数学（理）卷·2017届贵州省遵义航天高级中学高三第五次模拟（2017 13页

2016～2017 学年度第一学期高三第五次模拟考试 理科数学试卷 出题人： 审题人： 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合 P={4，5，6}，Q={1，2，3}，定义  QqPpqpxxQP  ,, ， 则集合 QP 的所有真子集的个数为（ ） A、32 B、31 C、30 D、以上答案都不对 2、关于复数 i Z   1- 2 的四个命题： 1p ： 2z ； 2p ： iz 22  ； 3p ： Z的共轭复数为 i1 ； 4p ： Z 的虚部为-1。 其中的真命题个数为（ ）。 A、 2p 、 3p B、 1p 、 2p C、 2p 、 4p D、 3p 、 4p 3、如图所示的程序框图，其功能是输入 x的值，输出相应的 y 值。若要使输入 的 x 值与输出的 y 值相等，则这样的 x 值有（ ）。 A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 4、已知函数 xxf sin)(  和函数 xxg cos)(  在区间  2,0 上的图象交于 A,B 两点, 则 OAB 面积是( ) A. B. C. D 5、设  a、  b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使    0 b b a a 成立的是 （ ） A．   ba 3 1 B．  ba// C．   ba 2 D．   ba 6、设等比数列 na 的前 n项和为 nS ，若 08 52  aa ，则下列式子中数值不能确 定的是( ) A、 B、 C、 D、 7、若实数 x、y满足         bxy xy yx 02 且 yxz  2 的最小值为 4,则实数 b的值为( ) A. 1 B. 2 C.3 D. 2 5 8、一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打 磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9、函数 y=4cosx-e |x| （e为自然对数的底数）的图像可能是（ ） 10、若将圆 222  yx 内的正弦曲线 xy sin 与 x轴围成的区域记为M ，则在圆 内随机放一粒豆子，落入M 内的概率是（ ）。 A、 3 2  B、 3 4  C、 2 2  D、 2 4  11、已知点 )20( ，A ,抛物线 ）（ 0: 2  aaxyC 的焦点为 F, 射线 FA 与抛物线 C相 交于点 M,与其准线相交于点 N, MK 垂直准线于点 K，若 51：： MNKM ,则 a 的 值等于( ) A、 4 1 B、 2 1 C、1 D、 4 12、设函数 m xxf sin3)(  ，若存在 )(xf 的极值点 0x 满足   22 0 2 0 )( mxfx  ，则 m的取值范围是（ ）。 A、 B、 C、 D、 第 II卷（非选择题，共 90分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13 、 在 等 比 数 列 {an} 中 ， 若 12...21  n naaa ， 则  22 2 2 1 ... naaa 14、一个篮球运动员投篮一次得 3分的概率为 a，得 2分的概率为b，不得分的 概率为 c，其中 ）（，， 1,0cba ．已知投篮一次得分的期望是 2，则 ab的最大值 是____________． 15、 9)2( x x  展开式中除常数项外的其余项的系数之和为__________ 16、如图,在正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E 是 BC 的中点,F是C1D的中点,P是棱 所在直线上的动点.则下列三个命题: (1) (2) 平面 (3) 其中正确命题的个数有_________ 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤 17、已知函数   2 3cos sin 3cos 3 4 f x x x x         ， x R ．（Ⅰ）求 ( )f x 的 单调递增区间；（Ⅱ）在锐角 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,若 3(A) , 3 4 f a  ,求 ABC 面积的最大值. 18、某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生 命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品 的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取 了 100 名年龄阶段在 )2010[ ， ， )30,20[ ， )4030[ ， ， )5040[ ， ， )6050[ ， 的市民进行 问卷调查，由此得到样本占有率分布直方图如图所示. （Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄在 )4030[ ， 的人数； （Ⅱ）从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 5人，求 )6050[ ， 年龄段抽取样品的人数； （Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的 5人中再抽取 2人作为本次活动的获奖者，记 X为 年龄在 )6050[ ， 年龄段的人数，求 X的分布列及数学期望. 19、已知矩形 ABCD 中， 2AB  ， 1BC  ，现沿对角线 BD折成二面角C BD A  ， 使 1AC  （I）求证：DA 面 ABC （II）求二面角 BCDA  的大小。 20、已知椭圆 E： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)的离心率为 1 2 ，以 E的四个顶点为顶点的四边 形的面积为 4 3.(Ⅰ)求椭圆 E的方程； (Ⅱ)设 A，B分别为椭圆 E的左、右顶点，P是直线 x＝4上不同于点(4，0)的任 意一点，若直线 AP，BP 分别与椭圆相交于异于 A，B 的点 M、N，试探究，点 B 是否在以 MN 为直径的圆内？证明你的结论． 21、已知函数 ( )f x 1 2 ln ,m emx x m R x       函数 1( ) ln cos g x x x    在[1，＋ ∞)上为增函数，且 ( , ) 2 2     . （Ⅰ）求的值 ； （Ⅱ）当 0m  时，求函数 ( )f x 的单调区间和极值； （Ⅲ）若在[1, ]e 上至少存在一个 0x ，使得 0 0( ) ( )f x g x 成立，求m的取值范围． 请考生在第（22），（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按 所做的第一题记分．作答时用 2B 铅笔在答题卡上 22、在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 x＝2cos α y＝2＋2sin α (α为参数)，M 为 C1上的动点，P点满足OP→＝2OM→，点 P的轨迹为曲线 C2. (Ⅰ)求 C2的普通方程； (Ⅱ)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝ π 3 与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求|AB|. 23、已知函数 f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为[－1，1]． (Ⅰ)求 m 的值； (Ⅱ)若 a，b，c∈R＋，且 1 a ＋ 1 2b ＋ 1 3c ＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. 五模理科数学答案 1～5 BCAAA 6～10 DCBAB 11～12 DC 13、 3 14 n 14、 6 1 15、5377 16、123 17、【解析】(Ⅰ)因为 f(x)＝m－|x－2|，所以 f(x＋2)≥0 等价于|x|≤m， 由|x|≤m 有解，得 m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}，又 f(x＋2)≥0 的解 集为[－1，1]，故 m＝1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 1 a ＋ 1 2b ＋ 1 3c ＝1，a，b，c∈R＋， 方法 1：由基本不等式得： a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) 1 a ＋ 1 2b ＋ 1 3c ＝3＋ 2b a ＋ a 2b ＋ 3c 2b ＋ 2b 3c ＋ a 3c ＋ 3c a ≥3＋2＋2＋2＝9. 方法 2：由柯西不等式得 a ＋ 2b ＋ 3c ＝ (a ＋ 2b ＋ 3c) 1 a ＋ 1 2b ＋ 1 3c ≥ a· 1 a ＋ 2b· 1 2b ＋ 3c· 1 3c 2 ＝9. 18、解 ：（I）由图知，随机抽取的市民中年龄段在 )4030[ ， 的频率为 1-10(0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3， 即随机抽取的市民中年龄段在 )4030[ ， 的人数为 1000.3=30 人． ………3分 （II）由（I）知，年龄段在 )5040[ ， ， )6050[ ， 的人数分别为1000.15=15人， 1000.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人， ∴ 在 )6050[ ， 年龄段抽取的人数为 10 25 5 =2 人． ……………………6分 （III）由已知 X=0，1，2， P(X=0)= 10 3 2 5 2 3  C C ，P(X=1)= 5 3 2 5 1 3 1 2  C CC ，P(X=2) = 10 1 2 5 2 2  C C ， ∴ X的分布列为 X 0 1 2 P 10 3 5 3 10 1 ∴ EX=0× 10 3 +1× 5 3 +2× 10 1 = 5 4 ． ………………………………12 分 19、 解：（1）由已知 090DAB ，又 1AC  ， 2,1  DCDA ， 则有 222 DAACDC  ，则 ACDA  ，又 AACAB  ，则有DA 面 ABC （2）由（I）DA 面 ABC，则 ABDCAB 平面平面  ，又 BCAC  ， 090DAB ， 取 DBAB, 的中点 NO, ，则直线 OAONOC ,, 两两垂直，建立如图所示的直角坐标 系， 则有 )0, 2 2,0(A ， )0, 2 2,1(D ) 2 2,0,0(C ，， )0, 2 2,0( B ，则 ) 2 2 , 2 2 ,1(DC ， )0,0,1(AD ， )0,2,1(BD ，则求得 ACD平面 的法向量 )1,1,0(1 n ， BCD平面 的法向量 )1,1,2(1 n ，又 021  nn ， 则 ACD平面 与 BCD平面 垂直。即二面角 BCDA  的大小为 2  20、 【解析】(Ⅰ)依题意得 c a ＝ 1 2 ， 1 2 ·2a·2b＝4 3，又 a2＝b2＋c2，由此解得 a＝2，b＝ 3.所以椭圆 E的方程为 x2 4 ＋ y2 3 ＝1. (Ⅱ)点 B 在以 MN 为直径的圆内．证明如下： 方法 1：由(Ⅰ)得 A(－2，0)，B(2，0)．设 M(x0，y0)． ∵M点在椭圆上，∴y0 2＝ 3 4 (4－x0 2)． ① 又点 M异于顶点 A、B，∴－20，∴BM→·BP→>0，于是∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点 B在以 MN 为直径的圆内． 方法 2：由(Ⅰ)得 A(－2，0)，B(2，0)．设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则－20）. 2 )12()( x xexf   .....................4 资源%库当 02e-1 时, ( ) 0, ( ) ;f x f x ] ( ) 0 2 -1 2 , ( ) (2 1) 1 ln(2 1) f x e e f x f e e        极大值 所以， 增区间为（ ， ），减区间为（ ） ......................... .......7 (3) 2( ) ( ) ( ) 2 ln , [1, ]m eF x f x g x mx x x e x       令 ....................8 0 0 0 1 21) 0 [1, ] ( ) ( ) 2 ln 0 [1, ] , ( ) ( ) em x e F x m x x x x e x f x g x           Q当 时， 在 上不存在 使得 ...................9 2 2 2 20 ( ) ,mx x m em F x x    2)当 时， .................................... ........10 2[1, ], 0, 2 2 0 ( ) 0, ( ) x e mx m e x F x F x         Q Z max 2 ( ) ( ) 4 0 4 1 mF x F e me e em e          .......................................... ..12 22、【解析】(Ⅰ)设 P(x，y)，则由条件知 M x 2 ， y 2 . 由于 M点在 C1上，所以 x 2 ＝2cos α， y 2 ＝2＋2sin α ，即 x＝4cos α， y＝4＋4sin α ，消去参数α得 x2＋(y－4)2＝16, 即 C2的普通方程为 x2＋(y－4)2＝16. (Ⅱ)曲线 C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线 C2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝ π 3 与 C1的交点 A的极径为ρ1＝4sin π 3 ， 射线θ＝ π 3 与 C2的交点 B的极径为ρ2＝8sin π 3 . 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2 3. 23、【解析】(Ⅰ)因为 f(x)＝m－|x－2|，所以 f(x＋2)≥0 等价于|x|≤m， 由|x|≤m 有解，得 m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}，又 f(x＋2)≥0 的解 集为[－1，1]，故 m＝1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 1 a ＋ 1 2b ＋ 1 3c ＝1，a，b，c∈R＋， 方法 1：由基本不等式得： a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) 1 a ＋ 1 2b ＋ 1 3c ＝3＋ 2b a ＋ a 2b ＋ 3c 2b ＋ 2b 3c ＋ a 3c ＋ 3c a ≥3＋2＋2＋2＝9. 方法 2：由柯西不等式得 a ＋ 2b ＋ 3c ＝ (a ＋ 2b ＋ 3c) 1 a ＋ 1 2b ＋ 1 3c ≥ a· 1 a ＋ 2b· 1 2b ＋ 3c· 1 3c 2 ＝9.