数学文卷·2017届山西大学附属中学高三上学期12月月考（2016 17页

山西大学附属中学 ‎2016~2017学年高三第一学期12月（总第六次）模块诊断 数学试题（文）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一.选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎2.复数满足，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知是简单命题，则“是真命题”是“是假命题”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.下列结论正确的是（ ）‎ A．若直线平面，直线平面，则 B．若直线平面，直线平面，则 C．若两直线与平面所成的角相等，则 D．若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则 ‎5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（　　）‎ A．24里 B．48里 C．96里 D．192里 ‎6．已知数列为等差数列，满足 ，其中 在一条直线上， 为直线外一点，记数列的前项和为，则 的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）‎ A.0个 B.至多一个 C.1个 D.2个 ‎8. 定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 在长为的线段上任取一点. 现作一矩形，邻边长分别等于线段,的长，则该矩形面积大于的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知三棱锥,A,B,C三点均在球心为O的球表面上,AB=BC=1,∠ABC=120°,‎ 三棱锥的体积为,则球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 设双曲线左，右焦点为是双曲线上的一点，与轴垂直，的内切圆方程为，则双曲线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 非选择题（90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．曲线在处的切线方程为_________.‎ A B O ‎14题图 ‎14.如图，在圆中，为圆心，为圆的一条弦，，‎ 则 ．‎ ‎15．在直线上任取一点，过作抛物线的切线，切点分别为、，则直线恒过的点是 ．‎ ‎16.函数 ‎,对任意,存在,使得成立, 则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成 ‎5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；‎ ‎（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：K2=．‎ ‎19．（本小题满分12分）在三棱柱中，，侧棱平面，且，分别是棱，的中点，点在棱上，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，其左，右焦点分别为，，点是坐标平面内一点，且，，其中为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点，且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎21. （本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调减区间；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.‎ 请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。‎ ‎22. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中, 过点作倾斜角为的直线与曲线相交于不同的两点．‎ ‎(I)写出直线的参数方程;‎ ‎（Ⅱ） 求 的取值范围．‎ ‎23. (本小题满分10分) 选修4-4：不等式选讲 已知函数 ‎ (I)求不等式的解集;‎ ‎(II)设，若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ 山西大学附属中学 ‎2016~2017学年高三第一学期12月（总第六次）模块诊断 ‎ 数学试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎【答案】B.‎ ‎2.复数满足，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 试题分析：因为，所以 故选C.‎ ‎3.已知是简单命题，则“是真命题”是“是假命题”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由p∧q为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．由此可知“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分不必要条件．‎ ‎【解答】解：∵p∧q为真命题，‎ ‎∴p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．‎ ‎∴“p∧q是真命题”推出“¬p是假命题”，反之不能推出．‎ 则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分而不必要条件．故选A．‎ ‎4.下列结论正确的是（ ）‎ A．若直线平面，直线平面，则 B．若直线平面，直线平面，则 C．若两直线与平面所成的角相等，则 D．若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则 ‎5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（　　）‎ A．24里 B．48里 C．96里 D．192里 ‎【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，‎ 由题意和等比数列的求和公式可得=378，‎ 解得a1=192，∴第此人二天走192×=96步 故选：C ‎6．已知数列为等差数列，满足，其中在一条直线上，为直线外一点，记数列的前项和为，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 试题分析：依题意有，故.‎ ‎7.若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）‎ A.0个 B.至多一个 C.1个 D.2个 ‎【答案】D. ‎ 试题分析：由题意得，，‎ ‎∴，∴点在椭圆的内部，∴交点个数为2个，故选D.‎ ‎8.定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）‎ A． B． C．D．‎ ‎【答案】A 试题分析：设则 在定义域上单调递增，‎ 又∴不等式的解集为.选A 理科9.已知，，则函数的图象恒在轴上方的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 试题分析：因为函数的图象恒在轴上方，则．因为，，所以，所以，所以，所以．如图建立的直角坐标系，如图所示，图中阴影部分的面积即为满足条件的范围．因为，所以所求概率，故选C．‎ ‎（文科）9. 在长为12cm的线段上任取一点. 现作一矩形，邻边长分别等于线段,的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎10.已知三棱锥,A,B,C三点均在球心为O的球表面上,AB=BC=1,∠ABC=120°,三棱锥的体积为,则球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 试题分析：的面积是,设球心到平面的距离为,则,所以．外接圆的直径,所以．球的半径,故所求的球的表面积是．故A正确．‎ ‎11.设双曲线左，右焦点为是双曲线上的一点，与轴垂直，的内切圆方程为，则双曲线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 试题分析：由题意，点是双曲线左支上一点，由双曲线的定义可知，若设的内切圆心在横轴上的投影为，则该点也是内切圆与横轴的切点，设分别为内切圆与的切点，根据切线的性质可知，有 ‎，即，所以内切圆的圆心横坐标为，则，又由与轴垂直，则点，且，所以，又，解得，所以双曲线的方程为，故选D．‎ ‎12.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 试题分析：由条件知，方程，即在上有解．设，则．因为，所以在有唯一的极值点．因为＝，，，又，所以方程在上有解等价于，所以的取值范围为，故选B．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎（理科）13. ,则.28‎ ‎（文科）13．曲线在处的切线方程为_________.‎ ‎【答案】.‎ 试题分析：由题意得，，∴，而时，，∴切线方程为，即，故填：.‎ A B O ‎14题图 ‎14.如图，在圆中，为圆心，为圆的一条弦，，则8．‎ ‎15．在直线上任取一点，过作抛物线的切线，切点分别为、，则直线恒过的点是 ‎【答案】（0，2）‎ ‎16.函数 ‎,对任意,存在,使得成立, 则实数的取值范围是．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意可知，，故 ‎，所以，解得.‎ 考点：三角恒等变换，恒成立问题．‎ ‎【思路点晴】本题考查三角恒等变换，恒成立问题等知识点.题目的关键语句在于“对任意,存在,使得成立,”也就是说，的函数值，都有的函数值和它相对应，由此可知的值域是值域的子集.接下来利用三角函数求最值的方法，求出的值域，进而求得的取值范围.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求的值.（Ⅱ）若的值．‎ ‎17. （1）依题意，‎ 由正弦定理及-------------------3分 ‎--6分 ‎ （2）由 由（舍去负值）-------------------------------8分 从而，--------------------------------------------9分 由余弦定理，得 代入数值，得解得：--12分 理科18.（本小题满分12分）‎ 某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响.（Ⅰ）求比赛进行局结束，且乙比甲多得分的概率；‎ ‎（Ⅱ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．‎ 理科18解（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为.…………1分 比赛进行局结束，且乙比甲多得分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则.‎ ‎（Ⅱ）由题意知，的取值为.………5分 则…………6分 ‎…………7分 ‎…………9分 所以随机变量的分布列为 ‎………10分 则…………12 ‎ 文科18．（本小题满分12分）某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；‎ ‎（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：K2=．‎ ‎【考点】独立性检验；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）根据分层抽样原理计算抽取的男、女生人数，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值；‎ ‎（2）由频率分布直方图计算对应的数据，填写列联表，计算K2值，对照数表即可得出概率结论．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，‎ 分数小于等于110分的学生中，‎ 男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；‎ 女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2；…‎ 从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：‎ ‎（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），‎ ‎（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；‎ 其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：‎ ‎（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），‎ ‎（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；…‎ 故所求的概率为P==…‎ ‎（2）由频率分布直方图可知，‎ 在抽取的100名学生中，男生 60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…‎ 据此可得2×2列联表如下：‎ 数学尖子生 非数学尖子生 合计 男生 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ 女生 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 所以得K2==≈1.79；…‎ 因为1.79＜2.706，‎ 所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”…‎ ‎(理科)19．（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．‎ ‎（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题可知，线面平行通常有三种方法，平行四边形法，中位线法，构造辅助平面法，本题中采用平行四边形法，通过计算EF的边长，可得四边形是平行四边形，故有平面；（2）解法一，通过线面垂直的判定方法得出，即就是二面角的平面角，运用向量的数量积定义，即可得出余弦值为，解法二，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC与平面BCE 的法向量，运用向量的数量积定义，即可得出余弦值为；‎ 试题解析：（1）由题意知，，都是边长为的等边三角形，取中点，连接，，‎ 则，，又∵平面平面，∴平面，作平面，‎ 那么，根据题意，点落在上，∵和平面所成的角为，∴，‎ ‎∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，‎ ‎∵不包含于平面，平面，∴平面．‎ ‎（2）解法一：作，垂足为，连接，∵平面，∴，又，‎ ‎∴平面，∴，∴就是二面角的平面角．‎ 中，，，∴，‎ 即二面角的余弦值为．‎ 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎，∴，‎ 平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，‎ 则，∴，∴．‎ 所以，‎ 又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角的余弦值为．‎ ‎．‎ ‎（文科）19．（本小题满分12分）在三棱柱中，，侧棱平面，且，分别是棱，的中点，点在棱上，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ 试题解析：（1）设为的中点，连结，∵，为的中点，∴为的中点，‎ 又∵为的中点，∴，又∵为的中点，为的中点，∴，‎ 又∵，∴四边形为平行四边形，∴，又∵，∴，‎ 又∵平面，平面，∴平面；（2）∵，‎ ‎，分别为，的中点，，∴面，而，‎ ‎，‎ ‎∵，∴．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为 ‎，其左，右焦点分别为，，点是坐标平面内一点，且，，其中为坐标原点.‎ ‎(1)求椭圆的方程；(2)过点，且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 ‎ 解：(1)，设，又，，‎ ‎，，‎ ‎，从而 椭圆的方程为 …………4分 ‎(2)设代入椭圆整理得，成立.‎ 记，，则，，‎ 设存在定点，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎ 存在定点满足要求. …………12分 ‎21.（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；‎ ‎（Ⅲ）若正实数满足，证明．‎ 试题解析：（Ⅰ），由，得，‎ 又，所以．所以的单调减区间为．‎ ‎（Ⅱ）令，‎ 所以．当时，因为，所以．所以在上是递增函数，又因为，所以关于的不等式不能恒成立．‎ 当时，，‎ 令，得．所以当时，；当时，，‎ 因此函数在是增函数，在是减函数．故函数的最大值为．令，因为，，又因为在是减函数．‎ 所以当时，．所以整数的最小值为2．‎ ‎（Ⅲ）由，即 ‎，‎ 从而 令，则由得，，可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．‎ 所以， 所以，又，‎ 因此成立 请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。‎ ‎22. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中, 过点作倾斜角为的直线与曲线相交于不同的两点．‎ ‎(1) 写出直线的参数方程;‎ ‎(2) 求 的取值范围．‎ ‎22、（Ⅰ）为参数）…………………………………… 4分 ‎（Ⅱ）为参数）代入，得 ‎ ，‎ ‎…………10分 ‎23. (本小题满分10分) 已知函数 ‎ (I)求不等式的解集;‎ ‎(II)设，若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】：(Ⅰ)原不等式可化为： 即：2分 ‎ 由得 由得 ‎ 综上原不等式的解为……………5分 ‎(Ⅱ)原不等式等价于 令，即，…………8分 由，所以，‎ 所以.………………10分 考点：本题主要考查绝对值不等式的解法。‎