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- 2021-06-11 发布
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和平区2017-2018学年度第一学期高二年级数学(理)
期末质量调查试卷
第Ⅰ卷 选择题(共24分)
一、选择题:本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.“ ”是“双曲线 的离心率为 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.在空间直角坐标系中,已知 , ,则 ( )
A. B. .. C. D.
3.已知双曲线的一个焦点坐标为,且经点 ,则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
4.若双曲线 ( )的离心力为 ,则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知向量 , ,分别是直线 、 的方向向量,若 ,则( )
A. , B. , C. , D. ,
7.如果椭圆 的弦被点 平分,则这条弦所在的直线方程是( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆 : ( ),点 , 为长轴的两个端点,若在椭圆上存在点 ,使 ,则离心率 的取值范围为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题(共76分)
二、填空题(每题6分,满分24分,将答案填在答题纸上)
9.若双曲线 ( )的左焦点在抛物线 的准线上,则 .
10.已知斜率为 的直线经过椭圆 的右焦点 ,与椭圆相交于 、 两点,则 的长为 .
11.已知抛物线 的焦点为 ,准线为直线 ,过抛物线上一点, 作 于 ,若直线 的倾斜角为 ,则 .
12.空间四边形 , , ,则 的值为 .
13.设椭圆 与双曲线 有公共焦点 , , 是两条曲线的一个公共点,则 等于 .
14.已知双曲线 ( , )的左、右焦点分别为、 ,过 的直线交双曲线右志于 , 两点,且 ,若 ,则双曲线的离心率为 .
三、解答题
(本大题共5小题,共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.已知平面上的三点 、 、 .
(1)求以 、 为焦点且过点 的椭圆的标准方程;
(2)设点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 ,求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.
16.已知抛物线 : ( )的焦点为 ,点 在抛物线 上,且 ,直线 与抛物线 交于 , 两点, 为坐标原点.
(1)求抛物线 的方程;
(2)求 的面积.
17. 如图,三棱柱 中,侧棱于底面垂直, , , , 分别是 , 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)求证: 平面 .
18. 已知椭圆 : ( )的离心率为 , 为椭圆 上位于第一象限内的一点.
(1)若点 的坐标为 ,求椭圆 的标准方程;
(2)设 为椭圆 的左顶点, 为椭圆 上一点,且 ,求直线 的斜率.
19. 如图,在四棱锥 中, 平面,四边形是直角梯形, , , .
(1)求二面角 的余弦值;
(2)设 是棱 上一点, 是 的中点,若 与平面所成角的正弦值为 ,求线段 的长.
和平区2017-2018学年度第一学期期末质量调查
高二年级数学(理)试卷参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:CBACB 6-8:DCA
二、填空题
9. 10. 11. 12. 13. 14.
三、解答题
15.(1)解:由题意知,焦点在 轴上,可设椭圆的标准方程为 ( )
其半焦距
由椭圆定义得
∴
∴
故椭圆的标准方程为 .
(2)解:点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、
、 .
设所求双曲线的标准方程为
( , )
其半焦距 ,
由双曲线定义得
∴ ,∴ ,
故所求的双曲线的标准方程为 .
16.(1)解:∵ 在抛物线 上,且 ,
∴由抛物线定义得,
∴
∴所求抛物线 的方程为 .
(2)解:由 消去 ,
并整理得, ,
设 , ,则 ,
由(1)知
∴直线 过抛物线 的焦点 ,
∴
又∵点 到直线 的距离 ,
∴ 的面积 .
17.(1)证明:依题意, , ,以 为原点,分别以 ,
, 的方向为 轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 .
则由已知, , , , , , , ,
∴ , , , ,
易知 ,
∴ 平面 .
(2)证明:连接 ,由(1)得, ,, ,
设平面 的一个法向量为
则,
∴由 取 ,得 ,
∴平面 的一个法向量为
此时,
故 平面 .
18.(1)解法1:∵椭圆 的离心率为
∴
∴ ,即
∴ ①
又∵点.. 在椭圆 上,
∴②
由①②解得 , ,
∴所求椭圆 的 方程为
解法2:由题意得, ,
∴
设 , ( )
则
∴ ,将点 代入得,
,解得
∴ ,
∴所求椭圆 的方程为
(2)解法1:由(1)可知
∴椭圆 的方程为
即 ,有 ,
设 ,
由 得,
∴ ,
∵点 ,点 都在椭圆 : 上,
∴
解得 , ,
∴直线 的斜率
解法2:由(1)可知 ,即
∴椭圆 的方程为 ,
即 ,有 ,
设直线 的方程为 ( ), ,
由 消去 并整理得,
∴
∵ ,∴
∵ ,∴ ,
于是设直线 的方程为( )
由 消去 并整理得,
解得 或 (舍去)
于是,得
又∵
∴
于是 ,即
即 ( )
解得
∴直线 的斜率为
19.(1)解:以 为原点,分别以 , , 的方向为 轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系
则由已知可得, , , , ,
∴ , ,
设平面 的一个法向量为 ,
由, 得, ,
∴有
解得 取 ,得 , ,
∴
∵平面
∴取平面 的一个法向量为 ,
设二面角 的大小为 ,
由图可知,二面角 为锐角二面角,
∴二面角 的余弦值为
(2)解:由(1)知, ,
设 ( ),则 ,
∴ ,
易知 平面 ,
∴ 是平面 的一个法向量.
设与平面 所成的角为 ,则
,
即
解得 或 (舍去)
∴ ,
∴
即线段 的长为