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  • 2021-06-11 发布

专题15+导数的综合应用(押题专练)-2018年高考数学(文)一轮复习精品资料

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专题15+导数的综合应用 ‎1.方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是(  )‎ A.3        B.2‎ C.1 D.0‎ 解析:设f(x)=x3-6x2+9x-10,f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),由此可知函数的极大值为f(1)=-6<0,极小值为f(3)=-10<0,所以方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数为1个.‎ 答案:C ‎2.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的关系是R=R(x)=则总利润最大时,年产量是(  )‎ A.100 B.150‎ C.200 D.300‎ 答案:D ‎3.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)‎ C.(0,+∞) D.(-1,+∞)‎ 解析:∵2x(x-a)<1,∴a>x-.‎ 令f(x)=x-,∴f′(x)=1+2-xln 2>0.‎ ‎∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ ‎∴f(x)>f(0)=0-1=-1,‎ ‎∴a的取值范围为(-1,+∞),‎ 答案:D ‎4.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式f(x)>+1(e为自然对数的底数)的解集为(  )‎ A.(0,+∞) B.(-∞,0)∪(3,+∞)‎ C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(3,+∞)‎ 解析:由f(x)>+1得,exf(x)>3+ex,‎ 构造函数F(x)=exf(x)-ex-3,得F′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)-1].‎ 由f(x)+f′(x)>1,ex>0,可知F′(x)>0,即F(x)在R上单调递增,‎ 又因为F(0)=e0f(0)-e0-3=f(0)-4=0,‎ 所以F(x)>0的解集为(0,+∞).‎ 答案:A ‎5.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0.则a的取值范围是(  )‎ A.(2,+∞) B.(1,+∞)‎ C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)‎ 答案:C ‎6.已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=________.‎ 解析:设f(x)=x3-3x+c,‎ 对f(x)求导可得,f′(x)=3x2-3,‎ 令f′(x)=0,可得x=±1,‎ 易知f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,‎ 在(-1,1)上单调递减.‎ 若f(1)=1-3+c=0,可知c=2;‎ 若f(-1)=-1+3+c=0,可得c=-2.‎ 答案:-2或2‎ ‎7.已知函数f(x)=ax3-3x+1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围是________.‎ 解析:当x∈(0,1]时不等式ax3-3x+1≥0可化为a≥,设g(x)=,x∈(0,1],‎ g′(x)==-.g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表:‎ x g′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ g(x)‎  极大值4‎  因此g(x)的最大值为4,则实数a的取值范围是[4,+∞).‎ 答案:[4,+∞)‎ ‎8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p元,销量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2,则该商品零售价定为________元时利润最大,利润的最大值为________元.‎ 答案:30 23 000‎ ‎9.据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为k(k>0).现已知相距18 km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x(km).‎ ‎(1)试将y表示为x的函数;‎ ‎(2)若a=1,且x=6时,y取得最小值,试求b的值.‎ 解:(1)设点C受A污染源污染程度为,点C受B污染源污染程度为,其中k为比例系数,且k>0.‎ 从而点C处受污染程度y=+.‎ ‎(2)因为a=1,所以,y=+,‎ y′=k,令y′=0,得x=,‎ 又此时x=6,解得b=8,经验证符合题意,‎ 所以,污染源B的污染强度b的值为8.‎ ‎10.设函数f(x)=aexln x+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.‎ ‎(1)求a,b;‎ ‎(2)证明:f(x)>1.‎ 所以当x∈时,g′(x)<0;‎ 当x∈时,g′(x)>0.‎ 故g(x)在上单调递减,在上单调递增,‎ 从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g=-.‎ 设函数h(x)=xe-x-,则h′(x)=e-x(1-x).‎ 所以当x∈(0,1)时,h′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0.‎ 故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,‎ 从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-.‎ 综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.‎ ‎11.已知函数f(x)=ln x+(a>0).‎ ‎(1)若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)证明:当a≥,b>1时,f(ln b)>.‎ ‎ (2)令h(x)=xlnx+a ,则h′(x)=ln x+1,当0<x<时,f′(x)<0;当x>时,f′(x)>0,所以函数h(x)在上单调递减,在上单调递增.‎ 当x=时,[h(x)]min=-+a,于是,当a≥时,h(x)≥-+a≥,①‎ 令φ(x)=xe-x,则φ′(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x),当0<x<1时,φ′(x)>0;‎ 当x>1时,φ′(x)<0,所以函数φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.当x=1时,[φ(x)]max=,于是,当x>0时,φ(x)≤,②‎ 显然,不等式①、②中的等号不能同时成立,故当x>0,a≥时,xln x+a>xe-x,‎ 因为b>1,所以ln b>0,所以ln b·ln(ln b)+a>ln b·e-lnb,所以ln(ln b)+>,即f(ln b)>.‎ ‎ ‎

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