CH  2 2 22 21 3 2BH CH y y       3y   0,3H 10r BH   22: 3 10H x y    C  : 2 3 2 3 0l y k x kx y k        10r  2 21 3H ld r       2 2 2 3 2 3 3 1 3 9 1 1H l kd k k k          4 3k   4: 2 3 4 3 6 03l y x x y        : 3l x   22 3 33 10 ,4 23 x xx y y yx              l 4 3 6 0x y   3x  ,B H BH 3 3 0x y    ,P m n  ,N x y ,2 2 m x n yM       ,M N C C r    2 2 2 2 2 2 3 2 3 22 2 x y r m x n y r                     ,M N        2 2 2 22 23 2 , 6 4 4x y r x m y n r          可 。 所 以 , 再 由 整 理 后 可 得 : 对任意 恒成立。可得: ,再有线段 与圆 无 公 共 点 , 即 在 恒 成 立 。 解 得 : , 从 而 ,即可求得 的范围 解: 的方程为: 设 在线段 上 且 设 为 中点 设圆 ,由 在圆上可得: ,整理后可得: ,若 存在,则方程组有解 即圆心为 ,半径为 的圆与圆心为 ,半径为 的圆有公共点 根据两圆位置关系可知: ,即: 在 恒成立 ,整理后可得: 在 恒成立 设    2 23 6 2 4 3r m n r             3 3 0m n   2 2 210 12 10 9r m m r     0,1m 2 2 32 5 9 10 r r     BH C    2 2 23 2m n r     0,1m 2 32 5r  210 32 9 5r  r    1,0 , 0,3B H  BH 1 3 3 03 yx x y       ,P m n P BH 3 3 0m n     0,1m 3 3n m    ,N x y M PN 3 3, ,2 2 2 2 m x n y m x m yN                   2 2 2: 3 2C x y r    ,M N    2 2 2 2 2 2 3 2 3 33 22 2 x y r m x m y r                              2 2 2 2 2 2 3 2 6 3 1 4 x y r x m y m r            ,M N  3,2C r  ' 6 ,3 1C m m  2r '2 2r r CC r r       2 23 6 2 3 1 3r m m r              0,1m    2 22 23 3 1 9r m m r      2 2 2 2 10 12 10 9 10 12 10 r m m r m m         0,1m     2 2 min 2 2 max 10 12 10 9 10 12 10 r m m r m m          2 2 3 3210 12 10 10 5 5f m m m m         ,解得: 若 为 中点,则 在圆 外 即 在 恒成立 综上所述: 思路二(数形结合):通过图像可观察出,若对于线段 上任意一点 均满足题意,则需 达到两个条件:第一, 在圆外,可先利用坐标判定出 为锐角,从而 在 上的投影位于线段 上,所以 ;第二, 到圆上点的最小距离(记为 )应小 于或等于到圆上点最大距离(记为 )的一半,即 ,否则,若 当 圆 上 取 其 他 点 时 , , 由 不 等 式 的 传 递 性 可 知 : , 不可能为 中点。因为 在圆外,所以可知在圆上任意一点中, , ,代入可得 恒成立。综上 即可求出 的范围 解: ,若对任意 点,已知条件均满足 则 在 外 为锐角 在 上的投影位于线段 上   32 ,105f m       2 2 2 32 10 325 9 59 10 r r r        10 4 10 3 5r  M PN P C    2 23 2m n r        2 2 23 3 1m m r     0,1m  2 2 min 32 4 1010 12 10 5 5r m m r       10 4 10,3 5r      BH P P ,CBH CHB  C BH BH C BHr d  P mind maxd min max 1 2d d min max 1 2d d ,M N min max,PM d PN d  1 2PM PN M PN P mind PC r  maxd PC r  3PC r max3 C BHr d r PC   r      1,0 , 0,3 , 3,2B H C P P C        1,3 , 2,2 , 1, 3 , 3, 1BH BC HB HC          0, 0BH BC HB HC         ,CBH CHB   C BH BH 依题意,若对任意 点,均存在 使得 设 到圆上点的最小距离为 ,到圆上点最大距离为 ,则有: 否则若 ,导致不存在满足条件的 在圆外 ,代入可得: 由图可知: 即 综上所述: 三、历年好题精选 1、设圆 ,直线 ,点 ,若存在点 ,使得 ( 为坐标原点),则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 2、已知 ,若 ,则实数 的 取值范围是( ) A. B. C. D. 2 2 3 3 2 3 4 1053 1C BHr d        P ,M N 1 2PM PN P mind maxd min max 1 2d d min max 1 2d d min max,PM d PN d  1 2PM PN  ,M N P min max,d PC r d PC r      1 32PC r PC r PC r      max 1 3r PC   223 2 3 10CH        2 23 1 2 0 2 2BC      CH BC  max 10PC CH  10 3r  10 4 10,3 5r      2 2: 3C x y  : 3 6 0l x y    0 0,P x y l Q C 60OPQ   O 0x 1 ,12     60, 5       0,1          2 2, | 1 1 , , |A x y x x y y B x y x y a       A B a  0, 2 1 ,2     2, 2 ,2     3、(2015,广东)平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4 、( 2015 , 江 苏 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 以 点 为 圆 心 且 与 直 线 相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 5、(2014,湖北)直线 和 将单位圆 分成长度相等的 四段弧,则 _______ 6、(2014,全国卷)直线 和 是圆 的两条切线,若 与 的交点为 ,则 与 夹角的正切值等于_______ 7 、 (2016 , 吉 安 一 中 高 三 期 中 ) 已 知 圆 C : ,直线 经过点 ,若 对任意的实数 m,直线 被圆 C 截得的弦长都是定值,则直线 的方程为________ 8、已知 是圆 内一点,现有以 为中点的弦所在直 线 和直线 ,则( ) A. ,且 与圆相交 B. ,且 与圆相交 C. ,且 与圆相离 D. ,且 与圆相离 9、(2015,广东)已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点 (1)求圆 的圆心坐标; (2)求线段 的中点 的轨迹 的方程; (3)是否存在实数 ,使得直线 与曲线 只有一个交点?若存在,求出 的取值范围;若不存在,说明理由. 习题答案: 2 1 0x y   2 2 5x y  2 5 0x y   2 5 0x y   2 5 0x y   2 5 0x y   2 5 0x y   2 5 0x y   2 5 0x y   2 5 0x y   xOy  1,0  2 1 0mx y m m R     1 :l y x a  2 :l y x b  2 2: 1C x y  2 2a b  1l 2l 2 2 2x y  1l 2l  1,3 1l 2l 2 2 2(6 2 ) 4 5 6 0x y m x my m m       l (1,1) l l   , 0M a b ab  2 2 2:O x y r  M m 2:l ax by r  m l∥ l m l l m l∥ l m l l l 2 2 1 : 6 5 0C x y x    ,A B 1C AB M C k  : 4L y k x  C k 1、答案:B 解析:依题意可知 ,由 可得: 。 在 与圆相切时取得最大值 若 变长,则 的最大值将变小 当 且 与圆相切时, 若存在点 ,使得 ,则 ,解得: 2、答案:C 解析: 即 为以 为圆心, 为 半径的圆 的内部,集合 为圆心在原点,半径为 的圆 的内部。则 表示圆 在 圆 的内部,在坐标系中作出圆 ,数形结合即可得到圆 半径的范围为 ,则 的 范围为 3、答案:D 解析:由平行关系可设切线方程为 ,则 ,解得: ,所以 切线的方程为 或 4、答案: 解析:方法一: 可知动直线过定点 , 所以可算出圆心与定点的距离为 ,所以半径最大的圆即为以该定点为切点的圆,所以 ,圆方程为: 方法二:由相切可知 ,所以半径最大的圆方程 2 2 2 0 0OP x y   0 0,P x y l 0 0 6 3 xy   OPQ PQ OP OPQ  60OPQ   PQ 2PO  Q C 60OPQ   2PO  0 0 2 2 0 0 6 3 4 xy x y      0 60, 5x      2 2 2 2 1 1 1: 0 2 2 2A x x y y x y                  A 1 1,2 2      2 2 A B a B A B A B A B 2,  a  2, 2 0x y c   5 5 cd   5c   2 5 0x y   2 5 0x y    2 21 2x y      2 1 0 2 1 0mx y m x m y          2, 1 2 2r   2 21 2x y    2 2 22 1 1 21 21 11 m m mr m mm         为 5、答案:2 解析:由直线方程可知 ,若将单位圆分成相等的四段弧,则弦端点与圆心所成的角为 ,所以 ,所以 解得 ,所以 6、答案: 解析:从几何性质出发,结合坐标计算线段的长,设 ,则 ,又因为 ,所以 ,所 以 可 得 , 则 所 求 7、答案: 解析:圆标准方程: ,圆心为 ,半径为 ,可知 在直线 。点 到直线 的距离 ,所以过 且与 平行的直线与圆相交,因为圆的半径 ,所以截得的弦长为定值。 所以 ,即 8、答案:C 解析:由圆的性质可知可知中点弦与 垂直,所以斜率 ,中点弦 方程为: ,可得 ,另一方面, ,因为 在圆内,所以 ,所以 ,直线 与圆相离  2 21 2x y   1 2l l∥ 2  1 2 2 2O l O ld d   1 2 2 22 2 22 O l O l ad bd         1a b  2 2 2a b  4 3  1,3P 10PO  2r  5sin 5 BOBPO PO  1tan 2BPO  2 2tan 4tan tan2 1 tan 3 BPOBPA BPO BPO       2 3 0x y      2 23 2 9x m y m      3 ,2C m m 3 C 2 6y x   (1,1) 2 6y x   2 1 6 3 3 5 5 d     (1,1) 2 6y x   3r  2k    : 1 2 1 2 3 0l y x x y        OM 1 OM bk k a    m   2 2ay b x a ax by a bb        m l∥ 2 2 2O l rd a b    ,M a b 2 2a b r  2 2 2O l rd r a b    l 9、解析:(1)圆 圆心坐标为 (2)设 ,则可知 ,整理可得: 当动直线与圆相切时,设直线方程: 则 切点的横坐标为 由圆的性质可得: 横坐标的取值范围为 所以轨迹方程为 ( 3 ) 由 ( 2 ) 可 得 曲 线 为 圆 的一部分圆弧 (不包 括 ),其中 直线 过定点 ① 当直线与圆相切时: ② 当直线与圆不相切时,可得 , 数形结合可得:当 时,直线与圆有一个交点  22 2 2 1 : 6 5 0 3 4C x y x x y          3,0  ,M x y 1C M AB 1 1 13C M AB y yk k x x        2 23 9 2 4x y      y kx   2 2 2 26 5 0 1 6 5 0x y x k x x y kx             2 2 436 20 1 0 5k k        2 1 6 5 2 1 3x k   M 5,33      2 23 9 3, ,32 4 5x y x             C 2 23 9 5, ,32 4 3x y x             EF ,E F 5 2 5 5 2 5, , ,3 3 3 3E F            : 4L y k x   4,0 2 5 3 32 2 41C l k d k k       2 50 2 53 5 74 3 DEk      2 50 3 2 5 5 74 3 DFk         2 5 2 5,7 7k       综上所述: 时,直线 与曲线 只有一个交点2 5 2 5 3 3, ,7 7 4 4k             L C

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