2020年浙江新高考数学二轮复习教师用书：专题二　1 第1讲　三角函数的图象与性质 20页

第1讲　三角函数的图象与性质 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 ‎[核心提炼]‎ ‎1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．‎ ‎2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.‎ ‎3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．‎ ‎[典型例题]‎ ‎ (1)(2019·湖州市高三期末)点P从点A(1，0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2019·长春一模)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin β的值为________．‎ ‎(3)(2018·高考浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.‎ ‎①求sin的值；‎ ‎②若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．‎ ‎【解】　(1)选A.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx＝，‎ 所以Q，‎ 即Q点的坐标为.故选A.‎ ‎(2)2tan(π－α)－3cos＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1化简为tan α－6sin β＝1，因而sin β＝.故填.‎ ‎(3)①由角α的终边过点P得sin α＝－，‎ 所以sin(α＋π)＝－sin α＝.‎ ‎②由角α的终边过点P得cos α＝－，‎ 由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.‎ 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，‎ 所以cos β＝－或cos β＝.‎ 应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项 ‎(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．‎ ‎(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4，3)，则的值为________．‎ 解析：原式＝＝tan α.‎ 根据三角函数的定义，得tan α＝＝－，‎ 所以原式＝－.‎ 答案：－ ‎2．已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan ‎＝________．‎ 解析：法一：因为sin ＝，所以cos＝sin＝sin＝，因为θ为第四象限角，‎ 所以－＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－＋2kπ＜θ－＜2kπ－，k∈Z，所以sin＝－＝－，‎ 所以tan＝＝－.‎ 法二：因为θ是第四象限角，且sin＝，所以θ＋为第一象限角，所以cos＝，所以tan＝＝＝－＝－.‎ 答案：－ 三角函数的图象及应用 ‎[核心提炼]‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 ‎(1)“五点法”作图 设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．‎ ‎(2)图象变换 y＝sin xy＝sin(x＋φ)‎ y＝sin(ωx＋φ)‎ y＝Asin(ωx＋φ)．‎ ‎[典型例题]‎ ‎ (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)‎ A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin ‎(2)(2019·温州瑞安七中高考模拟)函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为(　　)‎ A.　　　　B. C．0　　　　D．－ ‎(3)(2019·浙江五校联考数学模拟)设函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(0，1)　　　B．[1，2] C．(0，1]　　　D．(1，2)‎ ‎【解析】　(1)由题图易知A＝2，因为周期T满足＝－，所以T＝π，ω＝＝2.由x＝时，y＝2可知2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，结合选项可知函数解析式为y＝2sin.‎ ‎(2)令y＝f(x)＝sin(2x＋φ)，‎ 则f＝sin＝sin，‎ 因为f为偶函数，‎ 所以＋φ＝kπ＋，‎ 所以φ＝kπ＋，k∈Z，‎ 所以当k＝0时，φ＝.‎ 故φ的一个可能的值为.‎ 故选B.‎ ‎(3)画出函数f(x)在[0，2π]的图象，如图所示：‎ 若函数g(x)＝f(x)－m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，‎ 即y＝f(x)和y＝m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，‎ 结合图象，知0＜m＜1.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)B　(3)A 解决三角函数图象问题的方法及注意事项 ‎(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．‎ ‎(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(2019·兰州市诊断考试)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 解析：选C.由图知，＝，即T＝π，则ω＝2，‎ 所以f(x)＝sin(2x＋φ)，‎ 因为点在函数f(x)的图象上，‎ 所以sin＝0，‎ 即＋φ＝kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，‎ 所以f(x)＝sin，‎ 因为x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，‎ 所以＝，‎ 所以x1＋x2＝，‎ 所以f(x1＋x2)＝sin＝.‎ ‎2．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ 解析：选D.易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2，故选D.‎ 三角函数的性质 ‎[核心提炼]‎ ‎1．三角函数的单调区间 y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，‎ 单调递减区间是(k∈Z)；‎ y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；‎ y＝tan x的递增区间是(k∈Z)．‎ ‎2．y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；‎ 当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；‎ 对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．‎ y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；‎ 当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；‎ 对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．‎ y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝(k∈Z)时为奇函数．‎ ‎[典型例题]‎ ‎ 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【解】　(1)由sin ＝，cos ＝－，f＝－－2××，得f＝2.‎ ‎(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin x·cos x得 f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质得 ＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 所以，f(x)的单调递增区间是 (k∈Z)．‎ 三角函数的单调性、周期性及最值的求法 ‎(1)三角函数单调性的求法 求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0)的单调区间的一般思路是令ωx＋φ＝z，则y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求解．‎ ‎(2)三角函数周期性的求法 函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝.应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期为T＝.‎ ‎(3)三角函数最值(或值域)的求法 在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值．　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(2019·杭州市高三期末检测)设A，B是函数f(x)＝sin|ωx|与y＝－1的图象的相邻两个交点，若|AB|min＝2π，则正实数ω＝(　　)‎ A. B．1　　　　C.　　　　D．2‎ 解析：选B.函数f(x)＝sin|ωx|＝，ω为正数，所以f(x)的最小值是－1，如图所示：‎ 设A，B是函数f(x)＝sin|ωx|与y＝－1的图象的相邻两个交点，‎ 且|AB|min＝T＝＝2π，‎ 解得ω＝1.故选B.‎ ‎2．(2019·台州调研)设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．‎ 解析：由于对任意的实数x都有f(x)≤f成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，－＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝8k＋(k∈Z)，又ω>0，所以ωmin＝.‎ 答案： ‎3．(2019·高考浙江卷)设函数f(x)＝sin x，x∈R.‎ ‎(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；‎ ‎(2)求函数y＝＋的值域．‎ 解：(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任意实数x都有 sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，‎ 即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，‎ 故2sin xcos θ＝0，‎ 所以cos θ＝0.‎ 又θ∈[0，2π)，因此θ＝或.‎ ‎(2)y＝＋ ‎＝sin2＋sin2 ‎＝＋ ‎＝1－ ‎＝1－cos.‎ 因此，函数的值域是.‎ 三角函数与其他知识的交汇 ‎[核心提炼]‎ 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇．‎ ‎[典型例题]‎ ‎ (1)(2019·台州市高考一模)已知θ∈[0，π)，若对任意的x∈[－1，0]，不等式x2cos θ＋(x＋1)2sin θ＋x2＋x＞0恒成立，则实数θ的取值范围是(　　)‎ A.　 B.　 C.　 D. ‎(2)(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) 的图象过点，若f(x)≤f对x∈R恒成立，则ω的值为________；当ω最小时，函数g(x)＝f－在区间[0，22]的零点个数为________．‎ ‎【解析】　(1)设f(x)＝x2cos θ＋(x＋1)2sin θ＋x2＋x＝(1＋sin θ＋cos θ)x2＋(2sin θ＋1)x＋sin θ，‎ 因为θ∈[0，π)，‎ 所以1＋cos θ＋sin θ≠0，且其对称轴为x＝－.‎ 因为f(x)在[－1，0]的最小值为f(0)或f(1)或f，‎ 所以，即，‎ 所以.所以＜θ＜.‎ ‎(2)由题意得φ＝，且当x＝时，函数f(x)取到最大值，故ω＋＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝1＋12k，k∈N，又因为ω＞0，所以ω的最小值为1，因此，g(x)＝f－＝sin x－的零点个数是8个．‎ ‎【答案】　(1)A　(2)1＋12k(k∈N)　8‎ 解决三角函数与其他知识的交汇问题，可利用数形结合思想．利用“数形结合”思想还可以解决以下问题：‎ ‎(1)讨论含有参数的方程的解的个数问题．　 ‎ ‎(2)求三角函数解析式中含有参数的最值问题．‎ ‎(3)求一些特殊函数的周期．‎ ‎(4)利用三角函数图象对实际问题作出分析等．‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(2019·湖州市高三期末考试)若α，β∈，且αsin α－βsin β＞0，则必有(　　)‎ A．α2＜β2 B．α2＞β2‎ C．α＜β D．α＞β 解析：选B.α，β∈，且αsin α－βsin β＞0，即αsin α＞βsin β，再根据y＝xsin x为偶函数，且在上单调递增，可得|α|＞|β|，即α2＞β2，故选B.‎ ‎2．(2019·合肥市第二次教学质量检测)已知关于x的方程(t＋1)cos x－tsin x＝t＋2在(0，π)上有实根，则实数t的最大值是________．‎ 解析：由题意可得，－＝＝1－，‎ 令P(cos x，sin x)，A(2，1)，‎ 则kPA＝，因为x∈(0，π)，所以－10)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D.由T＝＝，又f(x)的最大值为2，所以＝2，‎ 即ω＝，‎ 所以f(x)＝2sin.‎ 当2kπ－≤πx－≤2kπ＋，‎ 即2k－≤x≤2k＋，k∈Z时函数f(x)单调递增，‎ 则f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为.‎ ‎7．(2019·温州调研)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B.因为x∈，所以ωx＋∈，因为函数f(x)＝sin(ω>0)‎ 在区间上单调递增，‎ 所以 又ω>0，所以0<ω≤，选B.‎ ‎8．(2019·宁波市高三调研)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域是(　　)‎ A．[－1，1] B. C. D. 解析：选C.f(x)＝ 作出[0，2π]区间内f(x)的图象，如图所示，‎ 由f(x)的图象，可得f(x)的值域为.‎ ‎9．(2019·宁波市高考模拟)已知函数f(x)＝asin 2x＋(a＋1)cos 2x，a∈R，则函数f(x)的最小正周期为______，振幅的最小值为________．‎ 解析：函数f(x)＝asin 2x＋(a＋1)cos 2x，a∈R，‎ 化简可得：f(x)＝sin(2x＋θ)＝·sin(2x＋θ)，其tan θ＝.‎ 函数f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ 振幅为 ，‎ 当a＝－时，可得振幅的最小值.‎ 答案：π　 ‎10．已知－<α<0，sin α＋cos α＝，则sin α－cos α＝________．‎ 解析：sin α＋cos α＝，平方可得sin2α＋2sin α·cos α＋cos2α＝，即2sin α·cos α＝－，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝，又－<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以sin α－cos α<0，‎ 所以sin α－cos α＝－.‎ 答案：－ ‎11．已知f(x)＝sin 2x－cos 2x，若对任意实数x∈，都有|f(x)|0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为________．‎ 解析：因为f(x)＝2sin，方程2sin＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin＝－在(0，π)上有且只有四个实数根．设t＝ωx－，因为0