2018届二轮复习 函数的图象 学案（全国通用） 13页

‎ 2.7　函数的图象 考情考向分析　函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以选择题为主，中档难度．‎ ‎1．描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．‎ ‎2．图象变换 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 ‎①y＝f(x)y＝－f(x)；‎ ‎②y＝f(x)y＝f(－x)；‎ ‎③y＝f(x)y＝－f(－x)；‎ ‎④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．‎ ‎(3)伸缩变换 ‎①y＝f(x) y＝f(ax)．‎ ‎②y＝f(x) y＝af(x)．‎ ‎(4)翻折变换 ‎①y＝f(x)y＝|f(x)|.‎ ‎②y＝f(x)y＝f(|x|)．‎ 知识拓展 ‎1．关于对称的三个重要结论 ‎(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．‎ ‎(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．‎ ‎(3)若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．‎ ‎2．函数图象平移变换八字方针 ‎(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．‎ ‎(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　×　)‎ ‎(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(　×　)‎ ‎(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　×　)‎ ‎(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P88思考]函数f(x)＝x＋的图象关于________对称．‎ 答案　原点 解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数．‎ ‎3．[P71习题T12]函数y＝21－x的大致图象为________．(填序号)‎ 答案　①‎ 解析　y＝21－x＝x－1，因为0<<1，所以y＝x－1为减函数，取x＝0，则y＝2，故填①.‎ ‎4．[P35习题T5]f(x)＝|x－3|＋|x＋1|的单调递增区间为________．‎ 答案　[3，＋∞)‎ 解析　f(x)＝|x－3|＋|x＋1|＝ 画出f(x)的图象如图，‎ 由图象可知函数的单调递增区间为[3，＋∞)．‎ 题组三　易错自纠 ‎5．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点向________平移3个单位长度，再向________平移________个单位长度．‎ 答案　左　下　1‎ 解析　∵y＝lg＝lg(x＋3)－lg 10＝lg(x＋3)－1，‎ ‎∴把y＝lg x的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度即得y＝lg的图象．‎ ‎6．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数__________的图象．‎ 答案　f(－x＋1)‎ 解析　图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1.‎ ‎7．设f(x)＝|lg(x－1)|，若02(由于a4.‎ 题型一　作函数的图象 作出下列函数的图象：‎ ‎(1)y＝|x|；‎ ‎(2)y＝|log2(x＋1)|；‎ ‎(3)y＝x2－2|x|－1.‎ 解　(1)作出y＝x的图象，保留y＝x的图象中x≥0的部分，再作出y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图①实线部分．‎ ‎(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②实线部分．‎ ‎(3)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图③实线部分．‎ 思维升华 图象变换法作函数的图象 ‎(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数．‎ ‎(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．‎ 题型二　函数图象的应用 命题点1　研究函数的性质 典例 (1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________．(填序号)‎ ‎①f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)；‎ ‎②f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)；‎ ‎③f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)；‎ ‎④f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)．‎ 答案　③‎ 解析　(1)将函数f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值得 f(x)＝ 画出函数f(x)的图象，‎ 如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足00.‎ 当x∈时，y＝cos x<0.‎ 结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图象知，‎ 当1f(－x)－2x的解集是__________．‎ 答案　(－1,0)∪(1，]‎ 解析　由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x.‎ 在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，]．‎ 高考中的函数图象及应用问题 考点分析 高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解题前提．‎ 典例 (1)若函数f(x)＝的图象如图所示，则m的取值范围为________．‎ 解析　根据图象可知，函数图象过原点，‎ 即f(0)＝0，∴m≠0.‎ 当x>0时，f(x)>0，∴2－m>0，即m<2，‎ 函数f(x)在[－1,1]上是单调递增的，‎ ‎∴f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，‎ f′(x)＝ ‎＝>0，‎ ‎∵m－2<0，∴只需要x2－m<0在[－1,1]上恒成立，‎ ‎∴(x2－m)max<0，∴m>1，‎ 综上所述，10，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．‎ 解析　如图，当x≤m时，f(x)＝|x|；当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m在(m，＋∞)上为增函数，‎ 若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.‎ 答案　(3，＋∞)‎ ‎1．已知下列曲线：‎ 以及编号为①②③④的四个方程：‎ ‎①－＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0；④|x|－y＝0.‎ 按照曲线A，B，C，D的顺序，则依次与之对应的方程的编号为________．‎ 答案　④②①③‎ 解析　按图象逐个分析，注意x，y的取值范围．‎ ‎2．方程xlg(x＋2)＝1有________个不同的实数根．‎ 答案　2‎ 解析　依题意知x≠0，且x>－2，原式等价于lg(x＋2)＝，在同一直角坐标系中作出y＝lg(x ‎＋2)，y＝(x>－2且x≠0)的图象，如图所示，故方程有2个不同实数根．‎ ‎3．若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)图象的对称轴方程是________．‎ 答案　x＝1‎ 解析　因为f(2x＋1)是偶函数，‎ 所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，所以f(x)＝f(2－x)，‎ 所以f(x)图象的对称轴为直线x＝1.‎ ‎4．已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5，则方程f(x)＝g(x)的根的个数为________．‎ 答案　2‎ 解析　在平面直角坐标系内作出f(x)，g(x)的图象如图所示，由已知g(x)＝(x－2)2＋1，得其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，‎ 可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．‎ ‎5．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为________．‎ 答案　f(x)＝e－x－1‎ 解析　与y＝ex的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位长度，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.‎ ‎6．对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为________．‎ 答案　2‎ 解析　作出f(x)的图象，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．‎ ‎7. 如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f＝______.‎ 答案　2‎ 解析　∵由图象知f(3)＝1，‎ ‎∴＝1.‎ ‎∴f＝f(1)＝2.‎ ‎8．设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为______________．‎ 答案　{x|x≤0或10在R上恒成立，求m的取值范围．‎ 解　(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，‎ G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示，‎ 由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，即原方程有一个解；‎ 当00)，H(t)＝t2＋t，‎ 因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.‎ 因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，‎ 应有m≤0，‎ 即所求m的取值范围为(－∞，0]．‎