2019届二轮复习第7招数列通项与函数表达式学案（江苏专用） 7页

数列通项与函数 表达式 数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域上。数列可以看作一个定义域为正整数集或其有限子集的函数.‎ 既然是一种特殊的函数，那么函数所具备的的很多性质数列也都具备。比如单调性、对称性、周期性等在一些数列里也都有体现，等差数列、等比数列的通项公式与函数表达式之间也有一些关联.下面，本文就函数与基本数列的共同性质及其常见的一些解题方法做一个简单的分析与描述.本文如无特殊说明，特指除了常数列之外的数列.‎ 1、 等差数列 通项公式，显然，其通项公式为关于的一次函数，一次项系数为公差，系数之和为首项。‎ 前项和,其表达式为关于的没有常数项的二次式，二次项系数为公差的一半，系数之和为首项。‎ 注意到的系数之和相等，我们可以利用以上规律在和的表达式中迅速切换。‎ 例1、已知数列为等差数列，，首项为，公差为，前项和为；‎ （1） 若则等于多少？‎ （2） 若，则等于多少？‎ （3） 若，则等于多少？‎ （4） 是否为等差数列 （5） （1） 等差数列，是其前项和，若也为等差数列，则新的等差数列的公差是多少？‎ 解析：‎ ‎（1）设,由题可得：，又，‎ 所以.‎ （2） 设。由题可得：.‎ （3） 构造，由题，可得的对称轴为，所以，即.‎ （4） 是，‎ （5） ‎.‎ （6） ‎（若为常数列，则答案为1）‎ 例2、（2015 南京盐城10）记等差数列的前项和为，已知，数列也为等差数列，则= ‎ 解析：，因为数列也为等差数列，也即关于 的一次式，所以，必须为完全平方式，可得一次项系数，即等于0，从而可得，所以 例3、记数列的前项和为，,且跟是公差相同的等差数列，则= .‎ 解析：显然，根据例二得到的结论，可得没有常数项，没有一次项跟常数项，则有，可得.考虑到第一种舍去.‎ ‎.‎ 例4、(2010江苏，理19)设各项均为正数的数列的前项和为，已知，数列 公差为的等差数列．‎ (1) 求数列的通项公式(用表示)；‎ 设，则，前三项成等差，考虑到等差数列前项和的表达形式，，即 例5、设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，（1）若，那么__________.‎ （2） 若，那么___________；‎ （2） 若，那么___________；‎ 解析：（1）考虑到均是以为变量的无常数项的二次函数，所以在做除法时会约分导致出现一次比一次的形式.考虑到这个，将还回来.令.‎ ‎（2）考虑到等差数列通项公式的表达形式，直接令，那么.‎ ‎（3）令即 ‎.‎ 需要注意的是，由表达式推导是要满足一定条件的，等比数列等差数列都是可以的.‎ 例6、正项数列是等差数列，前项和满足，则的最小值为 ‎ 解析：分析可得，常数项来自于，令，那么，，当且仅当时取等号.‎ 例7、（2013 江苏19）设是首项为，公差为的等差数列，是其前 项和. 记，，其中为实数.‎ ‎(2) 若是等差数列，证明：.‎ 解析：设，，根据题意有恒成立，化简得恒成立，所以.‎ 等比数列：‎ ‎①等比数列通项公式，显然这是一个指数函数乘以一个系数的形式，并没有常数项。‎ ‎②等比数列前项和的公式：即，,常数项与指数式前面的系数互为相反数.‎ ‎③若有满足，试判断的通项公式.‎ 显然，当时，该数列总是等比数列，其中，.‎ 例8、设为非零常数，若均为等比数列，且，则.‎ 解析：根据我们之前的结论，若等比数列不是常数列的话，其常数项必须为零，即，显然矛盾，所以本题数列必为常数列，所以。‎ 例9、已知均为等比数列，其前项和分别为，若对任意的 ‎,总有则 .‎ 解析：先考虑必然不能为常数列，考虑等比数列的前项和形式，可得.‎ 3、 综合型 已知等差数列，公差为，等比数列，公比为， ‎ 若。比较与，与的大小； 猜想与的大小关系。‎ 解析：如果我们将等差数列与等比数列的通项公式看做函数的话，，，为关于的一次函数，为关于的指数函数纵向拉伸之后的函数。根据这些信息，可以画出草图如右所示。‎ 显然，指数函数图像拉伸后与直线最多只有2个交点，那么离散的点组成的直线与指数函数图像也最多只有2个交点了。又根据题目所给条件可得两函数图像的交点，那么结果是一目了然的了.‎ 例10、已知等差数列通项公式为，公比为的等比数列满足恒成立，且，则公比的取值范围为___________.‎ 解析：由题，，由题可得曲线与直线图像至少在 时有一个交点.由上面的结论得如果曲线与直线有两个交点，那么另一个交点必在3到5之间，根据图像可得本题的等价结论是.‎ 例11、（2007全国1理15）等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为______。‎ 解析：设，那么易得，可解得.‎