【数学】2020届一轮复习人教A版解不等式的方法（理）学案 8页

专题33 解不等式的方法 一．【学习目标】‎ ‎1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．‎ ‎2．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．‎ ‎3．熟练掌握分式不等式、含绝对值不等式、指数不等式和对数不等式的解法．‎ 二．【知识要点】‎ ‎1．一元一次不等式 一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集为：‎ ‎(1)a>0时，‎ ‎(2)a<0时，．‎ ‎2．一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集的各种情况如下表 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)求解过程的程序框图如下． ‎ 三．典例分析 ‎（一） 分式不等式的解法 ‎1．设集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x＞﹣1}；‎ ‎∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜4}．‎ 故选：D．‎ 练习1．若函数是奇函数，则使成立的的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 练习2．已知a∈R，不等式的解集为p，且－2∉p，则a的取值范围为(　　)‎ A．(－3，＋∞) B．(－3,2)‎ C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵－2∉p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.‎ 点睛：解分式不等式时，一般是把分式不等式转化为整式不等式求解，如果不等号中含有“等号”，但在转化时特别要注意分母不为零，否则就是错误的结论．本题中－2不是题中不等式的解，则就有使分母为零的一种情形，不能遗漏．‎ 练习3．已知函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式(x2－2x－3)f′(x ‎)>0的解集为(　　)‎ A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)‎ B．(－∞，－2)∪(1,2)‎ C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)‎ D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由f(x)的图象可知，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上，f′(x)>0，在(－1,1)上，f′(x)<0.由(x2－2x－3)·f′(x)>0，得或即或，所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)． ‎ 练习3．已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 作出函数图像可知：当时有三个交点，故实数的取值范围是 ‎（三）抽象不等式 例3．定义在上的函数，对任意的都有且当时，，则不等式的解集为__________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，由，得；由，得.‎ ‎∵，‎ ‎∴函数为奇函数。‎ ‎∴当时，由，得；由，得.‎ 不等式等价于或，‎ 解得或。‎ ‎∴不等式的解集为。‎ 答案： ‎ 练习1．已知奇函数是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数k的值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析： 由题意得：只有一解，即， 只有一解，因此 ‎（四）无理不等式 例4．设是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴函数在上单调递增。‎ ‎∵，‎ ‎∴,‎ 即，‎ ‎∴,‎ ‎∴，解得。‎ 所以原不等式的解集为。‎ 答案： 。‎ 练习1．若不等式的解集为，且，则的取值集合为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式的解集应该是曲线位于直线上方的部分为符合题意的图象，观察其横坐标，可得是方程的一个解，且，建立方程组，解之可得的取值集合.‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的求解以及数形结合的应用，属于中档题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ 练习2．不等式的解集非空，则k的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由－kx＋1≤0，得≤kx－1，设f(x)＝，g(x)＝kx－1，显然函数f(x)和g(x)的定义域都为[－2,2]．令y＝，两边平方得x2＋y2＝4，故函数f(x)的图象是以原点O为圆心，2为半径的圆在x轴上及其上方的部分．而函数g(x)的图象是直线l：y＝kx－1在[－2,2]内的部分，该直线过点C(0，－1)，斜率为k.如图，作出函数f(x)，g(x)的图象，不等式的解集非空，即直线l和半圆有公共点，可知k的几何意义就是半圆上的点与点C(0，－1)连线的斜率．‎ 由图可知A(－2,0)，B(2,0)，故kAC＝，kBC＝.‎ 要使直线和半圆有公共点，则k≥或k≤.‎ 所以k的取值范围为(－∞，]∪[，＋∞)．‎ ‎（五）含参数的不等式 例5．要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是__________． ‎ ‎【答案】（1）f（x）=x2-2x+3；（2）m的值为-1；（3）[6，+∞）．‎ ‎ （2）由于f（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2， 函数y=f（log3x+m）=（log3x+m-1）2+2， 令t=log3x，（-1≤t≤1），则y=（t+m-1）2+2， 由题意可知最小值只能在端点处取得， 若t=1时，取得最小值3，即有m2+2=3，解得m=±1， 当m=1时，函数y=t2+2在区间[-1，1]的最小值为2， 则m=1舍去； 当m=-1时，函数y=（t-2）2+2在区间[-1，1]递减， 可得t=1时取得最小值且为3； 若t=-1时，取得最小值3，即有（m-2）2+2=3，解得m=3或1， 当m=1时，函数y=t2+2在区间[-1，1]的最小值为2， 则m=1舍去； 当m=3时，函数y=（t+2）2+2在区间[-1，1]递增， 可得t=-1时取得最小值且为3．‎ 结合可知.‎ ‎（3）由于f（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2， 即有f（x）在（2，4）递增， 设x1＞x2，则f（x1）＞f（x2）， |f（x1）-f（x2）|＜k|x1-x2|即为f（x1）-f（x2）＜k（x1-x2）， 即有f（x1）-kx1＜f（x2）-kx2， ‎ 由题意可得g（x）=f（x）-kx在（2，4）递减． 由g（x）=x2-（2+k）x+3，对称轴为 ， 即有 ，解得k≥6， 则实数k的取值范围为[6，+∞）．‎