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- 2021-06-11 发布
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高二数学试卷(理科)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符01合题目要求的.
1.已知集合,,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用集合交集的概念,直接求得两个集合的交集.
【详解】两个集合的交集是由两个集合公共的元素构成,故,故选D.
【点睛】本小题考查集合交集的概念,求解时要注意区间端点值是否能够取得,属于基础题.
2.设,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数乘法运算化简,再由复数几何意义即可求得.
【详解】
,
由复数模的求法可得.
故选:A.
【点睛】本题考查了复数的乘法运算,复数模的求法,属于基础题.
3.以圆:的圆心为圆心,3为半径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得圆M的圆心坐标,再根据半径为3即可得圆的标准方程.
【详解】由题意可得圆M的圆心坐标为,
以为圆心,以3为半径的圆的方程为.
故选:A.
【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程转化,圆的方程求法,属于基础题.
4.某超市抽取13袋袋装食用盐,对其质量(单位:g)进行统计,得到如图所示的茎叶图,若从这13袋食用盐中随机选取1袋,则该袋食用盐的质量在内的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题,分析茎叶图,找出质量在[499,501]的个数,再求其概率即可.
【详解】这个数据中位于的个数为,故所求概率为
故选B
【点睛】本题考查了茎叶图得考查,熟悉茎叶图是解题的关键,属于基础题.
5.若函数,则( )
A. 0 B. -1 C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值.
【详解】因为,所以,,
因为,所以,故,故选B.
【点睛】本题主要考查了分段函数,属于中档题.
6.将A,B,C,D,E,F这6个字母随机排成一排组成一个信息码,则所得信息码恰好满足A,B,C三个字母连在一起,且B在A与C之间的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将A,B,C三个字捆在一起,利用捆绑法得到答案.
【详解】由捆绑法可得所求概率为.
故答案为C
【点睛】本题考查了概率的计算,利用捆绑法可以简化运算.
7.若,则,.设一批白炽灯的寿命(单位:小时)服从均值为1000,方差为400的正态分布,随机从这批白炽灯中选取一只,则()
A. 这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.8186
B. 这只白炽灯寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.8186
C. 这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.9545
D. 这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.9545
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出,,再求出和,即得这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率.
【详解】∵,,∴,,
所以,
,
∴.
故选A
【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质,考查指定区间的概率的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8.已知数列是等比数列,其前项和为,,则( )
A. B. C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意,根据等比数列的通项公式和求和公式,求的公比,进而可求解,得到答案.
【详解】由题意得,,,公比,则,故选A.
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的应用,其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
9.将偶函数的图象向右平移个单位长度后,得到的曲线的对称中心为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数为偶函数求出函数解析式,根据余弦函数的图象和性质求对称轴即可.
【详解】∵偶函数,
∴,
∴.
令,得.
故选:D
【点睛】本题主要考查了诱导公式和余弦函数的图象与性质,属于中档题.
10.若正整数除以正整数后的余数为,则记为,例如.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图,则输出的等于( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】C
【解析】
初如值n=11,i=1,
i=2,n=13,不满足模3余2.
i=4,n=17, 满足模3余2, 不满足模5余1.
i=8,n=25, 不满足模3余2,
i=16,n=41, 满足模3余2, 满足模5余1.
输出i=16.选C.
11.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上,平面,,,,则球的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给关系可证明,即可将三棱锥可补形成长方体,即可求得长方体的外接球半径,即为三棱锥的外接球半径,即可得球的体积.
【详解】因为平面BCD,所以,又AB=4,,
所以,又,
所以,则.
由此可得三棱锥可补形成长方体如下图所示:
设长方体的外接球半径为,
则,
所以球的体积为,
故选:B.
【点睛】本题考查了三棱锥外接球体积的求法,将三棱锥补全为棱柱是常用方法,属于中档题.
12.若函数恰有个零点,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将问题转化为与恰有个交点;利用导数和二次函数性质可得到的图象,通过数形结合可确定或时满足题意,进而求得结果.
【详解】令,则恰有个零点等价于与恰有个交点
当时,,则
当时,;当时,
在上单调递减,在上单调递增
当时,
上单调递减,在上单调递增
可得图象如下图所示:
若与有两个交点,则或
又,
即当时,恰有个零点
本题正确选项:
【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题,关键是能够将问题转化为平行于轴的直线与曲线的交点个数的问题,利用数形结合的方式找到临界状态,从而得到满足题意的范围.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.设向量与,共线,且,,则________.
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】,,且,共线,
即.
故答案为:
【点睛】本题主要考查了向量共线的坐标运算,属于容易题.
14.已知数列的前项和公式为,则数列的通项公式为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由,可得当时的数列的通项公式,验证时是否符合即可.
【详解】当时,,
当时,
,
经验证当时,上式也适合,
故此数列的通项公式为,故答案为 .
【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系,属于中档题. 已知数列前项和,求数列通项公式,常用公式,将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系,若满足等比数列或等差数列定义,用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式,否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中,一定要注意 的情况.
15.某公司从甲、乙、丙、丁四名员工中安排了一名员工出国研学.有人询问了四名员工,甲说:好像是乙或丙去了.”乙说:“甲、丙都没去”丙说:“是丁去了”丁说:“丙说的不对.”若四名员工中只有一个人说的对,则出国研学的员工是___________.
【答案】甲
【解析】
【分析】
分别假设是甲、乙、丙、丁去时,四个人所说的话的正误,进而确定结果.
【详解】若乙去,则甲、乙、丁都说的对,不符合题意;
若丙去,则甲、丁都说的对,不符合题意;
若丁去,则乙、丙都说的对,不符合题意;
若甲去,则甲、乙、丙都说的不对,丁说的对,符合题意.
故答案为:甲.
【点睛】本题考查逻辑推理的相关知识,属于基础题.
16.已知球的半径为4,球面被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦长为,若球心到这两个平面的距离相等,则这两个圆的半径之和为__________.
【答案】6
【解析】
【分析】
先设两圆的圆心为,球心为,公共弦为,中点为,由球心到这两个平面的距离相等,可得两圆半径相等,然后设两圆半径为r,由勾股定理表示出,,再由,即可求出r,从而可得结果.
【详解】设两圆的圆心为,球心为,公共弦为,中点为,因为球心到这两个平面的距离相等,则为正方形,两圆半径相等,设两圆半径为,,,又,,,.这两个圆的半径之和为6.
【点睛】本题主要考查球的结构特征,由球的特征和题中条件,找出等量关系,即可求解.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.已知的内角所对的边分别为,且.
(1)若,角,求角的值;
(2)若的面积,,求的值.
【答案】(1)或. (2)
【解析】
【分析】
(1)根据正弦定理,求得,进而可求解角B的大小;
(2)根据三角函数的基本关系式,求得,利用三角形的面积公式和余弦定理,即可求解.
【详解】(1)根据正弦定理得,.
,,或.
(2),且,.
,,.
由正弦定理,得.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用,其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系,熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键.其中在中,通常涉及三边三角,知三(除已知三角外)求三,可解出三角形,当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时,运用正弦定理求解;当涉及三边或两边及其夹角时,运用余弦定理求解.
18.如图,在底面为正方形的四棱锥中,平面,点,分别在棱,上,且满足,.
(1)证明:平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
【分析】
(1)在棱上取一点,使得,连接,,可证明是平行四边形,可得,由线面平行的判定定理可得结果;(2)以为坐标原点以为轴建立空间直角坐标系,设,利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量,结合平面的一个法向量为,利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
【详解】
(1)在棱上取一点,使得,连接,,
因为,,所以,
所以.又因为,,所以,,
所以是平行四边形,所以,
因为平面,平面,所以平面.
(2)依题意,以为坐标原点,以为轴建立空间直角坐标系,
设,则,,,
所以,.
设平面的法向量为,则,即,取,
则.
又平面,所以平面的一个法向量为,
所以,
又二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角,属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
19.某大型工厂有台大型机器,在个月中,台机器至多出现次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立,出现故障时需名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为.已知名工人每月只有维修台机器的能力,每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修,就能使该厂获得万元的利润,否则将亏损万元.该工厂每月需支付给每名维修工人万元的工资.
(1)若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修,则称工厂能正常运行.若该厂只有名维修工人,求工厂每月能正常运行的概率;
(2)已知该厂现有名维修工人.
(ⅰ)记该厂每月获利为万元,求的分布列与数学期望;
(ⅱ)以工厂每月获利的数学期望为决策依据,试问该厂是否应再招聘名维修工人?
【答案】(1);(2)(ⅰ);(ⅱ)不应该.
【解析】
【分析】
(1)根据相互独立事件的概率公式计算出事故机器不超过台的概率即可;
(2)(i)求出的可能取值及其对应的概率,得出的分布列和数学期望;
(ⅱ)求出有名维修工人时的工厂利润,得出结论.
【详解】解:(1)因为该工厂只有名维修工人,故要使工厂正常运行,最多只有台大型机器出现故障.
∴该工厂正常运行的概率为:.
(2)(i)的可能取值有,,
,.
∴的分布列为:
X
31
44
P
∴ .
(ⅱ)若工厂再招聘一名维修工人,则工厂一定能正常运行,
工厂所获利润为万元,
因为,
∴该厂不应该再招聘名维修工人.
【点睛】本题考查了相互独立事件的概率计算,离散型随机变量的分布列与数学期望计算,属于中档题.
20.已知点是椭圆的一个焦点,点 在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆交于不同的两点,且 (为坐标原点),求直线斜率的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)由题可知,椭圆的另一个焦点为,利用椭圆的定义,求得,再理由椭圆中,求得的值,即可得到椭圆的方程;
(2)设直线的方程为,联立方程组,利用根与系数的关系,求得,在由,进而可求解斜率的取值范围,得到答案.
【详解】(1)由题可知,椭圆的另一个焦点为,
所以点到两焦点的距离之和为.
所以.
又因为,所以,则椭圆的方程为.
(2)当直线的斜率不存在时,结合椭圆的对称性可知,,不符合题意.
故设直线的方程为,,,
联立,可得.
所以
而,
由,可得.
所以,又因为,所以.
综上,.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目,通常联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错漏百出,本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
21.已知函数,且曲线在点处的切线方程为
.
(1)证明:在上为增函数.
(2)证明:.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)求导函数,利用曲线在,(1)处的切线方程,可得(1),(1),由此可求,的值,再由单调性的性质即可得证;
(2)运用函数的零点存在定理可得存在,,可得,可得,即,再由单调性可得,再由对勾函数的单调性可得所求结论.
【详解】(1)由,得,
所以,,
解得,.因此,
设,,
所以为增函数.
(2),,
故存在,使得,
即,即.
进而当时,;当时,,
即在上单调递减,在上单调递增,
则.
令,,
则,
所以在上单调递减,
所以,
故.
【点睛】本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查不等式的证明,解题的关键是构造函数,确定函数的单调区间,求出函数的最值,属于中档题.
(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),在以坐标为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程,并指出曲线是什么曲线;
(2)若直线与曲线相交于两点,,求的值.
【答案】(1) 曲线的轨迹是以为圆心,3为半径的圆. (2)
【解析】
【分析】
(1)由曲线的参数方程,消去参数,即可得到曲线的普通方程,得出结论;
(2)把直线的极坐标方程化为直角坐标方程,再由点到直线的距离公式,列出方程,即可求解.
【详解】(1)由(为参数),消去参数得,
故曲线的普通方程为.
曲线的轨迹是以为圆心,3为半径的圆.
(2)由,展开得,
的直角坐标方程为.
则圆心到直线的距离为,
则,解得
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用,
重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解,或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点,确定选择何种方程.
23.设函数.
(1)当时,求关于的不等式的解集;
(2)若在上恒成立,求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)根据绝对值的意义,取到绝对值号,得到分段函数,进而可求解不等式的解集;
(2)因为,得,再利用绝对值的定义,去掉绝对值号,即可求解.
【详解】(1)因为,
所以的解集为.
(2)因为,所以,
即,则,
所以.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题,对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.