专题11-1 排列与组合-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（理）（解析版） 19页

www.ks5u.com ‎2017年高考备考之 ‎3年高考2年模拟1年原创 ‎【三年高考】‎ ‎1. 【2016高考新课标2理】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）‎ ‎（A）24 （B）18 （C）12 （D）9‎ ‎【答案】B ‎2. 【2016年高考四川理】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ‎（A）24 　（B）48 　（C）60 　（D）72‎ ‎【答案】D ‎3．【2016高考新课标3理】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若 ‎，则不同的“规范01数列”共有（ ）‎ ‎（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个 ‎【答案】C ‎【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎4．【2016高考江苏卷】（1）求 的值；‎ ‎（2）设m，nN*，n≥m， 求证：（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+n+（n+1）=（m+1）.‎ ‎【解析】（1）‎ ‎（2）当时，结论显然成立，当时 ，又因为所以因此.‎ ‎5．【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）‎ ‎（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个 ‎【答案】B ‎【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有个.选B.‎ ‎6.【2015高考上海，理8】在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：‎ ‎7.【2015高考广东，理12】某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）‎ 【答案】．‎ ‎8.【2014浙江高考理第14题】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不同的获奖分两种，一是有一人获两张将卷，一人获一张，共有，二是有三人各获得一张，共有，因此不同的获奖情况有种 ‎9.【2014辽宁高考理第6题】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）‎ A．144 B．120 C．72 D．24‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，将6把椅子依次编号为1,2,3,4,5,6，故任何两人不相邻的做法，可安排：“1,3,5”；“1,3,6”；“1,4,6”；“2,4,6”号位置做热坐人，故总数由4=24，故选D.‎ ‎10.【2014重庆高考理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )‎ A.72 B.120 C.144 D.168‎ ‎【答案】B ‎【解析】将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有(种)；第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有(种)；根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法.故选B.‎ ‎11.【2014高考广东卷理第8题】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【三年高考命题回顾】‎ 纵观前三年各地高考试题,对排列与组合知识的考查均以应用题的形式出现，题型为选择题、填空题，题量多是一道，分值为5分，属于中档题．内容以考查排列、组合的基础知识为主．题目难度与课本习题难度相当，但有个别题目难度较大，重点考查分析问题，解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法.‎ ‎【2017年高考复习建议与高考命题预测】‎ 由前三年的高考命题形式可以看出 , 排列、组合 是高考数学相对独立的内容，也是密切联系实际的一部分.预测2017年高考中，应该注重基本概念，基础知识和基本运算的考查.试题难度不会太大，多以选择、填空的形式出现.排列组合的试题会以现实生活中的生产问题、经济问题为背景，不会仅是人或数的排列.以排列组合应用题为载体，考查学生的抽象概括能力，分析能力，综合解决问题的能力.排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；复习建议：⑴ 使用分类计数原理还是分步计数原理要根据我们完成某件事情时采取的方式而定，分类来完成这件事情时用分类计数原理，分步骤来完成这件事情时用分步计数原理.怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事情.所以准确理解两个原理的关键在于明确：分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此之间交集为空集，并集为全集，不论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成事件；分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.⑵ 排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关.⑶ 复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验.⑷ 按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法，要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义.⑸ 处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能.⑹ 在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定——问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误是重复和遗漏计数.常见的解题策略有以下几种：①特殊元素优先安排的策略；②合理分类与准确分步的策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略；④正难则反、等价转化的策略；⑤相邻问题捆绑处理的策略；⑥不相邻问题插空处理的策略；⑦定序问题除法处理的策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.‎ ‎【2017年高考考点定位】‎ 本节内容高考的重点就是利用计数原理，排列组合，排列数、组合数计算公式与组合数性质, 重点考查学生的抽象概括能力，分析问题，解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法.题型既有选择题也有填空题,难度中等偏下,将排列组合与概率统计相结合是近几年高考的一大热点.‎ ‎【考点1】计数原理 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1. 分类加法计数原理（加法原理）的概念 一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=++……+种不同的方法.‎ ‎2．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念 一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.‎ ‎3. 两个原理的区别：‎ ‎（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.‎ ‎（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.‎ ‎4.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1. 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．‎ ‎2.利用分类计数原理解决问题时： (1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．‎ ‎ 3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．‎ ‎4. 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．‎ ‎(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．‎ ‎(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．‎ ‎(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．‎ ‎ (4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．‎ ‎5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．‎ ‎5. (1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．‎ ‎(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．‎ ‎6. 分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．‎ 分步乘法计数原理的两个条件：(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．‎ ‎7. 应用两种原理解题：(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏．‎ ‎8. 涂色问题：涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.‎ 涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.‎ 涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016届陕西省西藏民族学院附中高三期末】将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1，2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）‎ A．52种 B．36种 C．20种 D．10种 ‎【答案】D ‎【解析】1号盒放1个，2号盒放3个，方法种数是，1号盒放2个，2号盒放2个，方法种数是，所以不同的放球方法有．‎ ‎2. 【2016届河南省洛阳市高三考前练习】如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1，2，3，4中的任何一个，允许重复，若填入方格的数字大于方格的数字，则不同的填法共有（ ）‎ A．192种 B．128种 C．96种 D．12种 ‎【答案】C ‎【考点2】排列组合综合 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1. 排列的相关概念及排列数公式 ‎(1)排列的定义：从个不同元素中取出 ()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．‎ ‎(2)排列数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示．‎ ‎(3)排列数公式：这里并且 ‎(4)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，(叫做n的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定.‎ ‎2．组合的相关概念及组合数公式 ‎(1)组合的定义：从个不同元素中取出 ()个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．‎ ‎(2)组合数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示．‎ ‎(3)组合数的计算公式：，由于，所以.‎ ‎(4)组合数的性质：①；②；③.‎ ‎3.区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．‎ ‎4.解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．‎ ‎5.要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．‎ 具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．‎ ‎2. 解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．‎ ‎3. 有条件的排列问题大致分四种类型．(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列．(3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．‎ ‎4. 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．‎ ‎5.排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．‎ ‎6. 在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有种不同的分法；而平均分为两组则有种不同的分法．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016届山东省临沂十八中高三三模】某大学数学系需要安排名大四同学到，，三所学校实习，每所学校安排名同学，已知甲不能到学校，乙和丙不能安排到同一所学校，则安排方案的种数有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎2. 【2016届四川省树德中学6月高考适应性测试】某班要从A,B,C,D,E五人中选出三人担任班委中三种不同的职务，则上届任职的A,B,C三人都不连任原职务的方法种数为（ ）‎ ‎（A）30 （B）32 （C）36 （D） 48‎ ‎【答案】B ‎【解析】共五人，从中选出三人担任职务，则三人至少选中一人，应分三种情况：（1）三人都入选，有两种选择，余下的和只有一种选择，共种.（2）三人只有二人入选，假如选中，，先安排，若安排的是原来的职务，则剩余两人随意安排；若安排的是原来的职务，则只有一种安排方法，因此共有种；（3）三人只有一人入选，则必选中，假如选中，先安排，有两种选择，剩下的两人随意安排，共有种；所以共有种方法.故选B.‎ ‎【应试技巧点拨】‎ ‎1.求排列应用题的主要方法：‎ ‎(1)对无限制条件的问题——直接法；‎ ‎(2)对有限制条件的问题，对于不同题型可采取直接法或间接法，具体如下：‎ ‎①每个元素都有附加条件——列表法或树图法；‎ ‎②有特殊元素或特殊位置——优先排列法；‎ ‎③有相邻元素(相邻排列)——捆绑法；‎ ‎④有不相邻元素(间隔排列)——插空法；‎ ‎2.组合问题常有以下两类题型变化：‎ ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．‎ ‎(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．‎ ‎3.解排列、组合的综合应用问题，要按照“先选后排”的原则进行，即一般是先将符合要求的元素取出(组合)，再对取出的元素进行排列，常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、图形分析法．要根据实际问题探索分类、分步的技巧，做到层次清楚，条理分明．区分排列、组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．‎ 递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.‎ ‎4．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．分类时要做到不重不漏．对于复杂的计数问题，可以分类、分步综合应用．‎ ‎5．要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．‎ ‎1. 【2016年湖北高三八校联考】甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】五们同学站成一排甲乙相邻排法共有，而在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的排法共有，所以在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为，故选D.‎ ‎2. 【2016年江西四校高三模考】某高中数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎3. 【2016年江西南昌高三模考】甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有l门不相同的选法共有 ‎ (A)30种 (B)36种 (C)60种 (D)72种 ‎【答案】A ‎【解析】因为甲、乙两人从4门课程中各选修两门，有种选法，其中甲乙所选的课程完全相同的选法有，所以甲乙所选的课程中至少有l门不相同的选法共有；故选A．‎ ‎4. 【2016年江西师大附中等四校联考】某大学的名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐名同学（乘同一辆车的名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的名同学中恰有名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【答案】A ‎【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车 ，则有. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有. 共有24种. 故A.正确.‎ ‎ 5. 【2016年厦门一中模考】有一个7人学校合作小组，从中选取4人发言，要求其中甲和乙至少有一人参加，若甲和乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（ ）‎ A．720种 B．600种 C．360种 D．300种 ‎【答案】B ‎ 6.【2016年山西四校高三联考】中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有（ ）‎ A.种 B.种 C.种 D.种 ‎【答案】D ‎【解析】国领导人中，除了中美俄三国需要指定位置外，其余国领导人可以任意排序，虽然分前后两排，但不影响排序结果，所以有种站法，而中美俄三国领导人根据要求则有种站法，因为这两个事件互不影响，所以共有种站法，故本题正确选项为D.‎ ‎ 7. 【2016年安徽淮南高三二模】将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（ ）‎ A．24种 B．28种 C．32种 D．16种 ‎【答案】D ‎ 8. 【2016年江西九江高三模考】高中数学联赛期间，某宾馆随机安排五名男生入住个标间（每个标间至多住人），则入住同一标间的概率为（ ）‎ A． B． C． ‎ ‎ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵某宾馆随机安排五名男生入住个标间，共有种情形，入住同一标间有种情形，∴入住同一标间的概率为,故选B.‎ ‎ 9. 【2016年河北石家庄高三二模】某高校安排名大学生到个单位实习，每名大学生去一个单位，每个单位至少安排一名大学生，则不同的安排方法的种数为_____.（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将名大学生分为组，其中有一组为人，共有种分组方法，将这组学生任意分配到家单位，有种分配方法，所以总共有种分配方法.‎ ‎ 10. 【2016届吉林大学附中高三第二次模拟】一个五位自然数，当且仅当时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】分四种情况进行讨论：（1）当时，和有种排法，和有种排法，此时共个；（2）当时，有个；（3）当时，有个；（4）当时，有个．由分类加法原理得满足条件的五位自然数中“下凸数”共有个．‎ ‎ 11.【2015届江西高安中学高三命题中心模拟三】将甲、乙等名学生分配到三个不的班级，每个班级至少一人，且甲、乙在同一班级的分配方案共有（ ）‎ A．种 B．36种 C．18种 D．种 ‎【答案】B ‎【解析】由题可知，有，故选B.‎ ‎12.【2015届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一】若无重复数字的三位数满足条件：①‎ 个位数字与十位数字之和为奇数，②所有位的数字和为偶数.则这样的三位数的个数是（ ）‎ A．540 B．480 C．360 D．200‎ ‎【答案】D．‎ ‎13.【2015届安徽省马鞍山市高中毕业班第三次质检】某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空.（1）小品1，相声，小品2.有；（2）小品1，小品2，相声.有；（3）相声，小品1，小品2.有；共有种，选D．‎ ‎14.【2015届广东省华南师大附中高三5月三模】数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有 个．‎ ‎【答案】23‎ ‎【解析】由数字0，1，2，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”首位数字必为2或5，有个，由数字0，1，3，4组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”首位数字必为3或5，有，故共有23个．‎ ‎15.【2015届辽宁省师大附中高三模拟考试】在2015年高考来临之际，食堂的伙食进行了全面升级．某日5名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食．每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种．花卷数量不足仅够一人食用，甲同学因肠胃不好不能吃米饭，则不同的食物搭配方案种数为 ．‎ ‎【答案】132‎ ‎【一年原创真预测】‎ ‎1. 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意5个人可以有3，1,1和2,2,1两种分组方法，所以方法数为，答案为A．‎ ‎【入选理由】本题主要考查排列组合问题、排列数组合数公式的应用等基础知识，意在考查考生的理解能力，分析问题，解决问题能力及运算能力.本题是一个常规题,但考查的知识基础,有一定的综合性,符合小题综合化的高考要求, 故选此题.‎ ‎2.某同学有7本工具书，其中语文2本、英语2本、数学3本，现在他把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书任意两本不相邻，则不同的排法种数为（ ）‎ ‎ A．12 B．24 C．48 D．720‎ ‎【答案】C ‎【解析】先将2本语文书看成一本，2本英语书看成一本，然后排成一排有种不同排法，再将3本数学插在这2本书形成的3个空档中有种不同排法，再排2本语文书有种不同排法，再排2本英语书有种不同排法，根据分步计数原理，共有=48种不同排法.‎ ‎【入选理由】本题主要考查排列问题、排列数公式的应用等基础知识，意在考查考生的理解能力，分析问题，解决问题能力及运算能力.本题是一个常规题,考查的知识基础, 故选此题.‎ ‎3.用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）‎ ‎【答案】48‎ ‎【入选理由】本题主要考查排列组合问题、排列数组合数公式的应用等基础知识，意在考查考生的理解能力，分析问题，解决问题能力及运算能力.本题是一个常规题,考查的知识基础,是常考题型，故选此题.‎ ‎4.从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为————.‎ ‎【答案】20.‎ ‎【解析】若从0，2，4中选出的是2和4，则一共可以组成三位偶数个；若从0，2，4中选出的是0和2，则一共可以组成三位偶数；同理，若从0，2，4中选出的是0和4，也可以组成个，故一共可以组成个三位偶数.‎ ‎【入选理由】本题主要考查，分类计数原理，排列组合问题、排列数组合数公式的应用等基础知识，意在考查考生的理解能力，分析问题，解决问题能力及运算能力.本题是一个常规题,考查的知识基础,是常考题型，故选此题.‎ ‎5.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序只能出现在第一步或最后一步，程序实施时必须不相邻，则实验顺序的编排方法共有 种.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】除外剩下的三个程序进行排列，有种排法，再将程序两个程序进行插孔，有种排法，再安排程序有两种排法，因此共有种排法. ‎ ‎【入选理由】本题主要考查，排列问题、排列数公式的应用等基础知识，意在考查考生的理解能力，分析问题，解决问题能力及运算能力.本题是一个常规题,考查的知识基础,但题意比较新，故选此题.‎ ‎6.某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有两个2元，1个3元,1个4元（红包中金额相同视为相同红包），则甲、乙都抢到红包的情况有___________种．（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【入选理由】本题主要考查，排列问题、排列数公式的应用等基础知识，意在考查考生的理解能力，分析问题，解决问题能力及运算能力.本题是一个常规题,考查的知识基础,但题材比较新，故选此题.‎