数学卷·2018届四川省德阳市中江县龙台中学高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版） 17页

‎2016-2017学年四川省德阳市中江县龙台中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．经过圆（x+1）2+y2=1的圆心，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（　　）‎ A．x+y﹣1=0 B．x+y+1=0 C．x﹣y﹣1=0 D．x﹣y+1=0‎ ‎2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β ‎3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，且BP=BD1，则三棱锥P﹣ABC的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（　　）‎ A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0‎ C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0‎ ‎5．直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（　　）‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 ‎7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β ‎8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A．108 B．100 C．92 D．84‎ ‎9．空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别为AB、CD的中点，MN=7，则异面直线AC和BD所成的角等于（　　）‎ A．30° B．60° C．90° D．120°‎ ‎10．已知正三角形ABC的边长为2，D是BC边的中点，将三角形ABC沿AD翻折，使，若三棱锥A﹣BCD的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）‎ A．7π B．19π C． D．‎ ‎11．直线y=kx+1与圆x2+y2+kx﹣y=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎12．已知点P（t，t），点M是圆O1：x2+（y﹣1）2=上的动点，点N是圆O2：（x﹣2）2+y2=上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（　　）‎ A．1 B．﹣2 C．2+ D．2‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，则a=　　．‎ ‎14．圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4my+4m2﹣8=0相交，则m的取值范围是　　．‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为　　．‎ ‎16．已知AC，BD为圆O：x2+y2=9的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，合计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．如图在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M为AB的中点．‎ ‎（I）证明：AC⊥SB；‎ ‎（Ⅱ）求点B到平面SCM的距离．‎ ‎18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点．‎ ‎（1）求证：BD1∥平面AEC．‎ ‎（2）求异面直线BC1与AC所成的角．‎ ‎19．已知圆C经过点A（1，1）和B（4，﹣2），且圆心C在直线l：x+y+1=0上．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设M，N为圆C上两点，且M，N关于直线l对称，若以MN为直径的圆经过原点O，求直线MN的方程．‎ ‎20．如图为一组合几何体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD且PD=AD=2EC=2．‎ ‎（I）求证：AC⊥平面PDB；‎ ‎（II）求四棱锥B﹣CEPD的体积；‎ ‎（III）求该组合体的表面积．‎ ‎21．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．‎ ‎（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的大小；‎ ‎（Ⅱ）在线段AB上是否存在一点E，使平面PCE⊥平面PCD？若存在，请指出点E的位置并证明，若不存在请说明理由．‎ ‎22．设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x2+y2﹣2x﹣4=0．‎ ‎（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；‎ ‎（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省德阳市中江县龙台中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．经过圆（x+1）2+y2=1的圆心，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（　　）‎ A．x+y﹣1=0 B．x+y+1=0 C．x﹣y﹣1=0 D．x﹣y+1=0‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】先求得圆心坐标为（﹣1，0），根据直线x+y=0的斜率为1，可得所求直线的斜率为﹣1，用点斜式求得所求的直线的方程．‎ ‎【解答】解：由于（x+1）2+y2=1的圆心坐标为（﹣1，0），直线x+y=0的斜率为1，故所求直线的斜率为﹣1，‎ 故所求的直线的方程为 y﹣0=﹣1（x+1），即x+y+1=0，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．‎ ‎【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；‎ B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；‎ C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．‎ D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，且BP=BD1，则三棱锥P﹣ABC的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】P到平面ABCD的距离为，代入棱锥的体积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：∵BP=BD1，‎ ‎∴P到平面ABCD的距离d=DD1=，‎ ‎∴VP﹣ABC===．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（　　）‎ A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0‎ C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．‎ ‎【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，‎ 所以=，所以b=±5，‎ 所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】画出图形，建立空间直角坐标系，从而求出向量，的坐标，从而BM与AN所成角的余弦值为||=．‎ ‎【解答】解：根据已知条件，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设CA=2，则：‎ A（2，0，2），N（1，0，0），B（0，2，2），A1（2，0，0），B1（0，2，0），M（1，1，0）；‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ ‎∴BM与AN所成角的余弦值为．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（　　）‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系．‎ ‎【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2=1外，‎ ‎∴a2+b2＞1，‎ ‎∴圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=＜1=r，‎ 则直线与圆的位置关系是相交．‎ 故选B ‎　‎ ‎7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．‎ ‎【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；‎ 选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；‎ 选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；‎ 选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A．108 B．100 C．92 D．84‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，分别计算长方体和棱锥的体积，相减可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，‎ 长方体的体积为：6×6×3=108，‎ 棱锥的体积为：××4×3×4=8，‎ 故组合体的体积V=108﹣8=100，‎ 故选：B ‎　‎ ‎9．空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别为AB、CD的中点，MN=7，则异面直线AC和BD所成的角等于（　　）‎ A．30° B．60° C．90° D．120°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】由题意画出图形，得到异面直线AC和BD所成的角（或补角），由余弦定理求解得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 取AD中点G，连接MG，NG，‎ ‎∵AC=10，BD=6，M、N分别为AB、CD的中点，‎ ‎∴NG=5，MG=3，又MN=7，‎ cos∠MGN=，‎ ‎∴cos∠MGN=120°，‎ 则异面直线AC和BD所成的角等于60°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．已知正三角形ABC的边长为2，D是BC边的中点，将三角形ABC沿AD翻折，使，若三棱锥A﹣BCD的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）‎ A．7π B．19π C． D．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OD，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．‎ ‎【解答】解：△BCD中，BD=1，CD=1，BC=，所以∠BDC=120°，‎ 底面三角形的底面圆半径为：DM=CM=1，‎ AD是球的弦，DA=，∴OM=，‎ ‎∴球的半径OD=．‎ 该球的表面积为：4π×OD2=7π；‎ 故选：A ‎　‎ ‎11．直线y=kx+1与圆x2+y2+kx﹣y=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】联立直线与圆的方程得到一个方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，由直线与圆的两交点关于y轴对称，得到两交点的横坐标互为相反数，即横坐标相加为0，利用韦达定理表示出两根之和，令其等于0列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．‎ ‎【解答】解：联立直线与圆的方程得：‎ ‎，‎ 消去y得：（k2+1）x2+2kx=0，‎ 设方程的两根分别为x1，x2，‎ 由题意得：x1+x2=﹣=0，‎ 解得：k=0．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．已知点P（t，t），点M是圆O1：x2+（y﹣1）2=上的动点，点N是圆O2：（x﹣2）2+y2=上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（　　）‎ A．1 B．﹣2 C．2+ D．2‎ ‎【考点】两点间的距离公式．‎ ‎【分析】先根据两圆的方程求出圆心和半径，结合图形，把求PN﹣PM的最大值转化为PO2﹣PO1+1的最大值，再利用PO2﹣PO1=PO2﹣PO1′≤O1′O2=1，即可求出对应的最大值．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 圆O1：x2+（y﹣1）2=的圆心O1（0，1），‎ 圆O2：（x﹣2）2+y2=的圆心O2（2，0），这两个圆的半径都是；‎ 要使PN﹣PM最大，需PN最大，且PM最小，‎ 由图可得，PN最大值为PO2+，‎ PM的最小值为PO1﹣，‎ 故PN﹣PM最大值是（PO2+）﹣（PO1﹣）=PO2﹣PO1+1，‎ 点P（t，t）在直线 y=x上，O1（0，1）关于y=x的对称点O1′（1，0），‎ 直线O2O1′与y=x的交点为原点O，‎ 则PO2﹣PO1=PO2﹣PO1′≤O1′O2=1，‎ 故PO2﹣PO1+1的最大值为1+1=2，‎ 即|PN|﹣|PM|的最大值为2．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，则a=　3　．‎ ‎【考点】关于点、直线对称的圆的方程．‎ ‎【分析】求出圆的圆心代入对称轴方程即可求出a的值．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2）；圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，‎ 可得：﹣a+2+1=0，解得a=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎14．圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4my+4m2﹣8=0相交，则m的取值范围是　（0，2）或　．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】先把圆的方程整理才标准方程，进而可知两圆的圆心坐标和半径，进而根据两圆心的距离小于半径之和，大于圆心距离之差，最后取交集答案可得．‎ ‎【解答】解：整理圆C1得（x﹣m）2+y2=4，整理圆C2得（x+1）2+（y﹣2m）2=9‎ ‎∴C1的圆心为（m，0），半径为2，圆C2：圆心为（﹣1，2m），半径为3，‎ ‎∵两圆相交 ‎∴圆心之间的距离小于两圆半径之和，大于两圆半径之 故答案为：（0，2）或 ‎　‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为　（x﹣1）2+y2=2　．‎ ‎【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．‎ ‎【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：圆心到直线的距离d==≤，‎ ‎∴m=1时，圆的半径最大为，‎ ‎∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．‎ 故答案为：（x﹣1）2+y2=2．‎ ‎　‎ ‎16．已知AC，BD为圆O：x2+y2=9的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为　15　．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】由圆的方程找出圆心坐标为（0，0），半径r=3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，再由M的坐标，根据矩形的性质及勾股定理得到d12+d22=OM2，由M和O的坐标，利用两点间的距离公式求出OM2，进而得到d12+d22的值，再由圆的半径，弦心距及弦长的一半，由半径的值表示出|AB|与|CD|的长，又四边形ABCD的两对角线互相垂直，得到其面积为两对角线乘积的一半，表示出四边形的面积，并利用基本不等式变形后，将求出的d12+d22的值代入，即可得到面积的最大值．‎ ‎【解答】解：∵圆O：x2+y2=9，‎ ‎∴圆心O坐标（0，0），半径r=3，‎ 设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，‎ ‎∵M（1，），‎ 则d12+d22=OM2=12+（）2=3，‎ 又|AC|=2，|BD|=2‎ ‎∴四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|=2•≤18﹣（d12+d22）=18﹣3=15，‎ 当且仅当d12 =d22时取等号，‎ 则四边形ABCD面积的最大值为15．‎ 故答案为：15．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，合计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．如图在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M为AB的中点．‎ ‎（I）证明：AC⊥SB；‎ ‎（Ⅱ）求点B到平面SCM的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）欲证AC⊥SB，取AC中点D，连接DS、DB，根据线面垂直的性质定理可知，只须证AC⊥SD且AC⊥DB，即得；‎ ‎（Ⅱ）设点B到平面SCM的距离为h，利用等体积法：VB﹣SCM=VS﹣CMB，即可求得点B到平面SCM的距离．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AC的中点D，连接DS，DB．‎ ‎∵SA=SC，BA=BC，‎ ‎∴AC⊥DS，且AC⊥DB，DS∩DB=D，‎ ‎∴AC⊥平面SDB，又SB⊂平面SDB，‎ ‎∴AC⊥SB． ‎ ‎（Ⅱ）解：∵SD⊥AC，平面SAS⊥平面ABC，‎ ‎∴SD⊥平面ABC．‎ 如图，过D作DE⊥CM于E，连接SE，则SE⊥CM，‎ ‎∴在Rt△SDE中，SD=1，DE=，‎ ‎∴SE=．CM是边长为2的正△ABC的中线，∴CM=．‎ ‎∴=．‎ ‎=．‎ 设点B到平面SCM的距离为h，‎ 则由VB﹣SCM=VS﹣BCM得，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点．‎ ‎（1）求证：BD1∥平面AEC．‎ ‎（2）求异面直线BC1与AC所成的角．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（1）利用线面平行的判定定理进行证明．‎ ‎（2）连结AD1、CD1，可证出四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．等边△AD1C中求出∠D1AC=60°，即得异面直线AC与BC1所成角的大小．‎ ‎【解答】解：（1）连结BD交AC于O，则O为BD的中点，‎ 连EO，因为E是DD1的中点，所以EO∥BD1，‎ 又EO⊂面AEC，BD1⊈面AEC，‎ 所以BD1∥平面AEC．‎ ‎（2）连结AD1、CD1，‎ ‎∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，ABC1D1，‎ ‎∴四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，‎ 由此可得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．‎ ‎∵△AD1C是等边三角形，‎ ‎∴∠D1AC=60°，即异面直线AC与BC1所成角的大小为60°．‎ ‎　‎ ‎19．已知圆C经过点A（1，1）和B（4，﹣2），且圆心C在直线l：x+y+1=0上．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设M，N为圆C上两点，且M，N关于直线l对称，若以MN为直径的圆经过原点O，求直线MN的方程．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意，分析可得圆C的圆心是线段AB的垂直平分线与直线l的交点，先求出线段AB的垂直平分线的方程，与直线l联立可得圆心C的坐标，进而可得圆的半径，即可得答案；‎ ‎（Ⅱ）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为r，可以设p的坐标为（m，﹣1﹣m），结合直线与圆的位置关系可得（m﹣1）2+（m﹣1）2+m2+（m+1）2=9，解得m的值，即可得p的坐标，分析可得直线MN的斜率为1，由直线的点斜式方程可得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（4，﹣2）‎ ‎∴直线AB的斜率…‎ ‎∴直线AB的垂直平分线的斜率为1 …‎ 又线段AB的中点坐标为 ‎∴线段AB的垂直平分线的方程是，即x﹣y﹣3=0…‎ ‎∵圆心C在直线l：x+y+1=0上 ‎∴圆心C的坐标是方程组的解，得圆心C的坐标（1，﹣2）…‎ ‎∴圆C的半径长…‎ ‎∴圆C的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2=9…‎ ‎（Ⅱ）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为r ‎∵M，N是圆C上的两点，且M，N关于直线l：x+y+1=0对称 ‎∴点P在直线l：x+y+1=0上 ‎∴可以设点P坐标为（m，﹣1﹣m）…‎ ‎∵以MN为直径的圆经过原点O ‎∴以MN为直径的圆的半径长…‎ ‎∵MN是圆C的弦，‎ ‎∴|CP|2+r2=9，即（m﹣1）2+（m﹣1）2+m2+（m+1）2=9，解得m=﹣1或 ‎∴点P坐标为（﹣1，0）或…‎ ‎∵直线MN垂直直线l：x+y+1=0，‎ ‎∴直线MN的斜率为1…‎ ‎∴直线MN的方程为：x﹣y+1=0或x﹣y﹣4=0…‎ ‎　‎ ‎20．如图为一组合几何体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD且PD=AD=2EC=2．‎ ‎（I）求证：AC⊥平面PDB；‎ ‎（II）求四棱锥B﹣CEPD的体积；‎ ‎（III）求该组合体的表面积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知结合线面垂直的性质可得PD⊥AC，又底面ABCD为正方形，得AC⊥BD，再由线面垂直的判定得AC⊥平面PDB；‎ ‎（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，可得面PDCE⊥面ABCD，进一步得到BC⊥平面PDCE．求出S梯形PDCE，代入棱锥体积公式求得四棱锥B﹣CEPD的体积；‎ ‎（Ⅲ）求解直角三角形得△PBE的三边长，再由三角形面积公式可得组合体的表面积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，‎ 又底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，‎ ‎∵BD∩PD=D，‎ ‎∴AC⊥平面PDB；‎ ‎（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，且PD⊂面PDCE，‎ ‎∴面PDCE⊥面ABCD，又BC⊥CD，∴BC⊥平面PDCE．‎ ‎∵S梯形PDCE=（PD+EC）•DC=×3×2=3，‎ ‎∴四棱锥B﹣CEPD的体积VB﹣CEPD=S梯形PDCE•BC=×3×2=2；‎ ‎（Ⅲ）解：∵BE=PE=，PB=2，‎ ‎∴SPBE=×2×=．‎ 又∵SABCD=2×2=4，SPDCE=3，SPDA==2，SBCE==1，SPAB==2，‎ ‎∴组合体的表面积为10+2+．‎ ‎　‎ ‎21．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．‎ ‎（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的大小；‎ ‎（Ⅱ）在线段AB上是否存在一点E，使平面PCE⊥平面PCD？若存在，请指出点E的位置并证明，若不存在请说明理由．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设M，N分别是AB和CD的中点，连接PM，MN，PN，推导出PM⊥AB，MN⊥AB，从而∠PMN为二面角P﹣AB﹣C的平面角，由此能求出二面角P﹣AB﹣C的大小．‎ ‎（Ⅱ）设E，F，G分别为MB，PN和PC的中点，连接MF，FG，EG，EC，推导出MF⊥PN，CD⊥MF，从而MF⊥平面PCD，推导出四边形EMFG为平行四边形，从而EG⊥平面PCD，由此得到存在点E，使平面PCE⊥平面PCD，此时E为线段MB的中点．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）如图，设M，N分别是AB和CD的中点，连接PM，MN，PN…‎ ‎∵PA=PB，M是AB的中点 ‎∴PM⊥AB 又在正方形ABCD中有MN⊥AB ‎∴∠PMN为二面角P﹣AB﹣C的平面角…‎ ‎∵，AB=2，M是AB的中点 ‎∴PM=2‎ 同理可得PN=2，又MN=2‎ ‎∴△PMN是等边三角形，故∠PMN=60°‎ ‎∴二面角P﹣AB﹣C为60°，…‎ ‎（Ⅱ）存在点E，使平面PCE⊥平面PCD，此时E为线段MB的中点．理由如下 …‎ 如图，设E，F，G分别为MB，PN和PC的中点，连接MF，FG，EG，EC…‎ 由（Ⅰ）知△PMN是等边三角形，故MF⊥PN ‎∵CD⊥MN，CD⊥PN，MN∩PN=N ‎∴CD⊥平面PMN，故CD⊥MF 又CD∩PN=N ‎∴MF⊥平面PCD…‎ ‎∵F，G分别为PN和PC的中点 ‎∴FG=∥‎ 又E为线段MB的中点 ‎∴FG=∥ME，故四边形EMFG为平行四边形…‎ ‎∴EG∥MF ‎∴EG⊥平面PCD 又EG⊂平面PCE ‎∴平面PCE⊥平面PCD．…‎ ‎　‎ ‎22．设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x2+y2﹣2x﹣4=0．‎ ‎（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；‎ ‎（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，则（0，b）点在圆M：x2+y2﹣2x﹣4=0的内部，进而得到b的取值范围；‎ ‎（2）b=1时，l必过（0，1）点，当l过圆心时，|AB|取最大值，当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．‎ ‎【解答】解：（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，‎ 则（0，b）点在圆M：x2+y2﹣2x﹣4=0的内部，‎ 即b2﹣4＜0，‎ 解得：﹣2＜b＜2；‎ ‎（2）当b=1时，l必过（0，1）点，‎ 当l过圆心时，|AB|取最大值，即圆的直径，‎ 由M：x2+y2﹣2x﹣4=0的半径r=，‎ 故|AB|的最大值为2，‎ 当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．‎ 此时圆心M（1，0）到（0，1）的距离d=，‎ ‎|AB|=2=2，‎ 故|AB|的最小值为2．‎