2015届高三一轮文科数学《优题自主测验》04 4页

一．单项选择题。（本部分共5道选择题） 1．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为1 2，则 该几何体的俯视图可能是(　　)． [来源:学科网 ZXXK] [来源:学科网 ZXXK] 解析　当俯视图为 A 中正方形时，几何体为边长为 1 的正方体，体积为 1；当俯 视图为 B 中圆时，几何体为底面半径为1 2，高为 1 的圆柱，体积为π 4 ；当俯视图 为 C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为 1 的等腰直角三角形， 高为 1，体积为1 2. 答案　C 2．设 m，n 是平面 α 内的两条不同直线；l1，l2 是平面 β 内的两条相交直线， 则 α∥β 的一个充分而不必要条件是(　　)． A．m∥β 且 l1∥α B．m∥l1 且 n∥l2 C．m∥β 且 n∥β D．m∥β 且 n∥l2 解析　对于选项 A，不合题意；对于选项 B，由于 l1 与 l2 是相交直线，而且由 l1 ∥m 可得 l1∥α，同理可得 l2∥α 故可得 α∥β，充分性成立，而由 α∥β 不 一定能得到 l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选 B；对于选项 C，由 于 m，n 不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项 D，由 n∥l2 可转化为 n∥ β，同选项 C，故不符合题意，综上选 B. 答案　B 3．经过两点 A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π 4 ，则 y＝(　　)． A．－1 B．－3 C．0 D．2 解析　由2y＋1－－3 4－2 ＝2y＋4 2 ＝y＋2， 得：y＋2＝tan 3π 4 ＝－1.∴y＝－3. 答案　B 4．直线 l：4x＋3y－2＝0 关于点 A(1,1)对称的直线方程为(　　) A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 解析 在对称直线上任取一点 P(x，y)， 则点 P 关于点 A 对称的点 P′(x′，y′)必在直线 l 上． 由Error!得 P′(2－x,2－y)， ∴4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即 4x＋3y－12＝0. 答案　B 5．设 a>2，A＝ a＋1＋ a，B＝ a＋2＋ a－2，则 A、B 的大小关系是(　　) A．A>B B．AB2，选 A. 答案　A 二．填空题。（本部分共 2 道填空题） 1．如图，半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面 积与该圆柱的侧面积之差是________． [来源:学*科*网] 解析　由球的半径为 R，可知球的表面积为 4πR2.设内接圆柱底面半径为 r，高 为 2h ， 则 h2 ＋ r2 ＝ R2. 而 圆 柱 的 侧 面 积 为 2πr·2h ＝ 4πrh≤4πr2＋h2 2 ＝ 2πR2(当且仅当 r＝h 时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为 2πR2，此时 球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为 2πR2 . 答案　2πR2 2．若函 数 f(x)＝ 的定义域为 R，则 a 的取值范围为________． 解析　∵y＝ 的定义域为 R， ∴对一切 x∈R 都有 2x2＋2ax－a≥1 恒成立， 即 x2＋2ax－a≥0 恒成立．∴Δ≤0 成立，即 4a2＋4a≤0，[来源:学科网 ZXXK] ∴－1≤a≤0. 答案　[－1,0] 三．解答题。（本部分共 1 道解答题） 1．设椭圆方程为 x2＋y2 4 ＝1，过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，O 为坐 标原点，点 P 满足OP → ＝1 2(OA → ＋OB → )，点 N 的坐标为(1 2， 1 2)，当直线 l 绕点 M 旋转 时，求： (1)动点 P 的轨迹方程； (2)|NP → |的最大值，最小值． 解析　(1)直线 l 过定点 M(0,1)，设其斜率为 k，则 l 的方程为 y＝kx＋1. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A、B 的坐标满足方程组Error![来源:Z#xx#k.Com] 消去 y 得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0. 则 Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0. ∴x1＋x2＝－ 2k 4＋k2，x1x2＝ －3 4＋k2. 设 P(x，y)是 AB 的中点，则OP → ＝1 2(OA → ＋OB → )，得 Error! 消去 k 得 4x2＋y2－y＝0. 当斜率 k 不存在时，AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程， 故 P 点的轨迹方程为 4x2＋y2－y＝0. (2)由(1)知 4x2＋(y－ 1 2)2＝1 4 ∴－1 4≤x≤1 4 而|NP|2＝(x－ 1 2)2＋(y－ 1 2)2 ＝(x－ 1 2)2＋1－16x2 4 ＝－3(x＋ 1 6)2＋ 7 12， ∴当 x＝－1 6时，|NP → |取得最大值 21 6 ， 当 x＝ 1 4时，|NP → |取得最小值 1 4.