【数学】2018届一轮复习人教A版高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题学案 17页

‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2015·课标全国Ⅱ改编)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为________．‎ 答案　 解析　如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则AB＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，‎ ‎∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，‎ ‎∴BM＝AB＝2a，∠MBN＝60°，‎ ‎∴y1＝MN＝BMsin∠MBN＝2asin 60°＝a，‎ x1＝OB＋BN＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝ ＝.‎ ‎2.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OP＝OF，且PF＝4，则椭圆C的方程为______________．‎ 答案　＋＝1‎ 解析　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连结PF′，如图所示，因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2.‎ 由OP＝OF＝OF′知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.‎ 在Rt△PFF′中，由勾股定理，‎ 得PF′＝＝＝8.‎ 由椭圆定义，得PF＋PF′＝2a＝4＋8＝12，‎ 所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎3．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．‎ 答案　 解析　由已知得焦点坐标为F(，0)，‎ 因此直线AB的方程为y＝(x－)，‎ 即4x－4y－3＝0.‎ 方法一　联立直线方程与抛物线方程化简得 ‎4y2－12y－9＝0，‎ 故|yA－yB|＝＝6.‎ 因此S△OAB＝·OF·|yA－yB|＝××6＝.‎ 方法二　联立方程得x2－x＋＝0，‎ 故xA＋xB＝.‎ 根据抛物线的定义有AB＝xA＋xB＋p＝＋＝12，‎ 同时原点到直线AB的距离为h＝＝，‎ 因此S△OAB＝·AB·h＝.‎ ‎4．(2016·北京)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.‎ 答案　2‎ 解析　设B为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2，‎ ‎∴c＝OB＝2，‎ 又∠AOB＝，∴＝tan＝1，即a＝b.‎ 又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.‎ ‎5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________．‎ 答案　－＝1‎ 解析　由题意得，双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标为(，0)，(－，0)，c＝且双曲线的离心率为2×＝＝⇒a＝2，b2＝c2－a2＝3，‎ 所以双曲线的方程为－＝1. ‎ 题型一　求圆锥曲线的标准方程 例1　已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为______________．‎ 答案　＋＝1或＋＝1‎ 解析　设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，PF1＝，PF2＝.‎ 由椭圆的定义，知2a＝PF1＋PF2＝2，即a＝.‎ 由PF1>PF2知，PF2垂直于长轴．‎ 故在Rt△PF2F1中，4c2＝PF－PF＝，‎ ‎∴c2＝，于是b2＝a2－c2＝.‎ 又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.‎ 思维升华　求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．‎ ‎　(2015·天津改编)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为________________．‎ 答案　x2－＝1‎ 解析　双曲线－＝1的一个焦点为F(2,0)，‎ 则a2＋b2＝4， ①‎ 双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ 由题意得＝， ②‎ 联立①②解得b＝，a＝1，‎ 所求双曲线的方程为x2－＝1.‎ 题型二　圆锥曲线的几何性质 例2　(1)(2015·湖南改编)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．‎ ‎(2)(2016·天津改编)设抛物线y2＝2px (p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若CF＝2AF，且△ACE的面积为3，则p的值为________．‎ 答案　(1)　(2) 解析　(1)由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，‎ 即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，‎ ‎∴25a2＝9c2，∴e＝.‎ ‎(2)∵抛物线方程为y2＝2px(p>0)，‎ ‎∴F，‎ AB＝AF＝p，‎ 可得A(p，p)．‎ 易知△AEB∽△FEC，∴＝＝，‎ 故S△ACE＝S△ACF＝×3p×p× ‎＝p2＝3，‎ ‎∴p2＝6，∵p>0，∴p＝.‎ 思维升华　圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．‎ ‎　已知椭圆＋＝1(a>b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为____________．‎ 答案　－1‎ 解析　因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.‎ 当x＝时，代入抛物线方程得 y＝±p，‎ 又因为PQ经过焦点F，所以P且PF⊥OF.‎ 所以PE＝ ＝p，‎ PF＝p，EF＝p.‎ 故2a＝ p＋p,2c＝p，e＝＝－1.‎ 题型三　最值、范围问题 例3　设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.‎ ‎(1)求椭圆M的方程；‎ ‎(2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．‎ 解　(1)双曲线的离心率为，‎ 则椭圆的离心率e＝＝，‎ 由⇒ 故椭圆M的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由得4x2＋2mx＋m2－4＝0，‎ 由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－20时，‎ ‎①若x＝3是方程的解，则f(3)＝0⇒k＝0⇒另一根为x＝0<，故在区间上有且仅有一个根，满足题意；‎ ‎②若x＝是方程的解，则f＝0⇒k＝±⇒另外一根为x＝，<≤3，故在区间上有且仅有一个根，满足题意；‎ ‎③若x＝3和x＝均不是方程的解，则方程在区间上有且仅有一个根，只需f·f(3)<0⇒－b>0)的离心率为，且过点(1，)，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点(点M与点A不重合)，点B为椭圆的右顶点，直线BM交椭圆C于点P.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求证：AP⊥OM；‎ ‎(3)试问：·是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．‎ ‎(1)解　因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，‎ 所以a2＝2c2，所以a2＝2b2.‎ 又因为椭圆C过点(1，)，所以＋＝1，‎ 所以a2＝4，b2＝2，所以椭圆C的方程＋＝1.‎ ‎(2)证明　设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为y＝k(x－2)，设P(x1，y1)，‎ 将y＝k(x－2)代入椭圆C的方程＋＝1中，‎ 化简得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－4＝0，‎ 解得x1＝，x2＝2，‎ 所以y1＝k(x1－2)＝，‎ 从而P(，)．‎ 令x＝－2，得y＝－4k，‎ 所以M(－2，－4k)，＝(－2，－4k)．‎ 又因为＝(＋2，)＝(，)，‎ 所以·＝＋＝0，‎ 所以AP⊥OM.‎ ‎(3)解　因为·＝(，)·(－2，－4k)‎ ‎＝＝＝4，‎ 所以·为定值4.‎ ‎1．(2015·陕西)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.‎ ‎(1)解　由题设知＝，b＝1，‎ 结合a2＝b2＋c2，解得a＝，‎ 所以椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明　由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，‎ 得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 从而直线AP，AQ的斜率之和 ‎ kAP＋kAQ＝＋＝＋ ‎＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k) ‎＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.‎ ‎2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为3，其中一条渐近线的方程为x－y＝0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点．‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)若点P为椭圆E的左顶点，＝2，求||2＋||2的取值范围．‎ 解　(1)由双曲线－＝1的焦距为3，‎ 得c＝，∴a2＋b2＝. ①‎ 由题意知＝， ②‎ 由①②解得a2＝3，b2＝，‎ ‎∴椭圆E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由(1)知P(－，0)．‎ 设G(x0，y0)，由＝2，‎ 得(x0＋，y0)＝2(－x0，－y0)，‎ 即解得∴G(－，0)．‎ 设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，‎ ‎||2＋||2＝(x1＋)2＋y＋(x1－)2＋y ‎＝2x＋2y＋＝2x＋3－x＋ ‎＝x＋.‎ 又∵x1∈[－，]，∴x∈[0,3]，‎ ‎∴≤x＋≤，‎ ‎∴||2＋||2的取值范围是[，]．‎ ‎3．已知椭圆＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．‎ ‎(1)求该椭圆的离心率；‎ ‎(2)设直线AB和AC分别与直线x＝4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 解　(1)由椭圆方程可得a＝2，b＝，‎ 从而椭圆的半焦距c＝＝1.‎ 所以椭圆的离心率为e＝＝.‎ ‎(2)依题意，直线BC的斜率不为0，‎ 设其方程为x＝ty＋1，B(x1，y1)，C(x2，y2)，‎ 将其代入＋＝1，‎ 整理得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0.‎ 所以y1＋y2＝，y1y2＝.‎ 易知直线AB的方程是y＝(x＋2)，‎ 从而可得M(4，)，‎ 同理可得N(4，)．‎ 假设x轴上存在定点P(p,0)使得MP⊥NP，‎ 则有·＝0.‎ 所以(p－4)2＋＝0.‎ 将x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1代入上式，整理得 ‎(p－4)2＋＝0，‎ 所以(p－4)2＋＝0，‎ 即(p－4)2－9＝0，解得p＝1或p＝7.‎ 所以x轴上存在定点P(1,0)或P(7,0)，‎ 使得MP⊥NP.‎ ‎4．(2016·苏北四市联考)如图所示，已知点F1(0，－)，F2(0，)，动点M到F2的距离是4，线段MF1的中垂线交MF2于点P.‎ ‎(1)当点M变化时，求动点P的轨迹G的方程；‎ ‎(2)若斜率为的动直线l与轨迹G相交于A，B两点，Q(1，)为定点，求△QAB 面积的最大值．‎ 解　(1)如图，连结PF1.‎ ‎∵MF2＝4，∴PM＋PF2＝4.‎ 又∵PM＝PF1，‎ ‎∴PF1＋PF2＝4>F1F2＝2，‎ 由椭圆的定义可知，‎ 动点P的轨迹G是以F1，F2为焦点的椭圆，其方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝x＋m，‎ 代入椭圆方程得(x＋m)2＋2x2＝4，‎ 即4x2＋2mx＋m2－4＝0.‎ 由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0，‎ 得m2<8.‎ 又点Q不在直线l上，所以m≠0，所以0b>0)的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A，B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若点E的坐标为(，0)，点A在第一象限且横坐标为，连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△PAB的面积；‎ ‎(3)是否存在点E，使得＋为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．‎ 解　(1)由e＝＝，设a＝3k(k>0)，则c＝k，b2＝3k2，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ 因为直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，‎ 即xA＝xB＝k，‎ 代入椭圆方程，解得y＝±k，于是2k＝，即k＝，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)将x＝代入＋＝1，解得y＝±1.‎ 因为点A在第一象限，从而A(，1)．‎ 由点E的坐标为(，0)，所以kAB＝，‎ 所以直线AB的方程为y＝(x－)，‎ 联立直线AB与椭圆C的方程，解得B(－，－)．‎ 又PA过原点O，于是P(－，－1)，PA＝4，‎ 所以直线PA的方程为x－y＝0，‎ 所以点B到直线PA的距离h＝＝，‎ 故S△PAB＝×4×＝.‎ ‎(3)假设存在点E，使得＋为定值，设E(x0,0)，当直线AB与x轴重合时，有＋＝＋＝；‎ 当直线AB与x轴垂直时，‎ ＋＝＝，‎ 由＝，解得x0＝±，＝2，‎ 所以若存在点E，此时E(±，0)，＋为定值2.‎ 根据对称性，只需考虑直线AB过点E(，0)，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 又设直线AB的方程为x＝my＋，与椭圆C联立方程组，化简得(m2＋3)y2＋2my－3＝0，‎ 所以y1＋y2＝，y1y2＝.‎ 又＝＝＝，‎ 所以＋＝＋ ‎＝，‎ 将上述关系代入，化简可得＋＝2.‎ 综上所述，存在点E(±，0)，使得＋为定值2.‎