数学文卷·2018届陕西省黄陵中学高新部高二下学期第四学月考试（2017-06） 7页

‎ 高新部高二第四次学月考试文科数学试题 一、选择题(每小题5分，共60分)‎ ‎1．化简cos 15°cos 45°－sin15°sin 45°的值为（　　） ‎ A．－ 　　　 B． C． D．－ ‎2．等差数列中，已知，，则（　　）‎ A．5 B．‎6 ‎ C．8 D．10‎ ‎3．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是（　　）‎ A．①②③ B．①② C．②③ D．②④‎ ‎4．已知直线(t为参数)，下列命题中错误的是(　　)‎ A．直线经过点(7，－1)‎ B．直线的斜率为 C．直线不过第二象限 D．|t|是定点M0(3，－4)到该直线上对应点M的距离 ‎5．以t为参数的方程表示(　　)‎ A．过点(1，－2)且倾斜角为的直线 B．过点(－1,2)且倾斜角为的直线 C．过点(1，－2)且倾斜角为的直线 D．过点(－1,2)且倾斜角为的直线 ‎6．双曲线－＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在的直线的方程是 (　　)‎ A．8x－9y＝7　　　　　　 B．8x＋9y＝25‎ C．4x－9y＝6 D．不存在 ‎7．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论正确的是(　　)‎ A．a＋c>b＋d B．a－c>b－d C．ac>bd D.> ‎8．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是(　　)‎ A．b－a>0 B．a3＋b3<0‎ C．b＋a>0 D.a2－b2<0‎ ‎9．曲线的中心坐标为(　　)‎ A．(－2,1)　　　　　　　 B．(－1,2)‎ C．(1，－2)　 D．(1,2)‎ ‎10．直线x－y＋4＝0与曲线(θ为参数)的公共点有(　　)‎ A．0个　 B．1个 C．2个　 D．3个 ‎11．若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，则m，n的大小关系为(　　)‎ A．m＞n　　　　　　 B．m≥n C． m＜n D．m≤n ‎12．若a＜b＜0，则下列不等式关系中不能成立的是(　　)‎ A.＞ B.＞ C．|a|＞|b| D．a2＞b2‎ 二、填空题(每小题5分，共20分)‎ ‎13．过点P且倾斜角为30°的直线和曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB长为__________ ________.‎ ‎14．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝，设l与曲线(θ为参数)交于两点A，B，则点P到A，B两点的距离之积为__________ ________.‎ ‎ 15．直线l：x－y＋4＝0与圆C：，则C上各点到l的距离的最小值为_____． ‎ ‎16．点(－3，0)到直线(t为参数)的距离为________．‎ 三、解答题(17题10分，其余12分，共70分)‎ ‎17．设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程；‎ ‎(2)设此直线与曲线C：(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|；‎ ‎(3)设AB中点为M，求|PM|.‎ ‎18．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1‎ 的极坐标方程为ρcosθ=4．‎ ‎（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ ‎（2）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．‎ ‎19.已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：‎ ‎（1）（a+b）（a5+b5）≥4； （2）a+b≤2．‎ ‎20．(1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：＜；‎ ‎(2)若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，‎ 求证：＞.‎ ‎21．已知数列满足，()．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：()．‎ ‎22．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，试求|PQ|的最大值．‎ ‎ 参考答案 ‎1-5. CCADC 6-10 AACCB 11-12.BB ‎ ‎13.　2 ‎14.　2‎ ‎15、2－2 ‎ ‎16、1 ‎ ‎17.解析：　(1)直线l的参数方程是 (t为参数)．‎ ‎(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得42＋2－16＝0.‎ 即13t2＋4(3＋12)t＋116＝0.‎ 由t的几何意义，知 ‎|PA|·|PB|＝|t1·t2|，‎ 故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝.‎ ‎(3)由t的几何意义，知 中点M的参数为，‎ 故|PM|＝|t1＋t2|＝.‎ ‎18.【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，‎ 设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，‎ ‎∵|OM||OP|=16，‎ ‎∴=16，‎ 即（x2+y2）（1+）=16， 整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），‎ ‎∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．‎ ‎（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，‎ ‎∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，‎ ‎∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．‎ ‎19.【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2≥4，‎ 当且仅当=，即a=b=1时取等号，‎ ‎（2）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，‎ ‎∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，‎ 由均值不等式可得：=ab≤（）2，‎ ‎∴（a+b）3﹣2≤，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．‎ ‎20.【证明】　 (1)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.‎ ‎∴0＜－＜－.又a＞b＞0，‎ ‎∴－＞－＞0，‎ ‎∴ ＞，即－＞－.‎ 两边同乘以－1，得＜.‎ ‎(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.‎ ‎∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，‎ ‎∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴＜.‎ 又∵e＜0，‎ ‎∴＞.‎ ‎21解：（1），‎ ‎∴， ‎ ‎∴是以为首项，2为公比的等比数列．‎ ‎∴．‎ 即． ‎ ‎（2）证明：∵‎ ‎<，， ‎ ‎∴． ‎ ‎22.解析：　∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，‎ ‎∴x2＋y2－12y＝0，‎ 即x2＋(y－6)2＝36‎ 又∵ρ＝12cos，‎ ‎∴ρ2＝12ρ(cos θcos ＋sin θsin )，‎ ‎∴x2＋y2－6x－6y＝0，‎ ‎∴(x－3)2＋(y－3)2＝36.‎ ‎∴|PQ|max＝6＋6＋ ‎＝18.‎