江西省宜春市第九中学2019-2020学年高二入学考试数学（理）试卷 14页

数学（理）试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 若复数z满足，则z的虚部为 A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】【分析】本题主要考查了复数的概念，属于基础题． 由，由复数的运算得，，再由复数的概念，即可求解． 【解答】解：由复数模的定义可得， 从而， 则， 即z的虚部为． ‎ 2. 已知点M的极坐标是，它关于极轴的对称点坐标是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】【分析】 本题考查极坐标系下点的坐标的关系，属基础题． 在极坐标系中，关于极点的对称点为 【解答】 解：因为点M的极坐标为， 所以关于极轴的对称点为， 故选B． ‎ 3. 定积分的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：，将等式两边同时平方， 得：，整理得：，， 又表示以为圆心，以1为半径的圆， 定积分与坐标轴所围成的面积就是该圆的面积的四分之一， 定积分， 故选：A ‎． 根据的定积分的几何意义，可得该定积分的值等于其与坐标轴所围成的几何图形的面积的四分之一，计算即可． 本题主要考查了定积分的几何意义，根据数形结合的思想，属于基础题． ‎ 1. 设函数存在导函数，且满足，则曲线在点处的切线斜率为 A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题． 由导数的几何意义，求出曲线在点处的导数，即求得在此点处切线的斜率． 【解答】解：， 因为， 所以． 故选D． ‎ 2. 圆的圆心的极坐标是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】【分析】 本题考查极坐标和直角坐标的互化，属于基础题． 极坐标方程的两边同乘以，利用，，进行代换化成直角坐标方程求出圆心为，再转化为极坐标即可． 【解答】 解：将方程两边都乘以得： ， 化成直角坐标方程为， 即， 圆心的坐标为， 则圆心在第四象限，原点与圆心的距离为5，原点与圆心的连线与x轴的正半轴的夹角为， 则圆心坐标化成极坐标为 故选：A． ‎ 3. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课则“六艺”课程讲座的不同排课顺序共有 A. 120种 B. 156种 C. 188种 D. 240种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】本题主要考查了排列组合的综合应用，属于中档题． 根据题意，“数”必须排在前三节，分3种情况讨论，将结果相加即可． 【解答】解：根据题意，“数”必须排在前三节，分3种情况讨论： “数”排在第一节，有种排法 “数”排在第二节，有种排法 “数”排在第三节，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时，有种排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节时，有种排法． 所以满足条件的排法共有种． 故选A． ‎ 1. 若函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围是   ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】【分析】 本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题．由题意，求导确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数a的取值范围． 【解答】 解：由题意，， 故在，上是增函数， 在上是减函数， 作其图象如右图， 令得， 或； 则结合图象可知， ； 解得，； 故选C． ‎ 2. 参数方程为参数所表示的曲线是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】【分析】 本题主要考查了参数方程和直角方程的互相转化问题，属于中档题解题关键是消去参数，同时注意x，y取值范围的变化即可． 【解答】 解：将参数方程进行消参，则有，把，代入中， 得当时，，此时； 当时，，此时． 对照选项， 可知D正确． 故选D． ‎ 1. 已知函数，若关于x的方程有三个不同的实根，则t的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】【分析】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，函数的零点与方程根的关系，属于中档题． 由题可观察出时的单调性，对时的求导，分析其单调性和极值，作出的大致图象，由图像可知有三个不同的实根时t的取值范围． 【解答】‎ 解：当时为增函数，且当时． 当时，， 所以当时，，单调递增当时，，单调递减． 又当时，，当时，， 当时，取得极大值， 作出的大致图象，如图所示．‎ 因为方程有三个不同的实根， 所以． 故选A．‎ ‎ ‎ 1. 设点是圆上任意一点，又，，则的最大值为      ‎ A. 16 B. 20 C. 51 D. 100‎ ‎【答案】D ‎【解析】【分析】 本题考查运用圆的参数方程及三角函数的性质的综合应用，属于中档题． 【解答】 解：圆的参数方程是 则 ，其中， 故当时，取得最大值100． 故选D． ‎ 2. 某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课程表的不同排法种数为 A. 600 B. 288 C. 480 D. 504‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：该题这种学校安排课表是有条件限制排列问题，可看做是6个不同的元素填6个空的问题，条件限制是体育不排第一节，数学不排第四节，所以解答时分体育在第四节和体育不在第四节两类，体育在第四节既满足了体育不在第一节的条件，也满足了数学不在第四节的条件，当体育不在第四节时，数学也不能在第四节，则先安排第四节课，然后安排第一节课，最后安排剩余的四节课，安排完后利用分布乘法计数原理求第二类的方法种数，最后两类的方法种数作和即可． 解：学校安排六节课程可看做是用6个不同的元素填6个空的问题，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课的排法可分两类．一类是体育课排在第四节，则满足了体育课不在第一节，同时满足了数学课不在第四节，排法种数是种；一类是体育课不排第四节，数学课也不排在第四节，则第四节课只能从语文、英语、物理、化学课中任取1节来安排，有4种安排方法，然后安排第一节课，第一节课可从语文、英语、物理、化学课中剩下的3各科目及数学科目4个科目中任选1节，有4种安排方法，最后剩余的4各科目和4节课可全排列有 种排法，由分步计数原理，第二类安排方法共有种． 所以这天课表的不同排法种数为种． 故选D． ‎ 1. 已知函数，若是函数的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：函数， 函数的定义域是 是函数的唯一一个极值点 是导函数的唯一根． 在无变号零点， 令 时，恒成立．在时单调递增的 的最小值为，无解 时，有解为： 时，，单调递减 时，，单调递增 的最小值为 ， 由和图象，它们切于， 综上所述，． 故选：A． 由的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根． 本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 2. 设若，则          ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】【分析】本题主要考查分段函数的应用，根据条件结合积分求出a的值是解决本题的关键． 根据分段函数的表达式，解方程即可得到结论． 【解答】解：， ， ， 解得． ‎ 1. 曲线在点处的切线与直线垂直，则实数____________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查导数的几何意义根据题意得到切线斜率为1，则，对求导，列式即可得到a的值． 【解答】 解：曲线在点处的切线与直线垂直， 切线斜率为1， ， ， ，解得． 故答案为1． ‎ 2. 在极坐标系中，直线与圆相切，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【分析】 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充要条件的应用． 首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果． 【解答】 解：圆， 转化成：， 进一步转化成直角坐标方程为：， 把直线的方程转化成直角坐标方程为：， 由于直线和圆相切， 所以，圆心到直线的距离等于半径． 则：， 解得：，， 则负值舍去， 故：． 故答案为． ‎ 3. 如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为________．‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【分析】 设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值． 本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题． 【解答】 解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h； 则，，， 所以圆柱的体积为； 则， 令，解得； 所以时，，单调递增； 时，，单调递减； 所以时，取得最大值为． 故答案为：． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 1. 已知z是复数，，为虚数单位均为实数，且复数在复平面内对应的点在第一象限．‎ 求 求a的取值范围．‎ ‎【答案】解：设，则，‎ 由题意，得．‎ ‎，‎ 由题意，得，所以，则．‎ 因为在复平面内对应的点在第一象限，‎ 所以，解得．‎ 所以实数a的取值范围是．‎ ‎【解析】本题考查复数的概念及其几何意义，考查复数的四则运算，属于中档题． 设，复数如果是实数，那么其虚部为0，因此，可将条件中复数，化简，并使其虚部均为0，即可求出x，y，继而可得结果 若复数在复平面内对应的点在第一象限，则其实部、虚部都大于0，由此可建立关于a的不等式组，即可解出结果． ‎ 1. 已知函数 求曲线在点处的切线方程 若函数恰有2个零点，求实数a的取值范围 ‎【答案】解：由题得， ，    ，    曲线在点处的切线方程为， 即 由题意得，         由， 得，    故当时， ，单调递减；    当时， ，单调递增， 结合函数图象，知若函数在区间上恰有两个不同的零点，    则    解得，    实数a的取值范围为．‎ ‎【解析】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义求曲线中某点处的切线方程，以及导数中的零点问题，属于中档题． 由题得，，得出，即可推出结论． ，推出，对的单调性进行讨论，即可推出结论． ‎ 2. 在平面直角坐标系xOy中，直线，圆，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ 求，C的极坐标方程；‎ 若直线的极坐标方程为，设直线与圆C的交点为M，N，求的面积．‎ ‎【答案】解：由于，， ：的极坐标方程为 ‎， 故C：的极坐标方程为：， 化简可得； 把直线的极坐标方程代入， 解得，， ， 因为圆C的半径为1， ， 所以的面积为 ‎【解析】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，直线与圆的位置关系，三角形面积公式，考查运算求解能力，属于中档题． 由条件根据，求得，C的极坐标方程． 把直线的极坐标方程代入，求得和的值，结合圆的半径可得，即可求得的面积． ‎ 1. 已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是为参数． 求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程； 设点，若直线L与曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值．‎ ‎【答案】解：曲线C的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：． 直线L的参数方程是为参数，消去参数t可得． 把为参数，代入方程：化为：， 由，解得． ． ， ， 解得，又满足． 实数，1．‎ ‎【解析】曲线C的极坐标方程是，化为，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是为参数，把代入消去参数t即可得出． 把为参数，代入方程：化为：，由，得利用 ‎，即可得出． 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ‎ 1. 已知函数．‎ 讨论的单调性；‎ 当时，记在区间的最大值为M，最小值为m，求的取值范围．‎ ‎【答案】解：，‎ 令，得或，‎ 若，则当时，； 当时，， 故在，上单调递增，在上单调递减；‎ 若，在单调递增；‎ 若，则当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减．‎ 当时，由知，在单调递减，在单调递增， 所以在的最小值为，最大值为或， 于是 所以 当时，令，则， 可知单调递减，所以的取值范围是．‎ 当时，单调递增，所以的取值范围是．‎ 综上所述，的取值范围是．‎ ‎【解析】本题主要考查导数的运算，运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题． 求出原函数的导函数，得到导函数的零点，对a分类求解原函数的单调性； 当时，由求出函数的单调区间，进而求出最值． ‎ 1. 已知函数，． 当时，求函数的单调区间和极值； 若对于任意，都有成立，求实数k的取值范围； 若，且，证明：．‎ ‎【答案】解：， ，， 当时，，， 函数的单调增区间是，无单调减区间，无极值； 当时，令，解得， 当时，；当，， 函数的单调减区间是，单调增区间是， 在区间上的极小值为 ，无极大值． 对于任意，都有成立， ， 即问题转化为对于恒成立， 即对于恒成立， 令，则， 令，，则， 在区间上单调递增， 故， 故， 在区间上单调递增，函数， 要使，对于恒成立，只要， ，即实数k的取值范围是． 证明：，由知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且， 不妨设，则， 要证，只要证，即证， ‎ 在区间上单调递增， ，又，即证， 构造函数 ， 即， ， ，，，即， 函数在区间上单调递增，故， ，故， ，即， 成立．‎ ‎【解析】本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，属于难题． 由题意，，由此根据，利用导数性质分类讨论，能求出函数的单调区间和极值． 问题转化为对于恒成立，令，则，令，，则，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围． 设，则，要证，只要证，即证，由此利用导数性质能证明． ‎