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- 2021-06-11 发布
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专题15+导数的综合应用
1.方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是( )
A.3 B.2
C.1 D.0
解析:设f(x)=x3-6x2+9x-10,f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),由此可知函数的极大值为f(1)=-6<0,极小值为f(3)=-10<0,所以方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数为1个.
答案:C
2.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的关系是R=R(x)=则总利润最大时,年产量是( )
A.100 B.150
C.200 D.300
答案:D
3.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是( )
A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)
C.(0,+∞) D.(-1,+∞)
解析:∵2x(x-a)<1,∴a>x-.
令f(x)=x-,∴f′(x)=1+2-xln 2>0.
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴f(x)>f(0)=0-1=-1,
∴a的取值范围为(-1,+∞),
答案:D
4.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式f(x)>+1(e为自然对数的底数)的解集为( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)∪(3,+∞)
C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(3,+∞)
解析:由f(x)>+1得,exf(x)>3+ex,
构造函数F(x)=exf(x)-ex-3,得F′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)-1].
由f(x)+f′(x)>1,ex>0,可知F′(x)>0,即F(x)在R上单调递增,
又因为F(0)=e0f(0)-e0-3=f(0)-4=0,
所以F(x)>0的解集为(0,+∞).
答案:A
5.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0.则a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)
答案:C
6.已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=________.
解析:设f(x)=x3-3x+c,
对f(x)求导可得,f′(x)=3x2-3,
令f′(x)=0,可得x=±1,
易知f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,
在(-1,1)上单调递减.
若f(1)=1-3+c=0,可知c=2;
若f(-1)=-1+3+c=0,可得c=-2.
答案:-2或2
7.已知函数f(x)=ax3-3x+1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围是________.
解析:当x∈(0,1]时不等式ax3-3x+1≥0可化为a≥,设g(x)=,x∈(0,1],
g′(x)==-.g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表:
x
g′(x)
+
0
-
g(x)
极大值4
因此g(x)的最大值为4,则实数a的取值范围是[4,+∞).
答案:[4,+∞)
8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p元,销量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2,则该商品零售价定为________元时利润最大,利润的最大值为________元.
答案:30 23 000
9.据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为k(k>0).现已知相距18 km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x(km).
(1)试将y表示为x的函数;
(2)若a=1,且x=6时,y取得最小值,试求b的值.
解:(1)设点C受A污染源污染程度为,点C受B污染源污染程度为,其中k为比例系数,且k>0.
从而点C处受污染程度y=+.
(2)因为a=1,所以,y=+,
y′=k,令y′=0,得x=,
又此时x=6,解得b=8,经验证符合题意,
所以,污染源B的污染强度b的值为8.
10.设函数f(x)=aexln x+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.
(1)求a,b;
(2)证明:f(x)>1.
所以当x∈时,g′(x)<0;
当x∈时,g′(x)>0.
故g(x)在上单调递减,在上单调递增,
从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g=-.
设函数h(x)=xe-x-,则h′(x)=e-x(1-x).
所以当x∈(0,1)时,h′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0.
故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-.
综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.
11.已知函数f(x)=ln x+(a>0).
(1)若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;
(2)证明:当a≥,b>1时,f(ln b)>.
(2)令h(x)=xlnx+a ,则h′(x)=ln x+1,当0<x<时,f′(x)<0;当x>时,f′(x)>0,所以函数h(x)在上单调递减,在上单调递增.
当x=时,[h(x)]min=-+a,于是,当a≥时,h(x)≥-+a≥,①
令φ(x)=xe-x,则φ′(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x),当0<x<1时,φ′(x)>0;
当x>1时,φ′(x)<0,所以函数φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.当x=1时,[φ(x)]max=,于是,当x>0时,φ(x)≤,②
显然,不等式①、②中的等号不能同时成立,故当x>0,a≥时,xln x+a>xe-x,
因为b>1,所以ln b>0,所以ln b·ln(ln b)+a>ln b·e-lnb,所以ln(ln b)+>,即f(ln b)>.