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- 2021-06-11 发布
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全*品*高*考*网, 用后离不了!2017年四川省宜宾市高考数学二诊试卷(文科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.每小题有四个选项,只有一个是正确的.
1.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B=( )
A.{8,10} B.{8,12} C.{8,14} D.{8,10,14}
2.已知复数z满足(z﹣1)i=1+i,则z的共轭复数为( )
A.﹣2﹣i B.﹣2+i C.2﹣i D.2+i
3.已知向量=, =,则(+)•=( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
4.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=15,a2=5,则公差d等于( )
A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D.2
5.某生产车间的甲、乙两位工人生产同一种零件,这种零件的标准尺寸为85mm,现分别从他们生产的零件中各随机抽取8件检测,其尺寸用茎叶图表示如图(单位:mm),则估计( )
A.甲、乙生产的零件尺寸的中位数相等
B.甲、乙生产的零件质量相当
C.甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好
D.乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好
6.某几何体的三视图如图所示,则其体积为( )
A. B. C. D.
7.如果函数f(x)=3sin(2x+ϕ)的图象关于直线对称,那么|φ|的最小值为( )
A. B. C. D.
8.执行如图所示的程序框图,如果输入的a=918,b=238,则输出的n=( )
A.2 B.3 C.4 D.34
9.已知,设,y=logbc,,则x,y,z的大小关系正确的是( )
A.z>x>y B.z>y>x C.x>y>z D.x>z>y
10.数列{an}的通项,其前n项和为Sn,则S40为( )
A.10 B.15 C.20 D.25
11.如图,有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器,其中侧棱长为8cm,底面边长为12cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时,测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的表面积为( )
A.36πcm2 B.64πcm2 C.80πcm2 D.100πcm2
12.已知点A(﹣3,﹣)是抛物线C:y2=2px(p>0)准线上的一点,点F是C的焦点,点P在C上且满足|PF|=m|PA|,当m取最小值时,点P恰好在以原点为中心,F为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
A.3 B. C. D.
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.设x,y满足约束条件,则z=x+3y的最大值为 .
14.某优秀学习小组有6名同学,坐成三排两列,现从中随机抽2人代表本小组展示小组合作学习成果,则所抽的2人来自同一排的概率是 .
15.设直线l:3x+4y+4=0,圆C:(x﹣2)2+y2=r2(r>0),若圆C上存在两点P,Q,直线l上存在一点M,使得∠PMQ=90°,则r的取值范围是 .
16.已知函数f(x)=lnx,曲线y=g(x)与曲线y=f(x)关于直线y=x对称,若存在一条过原点的直线与曲线y=f(x)和曲线y=g(ax)都相切,则实数a的值为 .
三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,不能答在试卷上,请答在答题卡相应的方框内.
17.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,△ABC的面积为4.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若b=2,求a的值.
18.如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,将△ADE沿AE折起,得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE,其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(Ⅰ)证明:BE⊥平面D1AE;
(Ⅱ)求三棱锥C﹣BD1E的体积.
19.某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到以下数据:
单价x(元/件)
60
62
64
66
68
70
销量y(件)
91
84
81
75
70
67
(Ⅰ)画出散点图,并求y关于x的回归方程;
(Ⅱ)已知该产品的成本是36元/件,预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(Ⅰ)中的关系,为使企业获得最大利润,该产品的单价应定为多少元(精确到元)?
附:回归直线=+x的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: =, =﹣.
20.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的焦距为2,点在C上.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)过原点且不与坐标轴重合的直线l与C有两个交点A,B,点A在x轴上的射影为M,线段AM的中点为N,直线BN交C于点P,证明:直线AB的斜率与直线AP的斜率乘积为定值.
21.已知函数f(x)=﹣lna,(a>0,且a≠1).
(Ⅰ)若a=e,求函数y=f(x)的单调区间;(其中e=2.71828…是自然对数的底数)
(Ⅱ)设函数,当x∈时,曲线y=f(x)与y=g(x)有两个交点,求a的取值范围.
四、请考生从(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为,参数α∈(0,π),M为C1上的动点,满足条件的点P的轨迹为曲线C2.
(Ⅰ)求C2的普通方程;
(Ⅱ)在以O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,射线与C1,C2分别交于A,B两点,求|AB|.
23.已知函数f(x)=|x﹣1|,关于x的不等式f(x)<3﹣|2x+1|的解集记为A.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)已知a,b∈A,求证:f(ab)>f(a)﹣f(b).
2017年四川省宜宾市高考数学二诊试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.每小题有四个选项,只有一个是正确的.
1.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B=( )
A.{8,10} B.{8,12} C.{8,14} D.{8,10,14}
【考点】交集及其运算.
【分析】用列举法写出集合A,根据交集的定义写出A∩B.
【解答】解:集合A={x|x=3n+2,n∈N}={2,5,8,11,14,…},
B={6,8,10,12,14},
则集合A∩B={8,14}.
故选:C.
2.已知复数z满足(z﹣1)i=1+i,则z的共轭复数为( )
A.﹣2﹣i B.﹣2+i C.2﹣i D.2+i
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案.
【解答】解:由(z﹣1)i=1+i,得z﹣1=,
∴z=2﹣i,则.
故选:D.
3.已知向量=, =,则(+)•=( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】先计算和,再利用数量积的运算律计算.
【解答】解:∵=()2+()2=1, =+=0,
∴(+)•=+=1+0=1,
故选C.
4.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=15,a2=5,则公差d等于( )
A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D.2
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】利用等差数列通项公式、前n项和公式列出方程组,能求出公差d.
【解答】解:∵等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=15,a2=5,
∴,
解得a1=7,d=﹣2,
∴公差d等于﹣2.
故选:B.
5.某生产车间的甲、乙两位工人生产同一种零件,这种零件的标准尺寸为85mm,现分别从他们生产的零件中各随机抽取8件检测,其尺寸用茎叶图表示如图(单位:mm),则估计( )
A.甲、乙生产的零件尺寸的中位数相等
B.甲、乙生产的零件质量相当
C.甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好
D.乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好
【考点】茎叶图.
【分析】根据茎叶图求出中位数,根据数据分析,判断稳定性,从而求出答案.
【解答】解:甲的零件尺寸是:
93,89,88,85,84,82,79,78;
乙的零件尺寸是:
90,88,86,85,85,84,84,78;
故甲的中位数是: =84.5,
乙的中位数是: =85;
故A错误;
根据数据分析,乙的数据稳定,
故乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好,
故B、C错误;
故选:D
6.某几何体的三视图如图所示,则其体积为( )
A. B. C. D.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积.
【分析】根据已知中的三视图,可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥,代入锥体体积公式,可得答案.
【解答】解:根据已知中的三视图,可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥,
其底面面积S=π,
高h==,
故体积V==,
故选:C.
7.如果函数f(x)=3sin(2x+ϕ)的图象关于直线对称,那么|φ|的最小值为( )
A. B. C. D.
【考点】正弦函数的对称性.
【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性,可得f(0)=f(),由此求得|φ|的最小值.
【解答】解:函数f(x)=3sin(2x+ϕ)的图象关于直线对称,
则f(0)=f(),即3sinϕ=3sin(+ϕ),
即 sinϕ=sin(+ϕ)=cosϕ+(﹣)sinϕ,∴tanϕ=,∴|ϕ|的最小值为,
故选:B.
8.执行如图所示的程序框图,如果输入的a=918,b=238,则输出的n=( )
A.2 B.3 C.4 D.34
【考点】程序框图.
【分析】根据程序框图模拟进行求解即可.
【解答】解:输入a=918,b=238,n=0,
r=204,a=238,b=204,n=1,
r=34,a=204,b=34,n=2,
r=0,输出n=2,
故选:A.
9.已知,设,y=logbc,,则x,y,z的大小关系正确的是( )
A.z>x>y B.z>y>x C.x>y>z D.x>z>y
【考点】对数值大小的比较.
【分析】,可得=﹣logba=.2a>3,a>log23>1,∈(0,1).进而得出结论.
【解答】解:∵,
∴=﹣logba=﹣×=,
2a>3,a>log23>1,∈(0,1).
y=logbc<0,>>=,
∴z>x>y.
故选:A.
10.数列{an}的通项,其前n项和为Sn,则S40为( )
A.10 B.15 C.20 D.25
【考点】数列的求和.
【分析】=n,可得:a2n﹣1=0,a2n=(﹣1)n•2n.即可得出.
【解答】解: =n,
∴a1=0,a2=﹣2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=﹣6,…,
可得a2n﹣1=0,a2n=(﹣1)n•2n.
则S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+…+a40)
=﹣2+4﹣…+40=20.
故选:C.
11.如图,有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器,其中侧棱长为8cm,底面边长为12cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时,测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的表面积为( )
A.36πcm2 B.64πcm2 C.80πcm2 D.100πcm2
【考点】球的体积和表面积.
【分析】据图形的性质,求出截面圆的半径,即而求出求出球的半径,得出球的表面积.
【解答】解:根据几何意义得出:边长为12的正三角形,球的截面圆为正三角形的内切圆(如图1),
∴内切圆的半径为O1D=2,
∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm,
∴d=8﹣6﹣8=2,
∴球的半径为:R
R2=(R﹣2)2+(2)2,解得R=4
则球的表面积为4πR2=64π
故选:B
12.已知点A(﹣3,﹣)是抛物线C:y2=2px(p>0)准线上的一点,点F是C的焦点,点P在C上且满足|PF|=m|PA|
,当m取最小值时,点P恰好在以原点为中心,F为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
A.3 B. C. D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义,结合||PF|=m|PA|,可得=m,设PA的倾斜角为α,则当m取得最小值时,cosα最小,此时直线PA与抛物线相切,求出P的坐标,利用双曲线的定义,即可求得双曲线的离心率.
【解答】解:点A(﹣3,﹣)是抛物线C:y2=2px(p>0)
准线x=﹣上的一点,
可得﹣=﹣3,即p=6,
则抛物线的标准方程为y2=12x,
则抛物线的焦点为F(3,0),准线方程为x=﹣3,
过P作准线的垂线,垂足为N,
则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|,
∵|PF|=m|PA|,
∴|PN|=m|PA|,则=m,
设PA的倾斜角为α,则cosα=m,
当m取得最小值时,cosα最小,此时直线PA与抛物线相切,
设直线PA的方程为y=kx+3k﹣,代入y2=12x,
可得y2﹣y+3k﹣=0,
∴△=1﹣4••(3k﹣)=0,
∴k=或﹣,
可得切点P(2,±2),
由题意可得双曲线的焦点为(﹣3,0),(3,0),
∴双曲线的实轴长为﹣=7﹣5=2,
∴双曲线的离心率为e===3.
故选:A.
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.设x,y满足约束条件,则z=x+3y的最大值为 9 .
【考点】简单线性规划.
【分析】先由约束条件画出可行域,再求出可行域各个角点的坐标,将坐标逐一代入目标函数,验证即得答案.
【解答】解:如图即为满足约束条件的可行域,
由图易得:由,解得B(3,2),同理可得A(0,1),C(1,0),当x=3,y=2时
z=x+3y的最大值为9,
故答案为:9.
14.某优秀学习小组有6名同学,坐成三排两列,现从中随机抽2人代表本小组展示小组合作学习成果,则所抽的2人来自同一排的概率是 .
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【分析】基本事件总数n==15,所抽的2人来自同一排包含的基本事件个数m=,由此能求出所抽的2人来自同一排的概率.
【解答】解:某优秀学习小组有6名同学,坐成三排两列,
现从中随机抽2人代表本小组展示小组合作学习成果,
基本事件总数n==15,
所抽的2人来自同一排包含的基本事件个数m=,
则所抽的2人来自同一排的概率是p=.
故答案为:.
15.设直线l:3x+4y+4=0,圆C:(x﹣2)2+y2=r2(r>0),若圆C上存在两点P,Q,直线l上存在一点M,使得∠PMQ=90°,则r的取值范围是 .
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为MC⊥l时,使得过M作圆的两条切线,切线夹角大于等于900即可.
【解答】解:圆C:(x﹣2)2+y2=r2,圆心为:(2,0),半径为r,
∵在圆C上存在两点P,Q,在直线l上存在一点M,使得∠PMQ=90°,
∴在直线l上存在一点M,使得过M作圆的两条切线,切线夹角大于等于90,
∴只需MC⊥l时,使得过M作圆的两条切线,切线夹角大于等于900即可
∵C到直线l:3x+4y+4=0的距离2,则r.
个答案为:[,+∞).
16.已知函数f(x)=lnx,曲线y=g(x)与曲线y=f(x)关于直线y=x对称,若存在一条过原点的直线与曲线y=f(x)和曲线y=g(ax)都相切,则实数a的值为 .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求得g(x)=ex,设过原点的切线方程为y=kx,与y=lnx的切点为(m,lnm),与y=g(ax)的切点为(n,ean),由导数的几何意义和斜率公式,得到方程组,解方程即可得到所求a的值.
【解答】解:函数f(x)=lnx,曲线y=g(x)与曲线y=f(x)关于直线y=x对称,
可得g(x)=ex,
设过原点的切线方程为y=kx,
与y=lnx的切点为(m,lnm),与y=g(ax)的切点为(n,ean),
由y=lnx的导数y′=,y=eax的导数y′=aeax,
即有k==aean==,
解得m=e,k=,n=e2,an=1,则a==.
故答案为:.
三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,不能答在试卷上,请答在答题卡相应的方框内.
17.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,△ABC的面积为4.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若b=2,求a的值.
【考点】平面向量数量积的运算;余弦定理的应用.
【分析】(Ⅰ)求解A的正弦函数值,利用三角形的面积求出bc,然后求解的值;
(Ⅱ)利用余弦定理化简求解即可.
【解答】解:(I)∵在△ABC中,由解得…
,解得bc=10…
所以…
(II)由b=2,bc=10得c=5…
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=4+25﹣12=17,
即…
18.如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,将△ADE沿AE折起,得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE,其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(Ⅰ)证明:BE⊥平面D1AE;
(Ⅱ)求三棱锥C﹣BD1E的体积.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)过D1作D1F⊥AE交AE于F,由已知结合面面垂直的性质可得D1F⊥平面ABCE,进一步得到BE⊥D1F,在△ABE中,,满足AB2=AE2+BE2 ,可得BE⊥AE,再由线面垂直的判定可得BE⊥平面D1AE;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,且为三棱锥D1﹣BCE的高,然后利用等积法求得三棱锥C﹣BD1E的体积.
【解答】(Ⅰ)证明:过D1作D1F⊥AE交AE于F,
∵平面D1AE⊥平面ABCE,且平面D1AE∩平面ABCE=AE,∴D1F⊥平面ABCE,
∵BE⊂平面ABCE,∴BE⊥D1F,
在△ABE中,,满足AB2=AE2+BE2 ,
∴BE⊥AE,又∵AE∩D1F=F,
∴BE⊥平面D1AE;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可得,且为三棱锥D1﹣BCE的高,
由此可得.
19.某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到以下数据:
单价x(元/件)
60
62
64
66
68
70
销量y(件)
91
84
81
75
70
67
(Ⅰ)画出散点图,并求y关于x的回归方程;
(Ⅱ)已知该产品的成本是36元/件,预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(Ⅰ)中的关系,为使企业获得最大利润,该产品的单价应定为多少元(精确到元)?
附:回归直线=+x的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: =, =﹣.
【考点】线性回归方程.
【分析】(I)根据所给数据画出散点图,计算平均数,求出回归系数,即可求得回归直线方程;
(II)利用利润=销售收入﹣成本,建立函数,利用配方法可求企业获得的利润最大.
【解答】解:( I)散点图如图 …
由图得销量y与单价x线性相关
…
…,…,
∴回归直线方程为…
( II)利润…
当时,利润最大,这时x≈67
故定价约为67元时,企业获得最大利润.…
20.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的焦距为2,点在C上.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)过原点且不与坐标轴重合的直线l与C有两个交点A,B,点A在x轴上的射影为M,线段AM的中点为N,直线BN交C于点P,证明:直线AB的斜率与直线AP的斜率乘积为定值.
【考点】圆锥曲线的定值问题;椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系.
【分析】(I)求出C的焦点坐标为(±1,0),推出a,b,即可求解椭圆方程.
(II)设A(x1,y1),P(x2,y2)(x1≠x2),则,利用平方差法求解,.利用B,N,P三点共线,所以kBN=kBP,转化求解即可.
【解答】解:(I)由题意知,C的焦点坐标为(±1,0),…
,.…
所以,椭圆C的方程为.…
(II)设A(x1,y1),P(x2,y2)(x1≠x2),则
由点A,P在椭圆C上得,,两式相减得,.…
,.
因为B,N,P三点共线,所以kBN=kBP,即.…
∴,为定值.…
21.已知函数f(x)=﹣lna,(a>0,且a≠1).
(Ⅰ)若a=e,求函数y=f(x)的单调区间;(其中e=2.71828…是自然对数的底数)
(Ⅱ)设函数,当x∈时,曲线y=f(x)与y=g(x)有两个交点,求a的取值范围.
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间;
(Ⅱ)令,x∈,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间,从而求出a的范围即可.
【解答】解:(I)定义域(﹣∞,0)∪(0,+∞),
a=e时,,…
由f'(x)>0,得f(x)增区间为(1,+∞),…
由f'(x)<0,得f(x)减区间为(﹣∞,0),(0,1)…
(II)联立y=f(x)与y=g(x)得=,
令,x∈
则h'(x)=axlna﹣lna=lna(ax﹣1)…
(1)当a>1时,lna>0,
由h'(x)>0得,0<x≤1,h'(x)在(0,1]上单调递增
由h'(x)<0得,﹣1≤x<0,h'(x)在上单调递增
由h'(x)<0得,﹣1≤x<0,h'(x)在
22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为,参数α∈(0,π),M为C1上的动点,满足条件的点P的轨迹为曲线C2.
(Ⅰ)求C2的普通方程;
(Ⅱ)在以O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,射线与C1,C2分别交于A,B两点,求|AB|.
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
【分析】(I)设P(x,y),则M(2x,2y),代入C1的方程可得,即,α∈(0,π).消去参数可得普通方程所以,C2的普通方程为(x﹣1)2+y2=1,0<y≤1.
(II)C1的极坐标方程为:,C2的极坐标方程为:,分别联立解出即可得出.
【解答】解:(I)设P(x,y),则M(2x,2y),
因为M为C1上的动点,所以,即,α∈(0,π).
消去参数得(x﹣1)2+y2=1,0<y≤1.
所以,C2的普通方程为(x﹣1)2+y2=1,0<y≤1.
(II)C1的极坐标方程为:,C2的极坐标方程为:,
由得点A的极坐标为,
由得点B的极坐标为
,
所以,|AB|=1.
23.已知函数f(x)=|x﹣1|,关于x的不等式f(x)<3﹣|2x+1|的解集记为A.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)已知a,b∈A,求证:f(ab)>f(a)﹣f(b).
【考点】绝对值不等式的解法;不等式的证明.
【分析】(Ⅰ)分类讨论,去掉绝对值符合,即可求A;
(Ⅱ)利用作差法,即可证明:f(ab)>f(a)﹣f(b).
【解答】(I)解:由f(x)<3﹣|2x+1|得,|x﹣1|+|2x+1|<3,
即或或,…
解得,或.
所以,集合A={x∈R|﹣1<x<1}.…
(II)证明:∵a,b∈A,∴﹣1<ab<1.
∴f(ab)=|ab﹣1|=1﹣ab,f(a)=|a﹣1|=1﹣a,f(b)=|b﹣1|=1﹣b.…
∵f(ab)﹣(f(a)﹣f(b))=1﹣ab﹣1+a+1﹣b=(1﹣a)(1﹣b)>0.…9分
∴f(ab)>f(a)﹣f(b).…