专题28+三角函数++解三角形2（余弦定理）-2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试 9页

2019 年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试 28 三角函数 解三角形 2（余弦定理） 【考点讲解】 一、具本目标：1.掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 ； 2. 能够运用余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 3.考纲解读：利用余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题，需要综合应用两个定理及三角 形有关知识；余弦定理的应用比较广泛，也比较灵活，在高考中常与面积或取值范围结合进行考查；会利 用数学建模思想，结合三角形的知识，解决生产实践中的相关问题. 二、知识概述：1.余弦定理： 余弦定理 内容 变形形式 解决的问题 （1）已知三边，求各角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 2.有关的概念：（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线 下方的角叫做俯角. （2）方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角. （3）方向角：相对于某一正方向的水平角. （4）坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫做坡角.坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度.0 3.三角形的面积公式： . . 3. 解斜三角形在实际中的应用：解斜三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海等方面都可能用到， 解题的一般步骤： （1）分析题意，准确理解题意，分清已知与所求； （2）根据题意画出示意图； （3）将需要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理，余弦定理等关知识求解； （4）检验所得到结果是否具有实际意义，对解进行取舍，并写出答案. 4.常见题型与方法： （1）灵活应用正、余弦定理及三角公式进行边角转换 （2）三角形形状的判定方法： ①化边为角；②化角为边. （3）三角形中三角函数求值，恒等式证明. （4）通过三角变换探索角的关系，符号规律. （5）熟练掌握由三角形三个元素（至少有一边）求解三角形的其它元素方法； （6）常用的三角形的有关定理：正、余弦定理；内角和定理； （7）常用的三角形面积公式； （8）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能解决解三角形的计算问题． 【真题分析】 1.【2018 全国Ⅱ卷 6】在 ABC△ 中， 5cos 2 5 C  ， 1BC  ， 5AC  ，则 AB  （ ） A． 4 2 B． 30 C． 29 D． 2 5 【答案】A 2.【2018 年全国卷Ⅲ理】 ABC△ 的内角 A B C， ， 的对边分别为 a，b ，c ，若 ABC△ 的面积为 2 2 2 4 a b c  ， 则C  A． π 2 B． π 3 C． π 4 D． π 6 【解析】本题考点是三角形的面积公式与余弦定理的综合问题. 由题意可知， ，所以有 ，由余弦定理 可得， ，并且  ,0C ，所以有 4 C . 【答案】C 3.【2015 福建文理】．若锐角 ABC 的面积为10 3 ，且 ，则 BC 等于________． 【解析】本题考点是三角形面积公式与余弦定理． 由已知得 ABC 的面积为 10 3 ，所以 3sin 2A  ， (0, )2A  ，所以 3A  ．由余弦定理得 49 ， 7BC  ． 【答案】 7 4.【2016 山东文】 ABC△ 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c.已知 ,则 A= A. 3π 4 B. π 3 C. π 4 D. π 6 【解析】本题考点余弦定理的应用，由余弦定理得： ，因为 ，所以 ，因为 cos 0A  ，所以 tan 1A  ，因为  0,A  ，所以 4A  ，故选 C. 【答案】C 5.【2016 全国新课标Ⅲ】在 ABC△ 中， π 4B = ，BC 边上的高等于 1 3 BC ,则 cos A= （ ） A. 3 10 10 B. 10 10 C. 10 10- D. 3 10 10- 【答案】C 6.【2016 全国新课标Ⅰ】 △ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 5a  ， 2c  ， 2cos 3A  ， 则 b=( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 【解析】本题考点是余弦定理的应用，由余弦定理得 ，解得 3b （ 3 1b 舍去）. 【答案】D 7.【2017 课标 3，理 17】 △ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 ，a=2 7 ,b=2. （1）求 c； （2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD  AC,求 △ ABD 的面积. 试题分析：(1)由题意首先求得 2 3A  ，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得 4c  ； (2)利用题意首先求得 △ ABD 面积与 △ ACD 面积的比值，然后结合 △ ABC 的面积可求得 △ ABD 的面积为 3 . 【解析】（1）由已知得 ，所以 2 3A  . 在 △ ABC 中，由余弦定理得 ，即 . 解得： 6c   (舍去)， 4c  . 【答案】(1) 4c  ；(2) 3 8.【2018 年全国卷Ⅰ理数】在平面四边形 ABCD 中， ， 45A   ， 2AB  ， 5BD  . （1）求 cos ADB ； （2）若 2 2DC  ，求 BC . （2）由题设及（1）知， . 在 BCD△ 中，由余弦定理得 25 . 所以 5BC  . 【模拟考场】 1.在 △ ABC 中，如果(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则 A 等于 ( ) A.150° B.120° C.60° D.30° 【解析】由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc 得(b＋c)2－a2＝3bc,∴b2＋c2－a2＝bc， ∴ 【答案】C 2.在 △ ABC 中，若 = 13AB ,BC=3， 120C   ,则 AC= （ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【解析】：由余弦定理得 ,选 A. 【答案】A 3. 在 ABC 中 ， 内 角 , ,A B C 所 对 的 边 分 别 为 , ,a b c ， 已 知 ABC 的 面 积 为 3 15 ， 则 a 的值为 . 【答案】8 4.若锐角 ABC 的面积为10 3 ，且 ，则 BC 等于________． 【解析】由已知得 ABC 的面积为 10 3 ，所以 3sin 2A  ， (0, )2A  ， 所以 3A  ．由余弦定理得 49 ， 7BC  ． 【答案】 7 5.已知 cba ,, 分别为 ABC 三个内角 CBA ,, 的对边， 2a ，且 ，则 ABC 面积的最大值为____________． 【解析】由 2a ，且 ，故 ，又 根据正弦定理，得 ，化简得， ，故 ，所 以 060A ，又 ，故 ． 【答案】 3 6.如图 14，在△ ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D，满足 PD=DA， PB=BA，则四面体 PBCD 的体积的最大值是 . 由余弦定理可得 . 故 . 在 PBD 中， ， . 由余弦定理可得 ， 所以 . 由此可得，将△ ABD 沿 BD 翻折后可与△ PBD 重合，无论点 D 在任何位置，只要点 D 的位置确定， 当平面 PBD⊥平面 BDC 时，四面体 PBCD 的体积最大（欲求最大值可不考虑不垂直的情况）. 过 P 作直线 BD 的垂线，垂足为O .设 PO d ，则 ， 即 ，解得 . 而△ BCD的面积 . 当平面 PBD⊥平面 BDC 时： 四面体 PBCD 的体积 . 观察上式，易得 ，当且仅当 =2 3x x ，即 = 3x 时取等号，同时我们可以 发现当 = 3x 时， 取得最小值，故当 = 3x 时，四面体 PBCD 的体积最大，为 1 .2 【答案】 1 2 7.设 . （Ⅰ）求  f x 的单调区间； （Ⅱ）在锐角 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,若 ,求 ABC 面积的最大值. 试题分析：（I）首先利用二倍角公式化简函数  f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间； （II）首先由 02 Af      结合（I）的结果，确定角 A 的值，然后结合余弦定理求出三角形 ABC 面积的 最大值. 由 可得 由 可得 所以函数  f x 的单调递增区间是 ； 单调递减区间是 （II）由 得 1sin 2A  .由题意知 A 为锐角，所以 3cos 2A  由余弦定理： ，可得： . 即： 当且仅当b c 时等号成立. 因此 ，所以 ABC 面积的最大值为 2 3 4  【答案】（I）单调递增区间是 ；单调递减区间是 . （II） ABC 面积的最大值为 2 3 4  ， 因为 ，所以当 4A   时， 取得最大值1. 【答案】（1） 4  ；（2）1.