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- 2021-06-11 发布
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2019-2020学年四川省成都市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1.设集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据交集的定义计算可得.
【详解】
解:,
故选:
【点睛】
本题考查交集的运算,属于基础题.
2.已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直接利用三角函数的定义得到答案.
【详解】
终边经过点,则
故选:
【点睛】
本题考查了三角函数值的计算,属于简单题.
3.已知向量,.若,则实数的值为( )
A.-12 B. C. D.12
【答案】C
【解析】根据向量垂直的充要条件得到方程解得.
【详解】
解:,且
解得
故选:
【点睛】
本题考查向量垂直的充要条件,属于基础题.
4.半径为3,弧长为的扇形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据扇形的面积公式进行计算即可.
【详解】
解:扇形面积计算公式.
故选:.
【点睛】
本题考查了扇形面积的求算方法.利用弧长和半径:,属于基础题.
5.函数的零点所在一个区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据零点存在定理判断.
【详解】
,,,在上有零点.
故选:B.
【点睛】
本题考查零点存在定理,在上连续的函数,若,则在上至少有一个零点.
6.计算的值为( )
A.5 B.3 C.2 D.0
【答案】C
【解析】根据对数的运算法则及性质解答.
【详解】
解:
故选:
【点睛】
本题考查对数的运算,属于基础题.
7.下列关于函数的表述正确的是( )
A.函数的最小正周期是 B.当时,函数取得最大值2
C.函数是奇函数 D.函数的值域为
【答案】D
【解析】根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】
解:
最小正周期为,故错误;
令,
解得,
故当,函数取得最大值,故错误;
,即是非奇非偶函数,故错误;
,
,即函数的值域为,故正确
故选:
【点睛】
本题考查正弦型函数的性质,属于基础题.
8.已知函数(,且)的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上,则幂函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】首先求出函数过定点的坐标,再求出幂函数的解析式,即可判断.
【详解】
解:(,且)
令,则,即,故函数(,且)的图象恒过定点.
设
则解得,
故的图象大致是
故选:
【点睛】
本题考查指数型函数过定点问题,待定系数法求幂函数解析式以及幂函数的图象的识别,属于基础题.
9.设,,,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据指数函数,对数函数的性质,及余弦函数的性质解答.
【详解】
解:,,,
综上可得
故选:
【点睛】
本题考查指数函数、对数函数的性质,属于基础题.
10.已知,若,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据同角三角函数的基本关系计算出,再由诱导公式计算可得.
【详解】
解:
,
故选:
【点睛】
本题考查同角三角函的基本关系及诱导公式的应用,属于基础题.
11.已知关于的方程有一个大于的实数根,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令,则方程可变形为则方程有一个大于的实数根,然后再对对称轴及根的判别式计算可得.
【详解】
解:因为关于的方程有一个大于的实数根,
令,则方程可变形为
,
所以方程有一个大于的实数根,
当时,则解得
当时,则且解得
综上可得
故选:
【点睛】
本题考查方程的解,考查转化思想,属于中档题.
12.已知函数是上的增函数,且满足,则的值组成的集合为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由在上的增函数,求出的取值范围,再由,得到或分类讨论计算可得.
【详解】
解:是上的增函数
,且
解得
或
当时,即解得当时,,
此时的单调递增区间为不符题意;
当时,,此时的单调递增区间为
不符题意;
当时,,此时的单调递增区间为符合题意;
当时,即解得
当时,,此时的单调递增区间为符合题意;
当时,,此时的单调递增区间为符合题意;
综上可得的值组成的集合为
故选:
【点睛】
本题考查三角函数的性质的应用,体现了分类讨论思想,属于难题.
二、填空题
13.设函数,则的值为______.
【答案】1
【解析】直接根据分段函数的解析式代入求值即可.
【详解】
解:
故答案为:
【点睛】
本题考查分段函数求函数值,属于基础题.
14.汽车从地出发直达地,途中经过地.假设汽车匀速行驶,后到达地.汽车与地的距离(单位:)关于时间(单位:)的函数关系如图所示,则汽车从地到地行驶的路程为______.
【答案】500
【解析】根据函数图象求出汽车的速度,从而得到路程.
【详解】
解:依题意知,汽车小时行驶了,故汽车的速度为
汽车全程匀速行驶,从地到地共行驶了,故总路程为
故答案为:
【点睛】
本题考查函数图象的应用,属于基础题.
15.在矩形中,已知,分别是,上的点,且满足,.若,则的值为______.
【答案】
【解析】利用,作为一组基底,表示出,,从而得到方程组,即可求解.
【详解】
解:,,
又,.
,
解得
故答案为:
【点睛】
本题考查向量的线性运算及向量的基底表示,属于中档题.
16.已知,是函数图象上纵坐标相等的两点,线段的中点在函数的图象上,则点的横坐标的值为______.
【答案】
【解析】依题意画出函数图象,如图设的横坐标分别为,,的中点的横坐标为,根据题意得到方程组,解得.
【详解】
解:因为则可画函数图象如下图所示:
设的横坐标分别为,,的中点的横坐标为,依题意可得
①,②,③,
①减②得④
①乘②得即
⑤
将④代入⑤得即
故答案为:
【点睛】
本题考查函数与方程的综合应用,指数的运算,属于中档题.
三、解答题
17.已知,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)由已知可得,再由同角三角函数的基本关系计算可得.
(Ⅱ)根据同角三角函数的基本关系求出,即可得解.
【详解】
解:(Ⅰ)由,得.
∴.
(Ⅱ)∵,又,
∴.
∵,∴.
∴.
∴.
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系,属于基础题.
18.已知函数(,且)满足.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)解不等式.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)根据,代入解方程即可;
(Ⅱ)根据指数函数的单调性得解.
【详解】
(Ⅰ)∵(,且),
∴.
由,解得.
∴的值为.
(Ⅱ)不等式即,∴.
即.
∵在上单调递减,
∴.
∴不等式的解集为.
【点睛】
本题考查指数函数的性质的应用,属于基础题.
19.已知向量与的夹角,且,.
(Ⅰ)求,;
(Ⅱ)求与的夹角的余弦值.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)根据平面向量的数量积的定义求出,由计算可得.
(Ⅱ)设与的夹角为,由计算可得.
【详解】
解:(Ⅰ)由已知,得.
.
(Ⅱ)设与的夹角为.
则.
∴.
∴与的夹角的余弦值为.
【点睛】
本题考查平面向量的数量积,向量的模的计算,两向量的夹角的余弦,属于中档题.
20.近年来,我国在航天领域取得了巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式计算火箭的最大速度,其中是喷流相对速度,是火箭(除推进剂外)的质量,是推进剂与火箭质量的总和,称为“总质比”.已知型火箭的喷流相对速度为.
(Ⅰ)当总质比为330时,利用给出的参考数据求型火箭的最大速度;
(Ⅱ)经过材料更新和技术改进后,
型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加,求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
参考数据:,.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)279
【解析】(Ⅰ)代入计算可得;
(Ⅱ)由题意,经过材料更新和技术改进后,型火箭的喷流相对速度为,总质比变为.要使火箭的最大速度至少增加,则需.再根据对数的运算及性质计算可得.
【详解】
(Ⅰ)当总质比为330时,.
由参考数据得,
∴当总质比为330时,型火箭的最大速度约为.
(Ⅱ)由题意,经过材料更新和技术改进后,
型火箭的喷流相对速度为,总质比变为.
要使火箭的最大速度至少增加,则需
.
化简,得.
∴,整理得.
∴,则.
由参考数据,知.
∴.
∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为279.
【点睛】
本题考查对数型函数模型的应用,对数的运算,属于中档题.
21.已知函数的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)当时,试由实数的取值讨论函数的零点个数.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)当或时,函数的零点个数为0;当或时,函数的零点个数为1;当时,函数的零点个数为2.
【解析】(Ⅰ)由图可得,再根据最小正周期求出,最后由函数过点代入计算可得.
(Ⅱ)在内的零点个数即函数与的图象在时公共点的个数.求出的单调区间及对应的函数值取值范围,再分类讨论可得.
【详解】
解:(Ⅰ)由图,可知.
函数最小正周期,则.∴.
又,则,.
∴,.
又,∴.
∴函数的解析式为.
(Ⅱ)由题意,在内的零点个数即函数与的图象在时公共点的个数.
由(Ⅰ),知,.
∵,,,
由图,知函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.
(i)当或时,
与的图象在时没有公共点,
(ii)当或时,
与的图象在时恰有一个公共点;
(iii)当时,
与的图象在时恰有两个公共点.
综上可知,当或时,函数的零点个数为0;
当或时,函数的零点个数为1;
当时,函数的零点个数为2.
【点睛】
本题考查已知函数图象求函数解析式,函数的零点,体现了转化化归思想,属于中档题.
22.设,若函数定义域内的任意一个都满足,则函数的图象关于点对称;反之,若函数的图象关于点对称,则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数.
(Ⅰ)证明:函数的图象关于点对称;
(Ⅱ)已知函数的图象关于点对称,当时,.若对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)根据题意计算可得;
(Ⅱ)首先求出的值域,若对任意的,总存在,使得成立,则函数值域为函数的值域的子集,再利用二次函数的性质分类讨论可得.
【详解】
(Ⅰ)∵,,
∴.
∴.
即对任意的,都有成立.
∴函数的图象关于点对称.
(Ⅱ)∵,易知在上单调递增.
∴在时的值域为.
记函数,的值域为.
若对任意的,总存在,使得成立,则
.
∵时,,
∴,即函数的图象过对称中心.
(i)当,即时,函数在上单调递增.由对称性知,在上单调递增.
∴函数在上单调递增.
易知.又,∴,则.
由,得,解得.
(ii)当,即时,函数在上单调递减,在上单调递增.
由对称性,知在上单调递增,在上单调递减.
∴函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.
∴结合对称性,知或.
∵,∴.
又,∴.
易知.又,
∴.
∴当时,成立.
(iii)当,即时,函数在上单调递减.
由对称性,知在上单调递减.
∴函数在上单调递减.
易知.又,
∴,则.
由,得.解得.
综上可知,实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查函数新定义,含参二次函数的值域问题,典型的动轴定区间问题,考查分类讨论思想,属于难题.