2017-2018学年福建省福建师范大学第二附属中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 9页

师大二附中2017-2018学年下学期高二理科数学期中考 数学试卷 ‎（满分：150分 完成时间：120 分钟）‎ 命题人 高一集备组 审核人 班级 座号 姓名 ‎ 一、选择题（每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的，共60分）‎ ‎1.已知，其中m为实数，i为虚数单位，若，则m的值为（　 　）‎ ‎(A) 4 (B) (C) 6 (D) 0‎ ‎2．有一段“三段论”，其推理是这样的“对于可导函数，若，则是函数的极值点，因为函数满足，所以是函数的极值点”，以上推理（ ）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．没有错误 ‎3．下列推理过程属于演绎推理的为（ ）‎ A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某种药物先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验 B．由得出 C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点 D．通项公式形如的数列为等比数列，则数列为等比数列 ‎4．4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，，则不同方法有 （ ）‎ ‎ A．43种　　　 B．34种　　 C．种　　 D．种 ‎5．设f (x)为可导函数，且满足=－1，则曲线y=f (x)在点(1, f ‎(1))处的切线的斜率是 （　 　）‎ ‎ （A）2 （B）－1 （C） （D）－2‎ ‎6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，‎ 则实数a的取值范围是 ( 　　)‎ A．(－1,2) B． (－∞，－3)∪(6，＋∞)‎ C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)‎ ‎7．如图，用5种不同颜色给图中标有1、2、3、4各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻两部分涂不同颜色．则不同的涂色方法共有（ ）‎ ‎ A．160种 B．240种 ‎ ‎ C．260种 D．360种 ‎ ‎8． 曲线， 和直线围成的图形面积是 （　 　）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎9．用反证法证明:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时正确的假设为　(　　)‎ A. a,b,c都是偶数 B. a,b,c都是奇数 C. a,b,c中至少有两个偶数 D. a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数 ‎10．6个人排成一排，其中甲、乙两人中间至少有一人的排法有（ ） ‎ ‎ A．480种　　 B．720种　 　 C．240种　　 D． 360种 ‎11．点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小是( )　 　‎ ‎(A) １ (B) (C) ２ (D) ‎ ‎12．已知定义域为D的函数f(x)，如果对任意x1，x2∈D，存在正数K，都有∣f(x1)－f(x2)∣≤K∣x1－x2∣成立，那么称函数f(x)是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：‎ ‎①f(x)＝2x；②f(x)＝2sin；③f(x)＝；④f(x)＝lg(2x2＋1)，其中是“‎ 倍约束函数”的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上）‎ ‎13．从10件产品（其中含2件次品）中任取5件，其中含有次品的抽法有　　种．‎ ‎14.已知，则 ．‎ ‎15．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 可以知道自己的成绩.‎ ‎16．已知函数f(x)的导数f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是 . ‎ 三、解答题（共6小题，17题10分，18到22题每题12分，共70分）‎ ‎17． (1) 计算定积分 ‎ ‎(2)设,计算．．‎ ‎18．m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)满足下列要求：‎ ‎(1)z是纯虚数；‎ ‎(2)z在复平面内对应的点在第二象限；‎ ‎19. 已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, ‎ ‎（1）求f(x)的单调递减区间；‎ ‎（2）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求f(x)在该区间上的最小值．‎ ‎ 20.设数列满足 （1） 当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；‎ （2） 当时，证明对所有，有 ‎21. 已知函数 ‎（1）求的单调区间； （2）求曲线在点（1，）处的切线方程；‎ ‎（3）求证：对任意的正数与，恒有．‎ ‎22．已知函数. ‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间; ‎ ‎(2)证明:对任意的t>0, 存在唯一的s,使. ‎ ‎ (3)设(2)中所确定的s关于t的函数为,证明:当时,有 参考答案：BADB;DBCD;DABC ‎13．答案 196‎ ‎14．答案—2019‎ ‎15．答案：乙、丁 ‎16．答案 (－1,0) ‎ 解析 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝－1，‎ 则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；‎ 若a>0，当x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 所以函数f(x)在x＝a处取得极小值；‎ 若－10，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，‎ 所以函数f(x)在x＝a处取得极大值；‎ 若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，－1)时，f′(x)>0，‎ 所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．所以a∈(－1,0)．‎ ‎17．解： (1)ʃ(x2＋sin x)dx ‎＝ʃx2dx＋ʃsin xdx ‎＝2ʃx2dx＝2·|＝.‎ ‎(2)如图，ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋ʃ(2－x)dx ‎＝x3|＋(2x－x2)| ‎＝＋(4－2－2＋)＝.‎ ‎18．解： ‎ ‎（1）由，得，即时，是纯虚数．‎ ‎（2）由，得，‎ 即时，在复平面内对应的点在第二象限.‎ ‎19、解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．‎ ‎ ‎ ‎（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，‎ ‎ 所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2． ‎ 故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，‎ 即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．‎ ‎20.‎ ‎21. （1）单调增区间 ，单调减区间 ‎ （2）切线方程为 ‎ ‎（3）所证不等式等价为 而，设则，由（1）结论可得，由此，所以即，记代入得证。‎ ‎22.‎