2018届二轮复习数列通项课件（全国通用） 17页

第七章 数 列 常用的求通项公式方法 : 1. 公式法 : 若给出的数列为等差或等比数列 , 可以直接利用等差或等比数列的通项公式求解 ; 4. 构造法 : 形如 a n+1 =ka n +m 的形式 ; 当 k,m 为常数时 , 一般通过 (a n+1 +xm)=k(a n +xm) 的方法构造新数列 . 第 3 节　数列通项 【 例 1】 ( 公式法 )(2014 江西 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =,n∈N * . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 证明 : 对任意 n >1, 都有 m ∈ N * , 使得 a 1 , a n , a m 成等比数列 . 方法 2: 累加、累乘法 方法 3: 构造法 [ 形如 a n +1 = ka n + m 的形式 ] 【 解析 】 由 a n +1 =2 a n +1, 设 ( a n +1 + λ )=2( a n + λ ), 整理得 a n +1 + λ =2 a n +2 λ , 所以 a n +1 =2 a n +(2 λ - λ )=2 a n + λ , 当 a n +1 =2 a n + λ , 与 a n +1 =2 a n +1 相同时 , 得到 λ =1, 所以 a n +1 =2 a n +1 可以变为 :( a n +1 +1)=2( a n +1), 设 b n = a n +1, 则 b n +1 = a n +1 +1, b 1 = a 1 +1=2, 所以 b n +1 =2 b n ( 等比数列 , 公比为 2), 所以 b n = b 1 · 2 n- 1 =2 · 2 n- 1 =2 n , 所以 a n +1=2 n , 即 a n =2 n -1 . 1 . ( 公式法 )(2014 福建 ) 在等比数列 { a n } 中 , a 2 =3, a 5 =81 . (1) 求 a n ; (2) 设 b n =log 3 a n , 求数列 { b n } 的前 n 项和 S n . 2 . 已知数列 { a n } 满足 a n+ 1 = a n +2 n +1, a 1 =1, 求数列 { a n } 的通项公式 . 【 解析 】 由 a n +1 = a n +2 n +1 得 a n +1 - a n =2 n +1, 则 a n = ( a n -a n- 1 )+( a n- 1 -a n- 2 )+…+( a 3 -a 2 ) +( a 2 -a 1 )+ a 1 =[2( n -1)+1]+[2( n -2)+1]+…+(2×2+1)+(2×1+1)+1=2[( n- 1)+( n- 2) +…+2+1]+( n- 1)+1 = 2 +( n- 1)+1=( n- 1)( n +1)+1 =n 2 . 所以数列 { a n } 的通项公式为 a n =n 2 . 【 解析 】 由 n · a n +1 = S n + n ( n +1) 得 S n =na n +1 -n ( n +1),① 所以当 n ≥2 时 , S n- 1 = ( n- 1) a n -n ( n- 1),② ①-② 得 S n -S n- 1 = na n +1 - ( n- 1) a n -n ( n +1)+ n ( n- 1), 即 a n = na n+ 1 - ( n- 1) a n -n [( n +1) - ( n- 1)], 所以 : a n +( n- 1) a n =na n +1 -n [( n +1) - ( n- 1)], 整理得 : na n = na n+ 1 - 2 n , 即 a n = a n +1 - 2, 即 a n +1 -a n =2( n ≥2) . 又∵ n= 1 时 , a 2 =S 1 + 2 而 a 1 =S 1 = 2,∴ a 2 = 4,∴ a 2 -a 1 = 4 - 2 = 2, ∴ 对∀ n ∈ N * 都有 a n +1 -a n = 2 成立 ,∴{ a n } 是公差 d= 2, 首项 a 1 =2 的等差数列 . 所以 : a n = a 1 +( n- 1) d =2+2( n- 1)=2 n. 4 . (2013 深圳六校联考 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 若 a 1 =2, n · a n +1 = S n + n ( n +1), n ∈ N * . 求数列 { a n } 的通项公式 . 5 . 已知数列 { a n } 中 , a 1 = 3, 满足 a n+ 1 =2 a n -2, 求数列 { a n } 的通项公式 . 【 答案 】 　∵ a n +1 = 2 a n - 2, 设 ( a n +1 + λ ) = 2( a n + λ ), 整理得 a n +1 + λ =2 a n +2 λ , 所以 a n +1 =2 a n +(2 λ-λ )=2 a n + λ , 当 a n +1 =2 a n + λ , 与 a n +1 =2 a n - 2 相同时 , 得到 λ =-2, 所以 a n +1 =2 a n - 2 可以变为 :( a n +1 -2)=2( a n - 2), 设 b n = a n -2, 则 b n +1 = a n +1 -2, b 1 = a 1 -2=1, 所以 b n +1 =2 b n ( 等比数列 , 公比为 2), 所以 b n = b 1 ·2 n- 1 =1·2 n- 1 =2 n- 1 , 所以 a n - 2=2 n- 1 , 即 a n = 2 n -1 +2 . 6 . (2014 湛江 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = n 2 ( n ∈N * ), 数列 { b n } 是各项均为正数的等比数列 , b 3 =4, b 5 =16 . 求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式 . 7 . (2015 浙江温州二模 ) 已知数列 { a n } 满足 a 1 =1, 且 a n+ 1 =2 a n +3( n ∈ N * ). (1) 设 b n = a n +3( n ∈ N * ), 求证 :{ b n } 是等比数列 ; (2) 求数列 { a n } 的前 n 项和 S n . 【 解析 】 (1) 证明 : 由已知得 a n +1 +3=2( a n +3), 设 b n = a n +3, 则 b n +1 =2 b n , 又 b 1 =4, 则 { b n } 是以 4 为首项 ,2 为公比的等比数列 . (2) 由 (1) 得 b n = 4 · 2 n- 1 =2 n +1 , 即 a n +3=2 n +1 , 所以 a n = 2 n +1 -3, S n =(2 2 -3)+(2 3 -3)+ … +(2 n+ 1 -3) =(2 2 +2 3 +2 4 + … +2 n +1 )-3 n = -3 n= 2 n +2 - 3 n- 4 . 9 . (2016 年新课标文科 Ⅰ 卷 ) 已知 { a n } 是公差为 3 的等差数列 , 数列 { b n } 满足 b 1 =1, b 2 = , a n b n +1 + b n +1 = nb n . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 求 { b n } 的前 n 项和 . 10 . (2016 年新课标文科 Ⅱ 卷 ) 等差数列 { a n } 中 , a 3 + a 4 =4, a 5 + a 7 =6 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 设 b n =[ a n ], 求数列 { b n } 的前 10 项和 , 其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数 , 如 :[0 . 9]=0,[2 . 6]=2 . 11 . 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且 S n =2 a n -2( n ∈ N * ) . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 求数列 { S n } 的前 n 项和 T n . 【 答案 】 　 (1) 当 n= 1 时 , S 1 = 2 a 1 - 2, 即 a 1 = 2 a 1 - 2, 解得 a 1 = 2 . 当 n ≥2 时 , a n = S n -S n- 1 =(2 a n - 2) - (2 a n- 1 - 2) = 2 a n - 2 a n- 1 , 即 a n = 2 a n- 1 , 所以数列 { a n } 是首项为 2, 公比为 2 的等比数列 . 所以 a n =2×2 n- 1 = 2 n ( n ∈ N * ) . (2) 因为 S n =2 a n - 2=2 n +1 -2, 所以 T n = S 1 + S 2 +…+ S n =2 2 +2 3 +…+2 n +1 - 2 n = - 2 n =2 n +2 -4-2 n. 12 . ( 公式法 ) 已知等差数列 { a n } 的公差不为零 , a 3 =5, 且 a 1 , a 7 , a 5 成等比数列 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 求 a 1 + a 3 + a 5 +…+ a 2 n- 1 . 【 解析 】 (1) 设 { a n } 的首项为 a 1 , 公差为 d , 由题意得 = a 1 a 5 , 即 ( a 1 +6 d ) 2 = a 1 ( a 1 +4 d ), 又 a 3 = a 1 +2 d =5( d ≠0), 得 a 1 =9, d =-2, 故 a n =-2 n +11 . (2) 令 S n = a 1 + a 3 + a 5 + … + a 2 n- 1 , 由 (1) 知 a 2 n- 1 =-4 n +13, 故 { a 2 n- 1 } 是首项为 9, 公差为 - 4 的等差数列 . ∴ S n = ( a 1 + a 2 n- 1 )= ( - 4 n +22)=-2 n 2 +11 n. 13 . ( 公式法 )(2017 新课标 Ⅱ) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 等比数列 { b n } 的前 n 项和为 T n , a 1 =-1, b 1 =1, a 2 + b 2 =2 . (1) 若 a 3 + b 3 =5, 求 { b n } 的通项公式 ; (2) 若 T 3 =21, 求 S 3 . 【 解析 】 (1) 设 { a n } 的公差为 d ,{ b n } 的公比为 q , 则 a n =-1+( n- 1) d , b n = q n- 1 . 由 a 2 + b 2 =2 得 d + q =3 . ① 由 a 3 + b 3 =5 得 2 d + q 2 =6.② 联立①和②解得 ( 舍去 ), . 因此 { b n } 的通项公式 b n =2 n- 1 . (2) 由 b 1 =1, T 1 =21 得 q 2 + q- 20=0 . 解得 q =-5 或 q =4 . 当 q =-5 时 , 由①得 d =8, 则 S 3 =21 . 当 q =4 时 , 由①得 d =-1, 则 S 3 =-6.