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- 2021-06-11 发布
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课后限时集训73
坐标系
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1.(2019·江苏高考)在极坐标系中,已知两点A,B,直线l的方程为ρsin=3.
(1)求A,B两点间的距离;
(2)求点B到直线l的距离.
[解] (1)设极点为O.在△OAB中,A,B,由余弦定理,
得|AB|==.
(2)因为直线l的方程为ρsin=3,
则直线l过点,倾斜角为.
又B,所以点B到直线l的距离为
(3-)×sin=2.
2.在直角坐标系xOy中,圆C的圆心为,半径为,现以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)设M,N是圆C上两个动点,且满足∠MON=,求|OM|+|ON|的最小值.
[解] (1)∵圆C的圆心为,半径为,∴圆C的直角坐标方程为x2+2=,即x2+y2-y=0,∴圆C的极坐标方程为ρ2=ρsin θ,即ρ=sin θ.
(2)设M(ρ1,θ),N,则|OM|+|ON|=ρ1+ρ2=sinθ+sin=sinθ+cos θ=sin.由题意知解得0≤θ≤,
∴≤θ+≤,∴≤sin≤1,
即|OM|+|ON|的最小值为.
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3.(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.
(1)当θ0=时,求ρ0及l的极坐标方程;
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.
[解] (1)因为M(ρ0,θ0)在C上,
当θ0=时,
ρ0=4sin =2.
由已知得|OP|=|OA|cos =2.
设Q(ρ,θ)为l上除P外的任意一点,连接OQ,
在Rt△OPQ中,
ρcos=|OP|=2,
经检验,点P在曲线ρcos=2上.
所以,l的极坐标方程为ρcos=2.
(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ.
因为P在线段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范围是.
所以,P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ,θ∈.
4.(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
[解] (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.
由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时,点A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k
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=-或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l1与C2没有公共点.
综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.
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