【数学】2020年高考真题——全国Ⅰ卷（文）（精校版） 11页

‎2020年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑.‎ 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B＝（ ）‎ A.{－4，1} B.{1，5} C.{3，5} D.{1，3}‎ ‎2.若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝（ ）‎ A.0 B.1 C. D.2‎ ‎3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，电邮实验数(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点 图：‎ 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）‎ A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx2 C.y＝a＋bex D.y＝a＋blnx ‎6.已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎7.设函数f(x)＝cos(ωx＋)在[－π，π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.设alog34＝2，则4－a＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.执行右图的程序框图，则输出的n＝（ ）‎ A.17 B.19 C.21 D.23‎ ‎10.设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝（ ）‎ A.12 B.24 C.30 D.32‎ ‎11.设F1，F2是双曲线C：的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（ ）‎ A. B.3 C. D.2‎ ‎12.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（ ）‎ A.64π B.48π C.36π D.32π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若x，y满足约束条件，则z＝x＋7y的最大值为 .‎ ‎14.设向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1，2m－4)，若a⊥b，则m＝ .‎ ‎15.曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .‎ ‎16.数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝ .‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题：共60分.‎ ‎17.(12分)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：‎ ‎(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；‎ ‎(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?‎ ‎18.(12分)‎ ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.‎ ‎(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；‎ ‎(2)若sinA＋sinC＝，求C.‎ ‎19.(12分)‎ 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.‎ ‎(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；‎ ‎(2)设DO＝，圆锥的侧面积为π，求三棱锥P－ABC的体积.‎ ‎20.(12分)‎ 已知函数f(x)=ex-a(x+2)，‎ ‎(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎21.已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．‎ ‎（1）求E的方程；‎ ‎（2）证明：直线CD过定点.‎ ‎(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ－16ρsinθ＋3＝0.‎ ‎(1)当k＝1时，C1是什么曲线?‎ ‎(2)当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标.‎ ‎23.[选修4－5：不等式选讲](10分)‎ 已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.‎ ‎(1)画出y＝f(x)的图像；‎ ‎(2)求不等式f(x)>f(x＋1)的解集.‎ ‎【参考答案】‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.D 2.C 3.C 4.A 5.D 6.A 7.C 8.B 9.C 10.D 11.B 12.A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.1‎ ‎14.5‎ ‎15.2x-y=0‎ ‎16.7‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17. 解：（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；‎ ‎（2）甲分厂加工件产品的总利润为元，‎ 所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；‎ 乙分厂加工件产品的总利润为 元，‎ 所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件．‎ 故厂家选择甲分厂承接加工任务．‎ ‎18.解：（1）由余弦定理可得，‎ 的面积；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎19.（1）证明：为圆锥顶点，为底面圆心，平面，‎ 在上，，‎ 是圆内接正三角形，，，‎ ‎，即，‎ 平面平面，平面平面；‎ ‎（2）解：设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，‎ ‎，解得，，‎ 在等腰直角三角形中，，‎ 在中，，‎ 三棱锥的体积为.‎ ‎ ‎ ‎20.解：（1）当时，，，‎ 令，解得，令，解得，‎ 所以的减区间为，增区间为；‎ ‎（2）若有两个零点，即有两个解，‎ 从方程可知，不成立，即有两个解，‎ 令，则有，‎ 令，解得，令，解得或，‎ 所以函数在和上单调递减，在上单调递增，‎ 且当时，，‎ 而时，，当时，，‎ 所以当有两个解时，有，‎ 所以满足条件的的取值范围是：.‎ ‎21.解：（1）依据题意作出如下图象：‎ 由椭圆方程可得：， ，‎ ‎，‎ ‎，‎ 椭圆方程为：‎ ‎（2）证明：设，‎ 则直线的方程为：，即：‎ 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：‎ ‎，解得：或 将代入直线可得：‎ 所以点的坐标为.‎ 同理可得：点的坐标为 直线的方程为：，‎ 整理可得：‎ 整理得：‎ 故直线过定点 ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.解：（1）当时，曲线的参数方程为为参数），‎ 两式平方相加得，‎ 所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；‎ ‎（2）当时，曲线的参数方程为为参数）， ‎ 所以，曲线的参数方程化为为参数），‎ 两式相加得曲线方程为，‎ 得，平方得，‎ 曲线的极坐标方程为，‎ 曲线直角坐标方程为，‎ 联立方程，‎ 整理得，解得或（舍去），‎ ‎，公共点的直角坐标为.‎ ‎ [选修4—5：不等式选讲] ‎ ‎23.解：（1）因为，作出图像，如图所示：‎ ‎（2）将函数的图像向左平移个单位，可得函数的图像，如图所示：‎ 由，解得．‎ 所以不等式的解集为．‎