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  • 2021-06-11 发布

专题10+等差数列与等比数列(热点难点突破)-2019年高考数学(理)考纲解读与热点难点突破

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‎1.已知等差数列{an}中,a4=9,S4=24,则a7等于(  )‎ A.3 B.7‎ C.13 D.15‎ 答案 D 解析 由于数列为等差数列,依题意得 解得d=2,所以a7=a4+3d=9+6=15.‎ ‎2.已知等比数列{an}的首项为1,公比q≠-1,且a5+a4=3,则 等于(  )‎ A.-9 B.9‎ C.-81 D.81‎ 答案 B 解析 根据题意可知=q2=3,‎ 而==a5=a1·q4=1×32=9.‎ ‎3.等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}的前6项和为(  )‎ A.-24 B.-3 C.3 D.8‎ 答案 A 解析 由已知条件可得a1=1,d≠0,‎ 由a=a2a6,可得(1+2d)2=(1+d)(1+5d),‎ 解得d=-2或d=0(舍).‎ 所以S6=6×1+=-24.‎ ‎4.一个等比数列的前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列的项数是(  )‎ A.13 B.12‎ C.11 D.10‎ 答案 B 解析 设等比数列为{an},其前n项积为Tn,由已知得a1a2a3=2,anan-1an-2=4,可得(a1an)3=2×4,a1an=2,‎ ‎∵Tn=a1a2…an,∴T=(a1a2…an)2‎ ‎=(a1an)(a2an-1)…(ana1)=(a1an)n=2n=642=212,‎ ‎∴n=12.‎ ‎5.已知数列{an}满足=25·5an,且a2+a4+a6=9,则(a5+a7+a9)等于(  )‎ A.-3 B.3 C.- D. 答案 A 解析 ∵=25·=,‎ ‎∴an+1=an+2,‎ ‎∴数列{an}是等差数列,且公差为2.‎ ‎∵a2+a4+a6=9,‎ ‎∴3a4=9,a4=3.‎ ‎∴====-3.‎ ‎6.数列{an}是以a为首项,b为公比的等比数列,数列{bn}满足bn=1+a1+a2+…+an(n=1,2,…),数列满足cn=2+b1+b2+…+bn(n=1,2,…),若为等比数列,则a+b等于(  )‎ A. B.3 C. D.6‎ 答案 B ‎7.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=15,且满足an+1=an+4n2-16n+15,已知n,m∈N*,n>m,则Sn-Sm的最小值为(  )‎ A.- B.- C.-14 D.-28‎ 答案 C 解析 根据题意可知 ‎(2n-5)an+1=(2n-3)an+(2n-5)(2n-3),‎ 式子的每一项都除以(2n-5)(2n-3),‎ 可得=+1,‎ 即-=1,‎ 所以数列是以=-5为首项,以1为公差的等差数列,‎ 所以=-5+(n-1)·1=n-6,‎ 即an=(n-6)(2n-5),‎ 由此可以判断出a3,a4,a5这三项是负数,‎ 从而得到当n=5,m=2时,Sn-Sm取得最小值,‎ 且Sn-Sm=S5-S2=a3+a4+a5=-3-6-5=-14.‎ ‎8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+a12-a8=8,a10-a6=4,则S23=(  )‎ A.23 B.96 C.224 D.276‎ ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d,依题意得a4+a12-a8=2a8-a8=a8=8,a10-a6=4d=4,解得d=1,所以a8=a1+7d=a1+7=8,解得a1=1,所以S23=23×1+×1=276,选D.‎ ‎【答案】D ‎9.已知数列{an}为等比数列,且a1+1,a3+4,a5+7成等差数列,则公差d为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【解析】设{an}的公比为q,由题意得2(a3+4)=a1+1+a5+7⇒2a3=a1+a5⇒2q2=1+q4⇒q2=1,即a1=a3,d=a3+4-(a1+1)=4-1=3,选B.‎ ‎【答案】B ‎10.等比数列{an}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.5‎ ‎【解析】因为{an}为等比数列,所以a5+a7是a1+a3与a9+a11的等比中项,‎ 所以(a5+a7)2= (a1+a3)(a9+a11),‎ 故a9+a11===2;‎ 同理,a9+a11是a5+a7与a13+a15的等比中项,‎ 所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15===1.所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.‎ ‎【答案】C ‎11.已知等比数列{an}中a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-1] B.(-∞,0)∪[1,+∞)‎ C.[3,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)‎ ‎【答案】D ‎12.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若=(n∈N*),则=(  )‎ A.16 B. C. D. ‎【解析】令Sn=38n2+14n,Tn=2n2+n,∴a6=S6-S5=38×62+14×6-(38×52+14×5)=38×11+14;b7=T7-T6=2×72+7-(2×62+6)=2×13+1,∴===16.故选A.‎ ‎【答案】A ‎13.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn是数列{an}的前n项的和,则(n∈N*)的最小值为(  )‎ A.4 B.3 C.2-2 D. ‎【解析】∵a1=1,a1、a3、a13成等比数列,‎ ‎∴(1+2d)2=1+12d.得d=2或d=0(舍去)‎ ‎∴an=2n-1,‎ ‎∴Sn==n2,‎ ‎∴=.令t=n+1,‎ 则=t+-2≥6-2=4当且仅当t=3,‎ 即n=2时等号成立,∴的最小值为4.故选A.‎ ‎【答案】A ‎14.已知等差数列{an}的公差不为0,a1=1,且a2,a4,a8成等比数列,设{an}的前n项和为Sn,则Sn=________.‎ ‎15.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=8,且Sn≤S7,则公差d的取值范围是________.‎ 答案  解析 ∵a2=8=a1+d,‎ ‎∴a1=8-d,‎ Sn=na1+d=(8-d)n+d ‎=dn2+n,‎ 对称轴为n=-,‎ ‎∵Sn≤S7,∴S7为Sn的最大值,‎ 由二次函数的性质可得, 得-≤d≤-,‎ 即d的取值范围是.‎ ‎16.已知数列{an}与(n∈N*)均为等差数列,且a1=2,则a1+2+3+…+n=________.‎ 答案 2n+1-2‎ 解析 设an=2+(n-1)d,‎ 所以= ‎=,‎ 由于为等差数列,‎ 所以其通项是一个关于n的一次函数,‎ 所以(d-2)2=0,∴d=2.‎ 所以an=2+2(n-1)=2n,∴==2.‎ 所以a1+2+3+…+n=21+22+…+2n==2n+1-2.‎ ‎17.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N*),此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用,若此数列被3整除后的余数构成一个新数列,则b2 017=________.‎ 答案 1‎ 解析 由题意得引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,‎ 此数列被3 整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…,‎ 构成以8项为周期的周期数列,所以b2 017=b1=1.‎ ‎18.已知数列{an}满足nan+2-(n+2)an=λ(n2+2n),其中a1=1,a2=2,若an-2,若n=1,则λ∈R;‎ 若n>1,则λ>-,所以λ≥0.‎ 当n为偶数时,由an-2,所以λ>-,即λ≥0.‎ 综上,λ的取值范围为[0,+∞).‎ ‎19.已知等差数列{an}中,a3=,则cos(a1+a2+a6)=________.‎ ‎【解析】∵在等差数列{an}中,a1+a2+a6=a2+a3+a4=3a3=π,∴cos(a1+a2+a6)=cosπ=-.‎ ‎【答案】- ‎20.若等比数列{an}的前n项和为Sn,且=5,则=________.‎ ‎【解析】解法一:设数列{an}的公比为q,由已知得=1+=5,即1+q2=5,‎ 所以q2=4,=1+=1+q4=1+16=17.‎ 解法二:由等比数列的性质可知,S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列,若设S2=a,则S4=5a,‎ 由(S4-S2)2=S2·(S6-S4)得S6=21a,同理得S8=85a,‎ 所以==17.‎ ‎【答案】17‎ ‎21.已知数列{xn}各项均为正整数,且满足xn+1=n∈N*.若x3+x4=3,则x1所有可能取值的集合为________.‎ ‎【解析】由题意得x3=1,x4=2或x3=2,x4=1.‎ 当x3=1时,x2=2,从而x1=1或4;‎ 当x3=2时,x2=1或4,‎ 因此当x2=1时,x1=2,当x2=4时,x1=8或3.‎ 综上,x1所有可能取值的集合为{1,2,3,4,8}.‎ ‎【答案】{1,2,3,4,8}‎ ‎22.已知数列{an}是等差数列,满足a1=2,a4=8,数列{bn}是等比数列,满足b2=4,b5=32.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{an+bn}的前n项和Sn.‎ ‎【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得d==2,‎ 所以an=a1+(n-1)·d=2+(n-1)×2=2n.‎ 设等比数列{bn}的公比为q,由题意得q3==8,解得q=2.‎ 因为b1==2,所以bn=b1·qn-1=2×2n-1=2n.‎ ‎(2)由(1)可得,Sn=+=n2+n+2n+1-2.‎ ‎23.已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ为实数,n为正整数.‎ ‎(1)对任意实数λ,证明数列{an}不是等比数列;‎ ‎(2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.‎ ‎ (1)证明:假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有a=a1a3,即2=λ,故λ2-4λ+9=λ2-4λ,即9=0,这与事实相矛盾.所以对任意实数λ,数列{an}都不是等比数列.‎ ‎(2)因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1·=-(-1)n(an-3n+21)=-bn,b1=-(λ+18),所以当λ=-18时,b1=0(n∈N*),此时{bn}不是等比数列;‎ 当λ≠-18时,b1=-(λ+18)≠0,‎ 则bn≠0,所以=-(n∈N*).‎ 故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-为公比的等比数列.‎ ‎24.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a=(a1,1),b=(1,a10),若a·b=24,且S11=143,数列{bn}的前n项和为Tn,且满足=λTn-(a1-1)(n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式及数列的前n项和Mn;‎ ‎(2)是否存在非零实数λ,使得数列{bn}为等比数列?并说明理由.‎ ‎(2)因为=λTn-(a1-1)(n∈N*),且a1=3,‎ 所以Tn=+,‎ 当n=1时,b1=;‎ 当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=,‎ 此时有=4,若{bn}是等比数列,‎ 则有=4,而b1=,b2=,彼此相矛盾,‎ 故不存在非零实数λ使数列{bn}为等比数列. ‎

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