【数学】2019届一轮复习人教A版集合的概念及其基本运算学案(2) 10页

第01节 集合的概念及其基本运算 ‎【考纲解读】‎ 命题角度 考 纲 内 容 ‎5 年 统 计 命 题 分 析 预 测 ‎1．集合的表示、集合间的基本关系 ‎1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．‎ ‎2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．‎ ‎3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．‎ ‎4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．‎ ‎2018课标II，2‎ ‎2017课标III，1‎ ‎1.分析预测　从近五年的全国卷的考查情况来看,本讲是全国卷的必考内容,题目稳定,难度较低,主要考查集合的含义和基本运算,一般在试卷第1题或第2题的位置,分值5分.预计2019年高考命题方式和考查内容不会有太大变化.‎ ‎2.学 素养　本讲主要以函数、方程、不等式等为载体,以集合的语言和符号为表现形式,考查考生的分类讨论思想和数学运算能力.‎ ‎2．集合的基本运算 ‎1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．‎ ‎2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．‎ ‎3．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．‎ ‎2018课标I，2；III，1‎ ‎2017课标I，1；II，2‎ ‎2016课标I，III，1；II，2‎ ‎2015课标Ⅱ，1‎ ‎2014课标I，II，1‎ ‎【知识清单】‎ ‎1．元素与集合 ‎（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．‎ ‎（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作．‎ ‎（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．‎ ‎（4）常见数集及其符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N 或N＋‎ ‎ ‎ Q R 对点练习：‎ ‎【2018课标II理2】已知集合，则中元素的个数为 （ ）‎ A．9 B．‎8 ‎ C．5 D．4‎ ‎【答案】A ‎【考点】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别．‎ ‎2．集合间的基本关系 ‎（1）子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B的子集．记为或．‎ ‎（2）真子集：对于两个集合A与B，如果，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集．记为．‎ ‎（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．‎ ‎（4）若一个集合含有n个元素，则子集个数为个，真子集个数为．‎ 对点练习：‎ ‎【2018山东实验中学二模】若集合， 则下列结论中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意首先求得集合B，然后逐一考查所给选项是否正确即可．‎ 详解：求解二次不等式可得：，则．‎ 据此可知：，选项A错误；‎ ‎，选项B错误；‎ 且集合A是集合B的子集，选项C正确，选项D错误．‎ 本题选择C选项．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．‎ ‎3．集合的运算 ‎（1）三种基本运算的概念及表示 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}‎ 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}‎ 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ‎∁UA＝{x|x∈U且x∉A}‎ ‎（2）三种运算的常见性质 ‎， ， ，，，．‎ ‎，，．‎ ‎， ， ， ．‎ 对点练习：‎ ‎【2018课标III理1】已知集合，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意先解出集合A，进而得到结果．‎ 试题解析：由集合A得，故选C．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ ‎ ‎ 高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 集合的概念 ‎【1-1】【2018山西高三一模】已知单元素集合，则（ ）‎ A．0 B．‎-4 C．-4或1 D．-4或0‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于只有一个元素，故判别式为零，即，故选D．‎ ‎【1-2】【2018豫南九校联考一】已知集合，则集合中元素的个数为（ ）‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】集合B中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4个．故选D．‎ ‎【领悟技法】‎ 与集合元素有关问题的思路：‎ ‎（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．‎ ‎（2）看这些元素满足什么限制条件．‎ ‎（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模）】已知集合，若，则非零实数的数值是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题，若 则 此时B集合不符合元素互异性，故 若则符合题意；若则不符合题意．故答案为2．‎ ‎【变式二】【2018江西二模】设集合， ， ‎ ‎，则中的元素个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意列表计算所有可能的值，然后结合集合元素的互异性确定集合M，最后确定其元素的个数即可．‎ 详解：结合题意列表计算M中所有可能的值如下：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ 观察可得：，据此可知中的元素个数为．本题选择C选项．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．‎ 考点2 集合间的基本关系 ‎【2-1】【2018福建莆田模拟】已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【名师点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的并集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇．‎ ‎【2-2】【2018安徽江南十校二模】设集合，，则下列关系正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由指数函数与对数函数的性质求出集合A、B，再验证各选择支结论是否成立．‎ 详解：由题意，，‎ ‎∴，只有C正确．故选C．‎ ‎【名师点睛】集合问题中首要任务是确定集合的元素，对描述法表示的集合，其代表元的形式是什么很重要，这个代表元是实数，还是有序实数对（点）？是实数时，表示函数的定义域还是函数的值域？只有确定了代表元的意义，才能确定正确的求解方法，确定出集合．本题还考查的集合间的关系，掌握补集运算与包含关系是解题关键．‎ ‎【2-3】【2018豫南九校联考二】已知集合， ，则能使成立的实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1．判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．‎ ‎2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】设集合，对任意实数x恒成立，且，则下列关系中成立的是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，或．‎ ‎∴．∴．∴．‎ ‎【变式2】已知集合，集合，则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，或，所以．‎ 考点3 集合的基本运算 本考点是高考的热点，主要有以下两个命题角度：‎ 命题角度一 集合的交、并、补运算 ‎【3-1】【2018河南郑州调研】设集合，，则的真子集的个数为（ ）‎ A．3 B．‎4 C．7 D．8‎ ‎【答案】C ‎【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合．‎ 命题角度二 利用集合的运算求参数值或取值范围 ‎【3-2】【2017课标II】设集合，．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，即是方程的根，所以，，故选C．‎ ‎【3-3】已知集合， ，且，若，则实数的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于，所以，又因为B≠，所以有解得，故选D．‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1．集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用．‎ ‎2．涉及集合（交、并、补）运算，不要遗忘了空集这个特殊的集合．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．‎ ‎3．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究 其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2018河南洛阳三模】设集合，，则的子集个数为（ ）‎ A．4 B．‎8 C．16 D．32‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求出集合A，B，得到，可求的子集个数．‎ 详解：， 的子集个数为 故选C．‎ ‎【名师点睛】本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题．‎ ‎【变式2】【2018福建三明二模】设全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合．‎ ‎【易混易错】‎ 易错典例1：设集合，，若，则的取值范围为________．‎ 易错分析：忽视端点．‎ 正确解析：由得，∴，由得，∴．‎ 又当时，满足，时，也满足，∴．‎ 温馨提示：利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．‎ 易错典例2：设集合，若，则实数的取值范围是_______．‎ 易错分析：遗忘空集．‎ 正确解析：由，所以当时，满足，此时不等式无解，所以，当即时，，由可知，综上可知实数的取值范围是．‎ 温馨提示：在中容易忽视集合这一情况，预防出现错误的方法是要注意分类讨论．‎ ‎【学 素养提升之思想方法篇】‎ 化抽象为具体——数形结合思想 数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体．数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面：‎ ‎（1）利用Venn图，直观地判断集合的包含或相等关系．‎ ‎（2）利用Venn图，求解有限集合的交、并、补运算．‎ ‎（3）借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题．‎ ‎【典例】已知集合，集合，且，则________，________．‎ ‎【答案】　　1‎ ‎【解析】　由题意，知．，，结合数轴（如图），得．‎