命题角度1-2 一般数列的通项公式与前n项和的求解（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列 6页

‎2018届高考数学（文）大题狂练 命题角度2一般数列的通项公式与前n项和的求解 ‎1.已知等差数列的前项和为，若， ， （，且）．‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用等差数列有关公式求得基本量， ，从而得到数列的通项；（2）利用错位相减法求数列的前项和.‎ ‎（2）；下面先求的前项和，‎ ‎①；【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎②；‎ 两式相减得 ，‎ ‎∴（）．‎ 故的前项和为．‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎2.已知等差数列满足． ‎ ‎（1）求数列的通项公式；  ‎ ‎（2）设，求的前项和 ‎【答案】(1) an=2n−1;(2)见解析.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【解析】试题分析：（1）有条件列关于首项与公差的方程组，解方程组即得数列的通项公式；（2）==−，所以利用裂项相消法求和 ‎ ‎ ‎(2)证明：由(1)得bn=，‎ ‎∴==−，‎ ‎∴++…+=(1−)+(−)+…+(−),==1−<1，‎ ‎∴++…+<1.‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎3．已知公差为正数的等差数列满足，成等比数列.‎ ‎（1）求的通项公式 ‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 当为偶数时，，‎ 当为奇数时，为偶数，，‎ 综上，‎ 考点：1.等差数列有关知识及运用;2.等比数列的有关知识及运用．‎ ‎4．已知数列中， ，且.‎ ‎（1）求的值及数列的通项公式；‎ ‎（2）设，且数列的前项和为，求．‎ ‎【答案】（1）， （2）‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎5.已知递增等差数列‎{an}‎的前n项和为Sn,a‎1‎‎=1‎,且a‎2‎‎+1,a‎4‎+1,‎S‎4‎成等比数列.‎ ‎（1）求数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎（2）设bn‎=anan+1‎+an+1‎an-2‎,求数列‎{bn}‎的前n项和Tn.‎ ‎【答案】（Ⅰ）an‎=2n-1‎；（Ⅱ）Τn‎=‎‎4n‎2n+1‎。‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等差数列‎{an}‎的公差为d，根据题设条件，列出方程求解a‎1‎‎,d，即可求解数列‎{an}‎的通项公式；（2）把bn‎=2(‎1‎‎2n-1‎-‎1‎‎2n+1‎)‎，利用裂项求解数列的和.‎ 试题解析：（1）设等差数列‎{an}‎的公差为d，因为‎∵a‎1‎-1,∴a‎2‎+1=2+d,a‎4‎+1=2+3d,S‎4‎=4+6d ‎∵a‎2‎+1,a‎4‎+1,‎S‎4‎成等比数列,‎∴‎(a‎4‎+1)‎‎2‎-(a‎2‎+1)‎S‎4‎, 即‎(2+3d)‎‎2‎‎=(2+d)(4+6d)‎,‎ 解得d=2‎或d=-‎2‎‎3‎,∵‎等差数列‎{an}‎是递增数列，‎∴d=2,∴an=2n-1‎.‎ ‎（2）‎‎∵bn=anan+1‎+an+1‎an-2=‎2n-1‎‎2n+1‎+‎2n+1‎‎2n-1‎-2=(1-‎2‎‎2n+1‎)+(1+‎2‎‎2n-1‎)-2=2(‎1‎‎2n-1‎-‎1‎‎2n+1‎)‎ ‎∴Tn=2(1-‎1‎‎3‎)+2(‎1‎‎3‎-‎1‎‎5‎)+...+2(‎1‎‎2n-1‎-‎1‎‎2n+1‎)=2(1-‎1‎‎2n+1‎)=‎‎4n‎2n+1‎‎.‎ 考点：等差数列的通项公式及数列求和.‎ ‎6.已知数列的前项和为,且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足,求数列的通项公式；‎ ‎（3） 令,数列的前项和为.‎ ‎【答案】（1）（2） （3） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时，由，再验证满足该式（2）同（1）方法，由， 两式相减得 （3） ，求和用先分组求和，再用错位相减法求和 试题解析：解：（1）当时，,当时，,‎ 知 满足该式，∴数列的通项公式为．‎ ‎（2））①‎ ‎②‎ ‎②-①得：,故.‎ ‎（3）,‎ ‎,‎ 令,①【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 则②‎ ‎①-②得：‎ ‎ . ‎ ‎∴数列的前项和 考点：由和项求通项，错位相减法求和 ‎【方法点睛】给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 应用关系式an＝时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎ ‎