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  • 2021-06-11 发布

2015届高三一轮文科数学《优题自主测验》04

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一.单项选择题。(本部分共5道选择题) 1.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为1 2,则 该几何体的俯视图可能是(  ). [来源:学科网 ZXXK] [来源:学科网 ZXXK] 解析 当俯视图为 A 中正方形时,几何体为边长为 1 的正方体,体积为 1;当俯 视图为 B 中圆时,几何体为底面半径为1 2,高为 1 的圆柱,体积为π 4 ;当俯视图 为 C 中三角形时,几何体为三棱柱,且底面为直角边长为 1 的等腰直角三角形, 高为 1,体积为1 2. 答案 C 2.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线, 则 α∥β 的一个充分而不必要条件是(  ). A.m∥β 且 l1∥α B.m∥l1 且 n∥l2 C.m∥β 且 n∥β D.m∥β 且 n∥l2 解析 对于选项 A,不合题意;对于选项 B,由于 l1 与 l2 是相交直线,而且由 l1 ∥m 可得 l1∥α,同理可得 l2∥α 故可得 α∥β,充分性成立,而由 α∥β 不 一定能得到 l1∥m,它们也可以异面,故必要性不成立,故选 B;对于选项 C,由 于 m,n 不一定相交,故是必要非充分条件;对于选项 D,由 n∥l2 可转化为 n∥ β,同选项 C,故不符合题意,综上选 B. 答案 B 3.经过两点 A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为3π 4 ,则 y=(  ). A.-1 B.-3 C.0 D.2 解析 由2y+1--3 4-2 =2y+4 2 =y+2, 得:y+2=tan 3π 4 =-1.∴y=-3. 答案 B 4.直线 l:4x+3y-2=0 关于点 A(1,1)对称的直线方程为(  ) A.4x+3y-4=0 B.4x+3y-12=0 C.4x-3y-4=0 D.4x-3y-12=0 解析 在对称直线上任取一点 P(x,y), 则点 P 关于点 A 对称的点 P′(x′,y′)必在直线 l 上. 由Error!得 P′(2-x,2-y), ∴4(2-x)+3(2-y)-2=0,即 4x+3y-12=0. 答案 B 5.设 a>2,A= a+1+ a,B= a+2+ a-2,则 A、B 的大小关系是(  ) A.A>B B.AB2,选 A. 答案 A 二.填空题。(本部分共 2 道填空题) 1.如图,半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面 积与该圆柱的侧面积之差是________. [来源:学*科*网] 解析 由球的半径为 R,可知球的表面积为 4πR2.设内接圆柱底面半径为 r,高 为 2h , 则 h2 + r2 = R2. 而 圆 柱 的 侧 面 积 为 2πr·2h = 4πrh≤4πr2+h2 2 = 2πR2(当且仅当 r=h 时等号成立),即内接圆柱的侧面积最大值为 2πR2,此时 球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为 2πR2 . 答案 2πR2 2.若函 数 f(x)= 的定义域为 R,则 a 的取值范围为________. 解析 ∵y= 的定义域为 R, ∴对一切 x∈R 都有 2x2+2ax-a≥1 恒成立, 即 x2+2ax-a≥0 恒成立.∴Δ≤0 成立,即 4a2+4a≤0,[来源:学科网 ZXXK] ∴-1≤a≤0. 答案 [-1,0] 三.解答题。(本部分共 1 道解答题) 1.设椭圆方程为 x2+y2 4 =1,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,O 为坐 标原点,点 P 满足OP → =1 2(OA → +OB → ),点 N 的坐标为(1 2, 1 2),当直线 l 绕点 M 旋转 时,求: (1)动点 P 的轨迹方程; (2)|NP → |的最大值,最小值. 解析 (1)直线 l 过定点 M(0,1),设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知,A、B 的坐标满足方程组Error![来源:Z#xx#k.Com] 消去 y 得(4+k2)x2+2kx-3=0. 则 Δ=4k2+12(4+k2)>0. ∴x1+x2=- 2k 4+k2,x1x2= -3 4+k2. 设 P(x,y)是 AB 的中点,则OP → =1 2(OA → +OB → ),得 Error! 消去 k 得 4x2+y2-y=0. 当斜率 k 不存在时,AB 的中点是坐标原点,也满足这个方程, 故 P 点的轨迹方程为 4x2+y2-y=0. (2)由(1)知 4x2+(y- 1 2)2=1 4 ∴-1 4≤x≤1 4 而|NP|2=(x- 1 2)2+(y- 1 2)2 =(x- 1 2)2+1-16x2 4 =-3(x+ 1 6)2+ 7 12, ∴当 x=-1 6时,|NP → |取得最大值 21 6 , 当 x= 1 4时,|NP → |取得最小值 1 4.