专题10+等差数列与等比数列（热点难点突破）-2019年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破 9页

‎1．已知等差数列{an}中，a4＝9，S4＝24，则a7等于(　　)‎ A．3 B．7‎ C．13 D．15‎ 答案　D 解析　由于数列为等差数列，依题意得 解得d＝2，所以a7＝a4＋3d＝9＋6＝15.‎ ‎2．已知等比数列{an}的首项为1，公比q≠－1，且a5＋a4＝3，则 等于(　　)‎ A．－9 B．9‎ C．－81 D．81‎ 答案　B 解析　根据题意可知＝q2＝3，‎ 而＝＝a5＝a1·q4＝1×32＝9.‎ ‎3．等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为(　　)‎ A．－24 B．－3 C．3 D．8‎ 答案　A 解析　由已知条件可得a1＝1，d≠0，‎ 由a＝a2a6，可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，‎ 解得d＝－2或d＝0(舍)．‎ 所以S6＝6×1＋＝－24.‎ ‎4．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是(　　)‎ A．13 B．12‎ C．11 D．10‎ 答案　B 解析　设等比数列为{an}，其前n项积为Tn，由已知得a1a2a3＝2，anan－1an－2＝4，可得(a1an)3＝2×4，a1an＝2，‎ ‎∵Tn＝a1a2…an，∴T＝(a1a2…an)2‎ ‎＝(a1an)(a2an－1)…(ana1)＝(a1an)n＝2n＝642＝212，‎ ‎∴n＝12.‎ ‎5．已知数列{an}满足＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，则(a5＋a7＋a9)等于(　　)‎ A．－3 B．3 C．－ D. 答案　A 解析　∵＝25·＝，‎ ‎∴an＋1＝an＋2，‎ ‎∴数列{an}是等差数列，且公差为2.‎ ‎∵a2＋a4＋a6＝9，‎ ‎∴3a4＝9，a4＝3.‎ ‎∴＝＝＝＝－3.‎ ‎6．数列{an}是以a为首项，b为公比的等比数列，数列{bn}满足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n＝1,2，…)，数列满足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1,2，…)，若为等比数列，则a＋b等于(　　)‎ A. B．3 C. D．6‎ 答案　B ‎7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝15，且满足an＋1＝an＋4n2－16n＋15，已知n，m∈N*，n>m，则Sn－Sm的最小值为(　　)‎ A．－ B．－ C．－14 D．－28‎ 答案　C 解析　根据题意可知 ‎(2n－5)an＋1＝(2n－3)an＋(2n－5)(2n－3)，‎ 式子的每一项都除以(2n－5)(2n－3)，‎ 可得＝＋1，‎ 即－＝1，‎ 所以数列是以＝－5为首项，以1为公差的等差数列，‎ 所以＝－5＋(n－1)·1＝n－6，‎ 即an＝(n－6)(2n－5)，‎ 由此可以判断出a3，a4，a5这三项是负数，‎ 从而得到当n＝5，m＝2时，Sn－Sm取得最小值，‎ 且Sn－Sm＝S5－S2＝a3＋a4＋a5＝－3－6－5＝－14.‎ ‎8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a12－a8＝8，a10－a6＝4，则S23＝(　　)‎ A．23 B．96 C．224 D．276‎ ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d，依题意得a4＋a12－a8＝2a8－a8＝a8＝8，a10－a6＝4d＝4，解得d＝1，所以a8＝a1＋7d＝a1＋7＝8，解得a1＝1，所以S23＝23×1＋×1＝276，选D.‎ ‎【答案】D ‎9．已知数列{an}为等比数列，且a1＋1，a3＋4，a5＋7成等差数列，则公差d为(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【解析】设{an}的公比为q，由题意得2(a3＋4)＝a1＋1＋a5＋7⇒2a3＝a1＋a5⇒2q2＝1＋q4⇒q2＝1，即a1＝a3，d＝a3＋4－(a1＋1)＝4－1＝3，选B.‎ ‎【答案】B ‎10．等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．5‎ ‎【解析】因为{an}为等比数列，所以a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11的等比中项，‎ 所以(a5＋a7)2＝ (a1＋a3)(a9＋a11)，‎ 故a9＋a11＝＝＝2；‎ 同理，a9＋a11是a5＋a7与a13＋a15的等比中项，‎ 所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，故a13＋a15＝＝＝1.所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.‎ ‎【答案】C ‎11．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪[1，＋∞)‎ C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)‎ ‎【答案】D ‎12．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝(n∈N*)，则＝(　　)‎ A．16 B. C. D. ‎【解析】令Sn＝38n2＋14n，Tn＝2n2＋n，∴a6＝S6－S5＝38×62＋14×6－(38×52＋14×5)＝38×11＋14；b7＝T7－T6＝2×72＋7－(2×62＋6)＝2×13＋1，∴＝＝＝16.故选A.‎ ‎【答案】A ‎13．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn是数列{an}的前n项的和，则(n∈N*)的最小值为(　　)‎ A．4 B．3 C．2－2 D. ‎【解析】∵a1＝1，a1、a3、a13成等比数列，‎ ‎∴(1＋2d)2＝1＋12d.得d＝2或d＝0(舍去)‎ ‎∴an＝2n－1，‎ ‎∴Sn＝＝n2，‎ ‎∴＝.令t＝n＋1，‎ 则＝t＋－2≥6－2＝4当且仅当t＝3，‎ 即n＝2时等号成立，∴的最小值为4.故选A.‎ ‎【答案】A ‎14．已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝1，且a2，a4，a8成等比数列，设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝________.‎ ‎15．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝8，且Sn≤S7，则公差d的取值范围是________．‎ 答案　 解析　∵a2＝8＝a1＋d，‎ ‎∴a1＝8－d，‎ Sn＝na1＋d＝(8－d)n＋d ‎＝dn2＋n，‎ 对称轴为n＝－，‎ ‎∵Sn≤S7，∴S7为Sn的最大值，‎ 由二次函数的性质可得， 得－≤d≤－，‎ 即d的取值范围是.‎ ‎16．已知数列{an}与(n∈N*)均为等差数列，且a1＝2，则a1＋2＋3＋…＋n＝________.‎ 答案　2n＋1－2‎ 解析　设an＝2＋(n－1)d，‎ 所以＝ ‎＝，‎ 由于为等差数列，‎ 所以其通项是一个关于n的一次函数，‎ 所以(d－2)2＝0，∴d＝2.‎ 所以an＝2＋2(n－1)＝2n，∴＝＝2.‎ 所以a1＋2＋3＋…＋n＝21＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2.‎ ‎17．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列，则b2 017＝________.‎ 答案　1‎ 解析　由题意得引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，‎ 此数列被3 整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，‎ 构成以8项为周期的周期数列，所以b2 017＝b1＝1.‎ ‎18．已知数列{an}满足nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)，其中a1＝1，a2＝2，若an－2，若n＝1，则λ∈R；‎ 若n>1，则λ>－，所以λ≥0.‎ 当n为偶数时，由an－2，所以λ>－，即λ≥0.‎ 综上，λ的取值范围为[0，＋∞)．‎ ‎19．已知等差数列{an}中，a3＝，则cos(a1＋a2＋a6)＝________.‎ ‎【解析】∵在等差数列{an}中，a1＋a2＋a6＝a2＋a3＋a4＝3a3＝π，∴cos(a1＋a2＋a6)＝cosπ＝－.‎ ‎【答案】－ ‎20．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝5，则＝________.‎ ‎【解析】解法一：设数列{an}的公比为q，由已知得＝1＋＝5，即1＋q2＝5，‎ 所以q2＝4，＝1＋＝1＋q4＝1＋16＝17.‎ 解法二：由等比数列的性质可知，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，若设S2＝a，则S4＝5a，‎ 由(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)得S6＝21a，同理得S8＝85a，‎ 所以＝＝17.‎ ‎【答案】17‎ ‎21．已知数列{xn}各项均为正整数，且满足xn＋1＝n∈N*.若x3＋x4＝3，则x1所有可能取值的集合为________．‎ ‎【解析】由题意得x3＝1，x4＝2或x3＝2，x4＝1.‎ 当x3＝1时，x2＝2，从而x1＝1或4；‎ 当x3＝2时，x2＝1或4，‎ 因此当x2＝1时，x1＝2，当x2＝4时，x1＝8或3.‎ 综上，x1所有可能取值的集合为{1,2,3,4,8}．‎ ‎【答案】{1,2,3,4,8}‎ ‎22．已知数列{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝8，数列{bn}是等比数列，满足b2＝4，b5＝32.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{an＋bn}的前n项和Sn.‎ ‎【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝＝2，‎ 所以an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)×2＝2n.‎ 设等比数列{bn}的公比为q，由题意得q3＝＝8，解得q＝2.‎ 因为b1＝＝2，所以bn＝b1·qn－1＝2×2n－1＝2n.‎ ‎(2)由(1)可得，Sn＝＋＝n2＋n＋2n＋1－2.‎ ‎23．已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．‎ ‎(1)对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；‎ ‎(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．‎ ‎ (1)证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a＝a1a3，即2＝λ，故λ2－4λ＋9＝λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．所以对任意实数λ，数列{an}都不是等比数列．‎ ‎(2)因为bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1·＝－(－1)n(an－3n＋21)＝－bn，b1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b1＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列；‎ 当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，‎ 则bn≠0，所以＝－(n∈N*)．‎ 故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列．‎ ‎24．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a＝(a1,1)，b＝(1，a10)，若a·b＝24，且S11＝143，数列{bn}的前n项和为Tn，且满足＝λTn－(a1－1)(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式及数列的前n项和Mn；‎ ‎(2)是否存在非零实数λ，使得数列{bn}为等比数列？并说明理由．‎ ‎(2)因为＝λTn－(a1－1)(n∈N*)，且a1＝3，‎ 所以Tn＝＋，‎ 当n＝1时，b1＝；‎ 当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝，‎ 此时有＝4，若{bn}是等比数列，‎ 则有＝4，而b1＝，b2＝，彼此相矛盾，‎ 故不存在非零实数λ使数列{bn}为等比数列． ‎