2018-2019学年山西省祁县中学高二上学期期末模拟一考试数学（文）试题 解析版 22页

绝密★启用前 山西省祁县中学2018-2019学年高二上学期期末模拟一考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若直线，直线，则直线a与b的位置关系是（ ）‎ A．相交 B．异面 C．异面或平行 D．平行 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，直线a∥α，可得直线与面没有公共点，故直线与面的线 没有公共点，由此关系即可得出直线a与b的位置关系．‎ ‎【详解】‎ 由题意直线a∥α，直线b⊂α，可得直线a，b一定没有公共点，故两直线的位置关系可以是异面或平行 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考点是空间中直线与直线的位置关系，考察了线与面平行时，线与面内的线之间位置关系的判断，解题的关键是理解线面平行的定义及空间中线与线之间的位置关系，本题考察了空间想像能力及推理判断能力．‎ ‎2．已知命题P: “若两直线没有公共点，则两直线异面.”则其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是（ ）‎ A．0 B．2 C．1 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 断原命题为假命题，可知其逆否命题为假命题，再判断原命题的逆命题为真命题，可知原命题的否命题为真命题．‎ ‎【详解】‎ 解：若两直线没有公共点，两直线平行或异面，‎ 则命题p：“若两直线没有公共点，则两直线异面”为假命题，其逆否命题为假命题；‎ 命题p的逆命题为：“若两直线异面，则两直线没有公共点”，为真命题，‎ ‎∴原命题的否命题也为真命题．‎ ‎∴原命题的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数是2．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断与应用，考查原命题的逆命题、否命题、逆否命题之间的关系，是基础题．‎ ‎3．下列说法正确的是( )‎ A．“f(0)”是“函数 f（x）是奇函数”的充要条件 B．若 p：，，则：，‎ C．“若，则”的否命题是“若，则”‎ D．若为假命题，则p，q均为假命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四种命题之间的关系，对选项中的命题分析、判断即可．‎ ‎【详解】‎ 对于A，f （0）＝0时，函数 f （x）不一定是奇函数，如f（x）＝x2，x∈R；‎ 函数 f （x） 是奇函数时，f（0）不一定等于零，如f（x），x≠0；‎ 是即不充分也不必要条件，A错误；‎ 对于B，命题p：，‎ 则￢p：∀x∈，x2﹣x﹣1≤0，∴B错误；‎ 对于C，若α，则sinα的否命题是 ‎“若α，则sinα”，∴Ｃ正确．‎ 对于D，若p∧q为假命题，则p，q至少有一假命题，∴Ｄ错误；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题真假的判断问题，涉及到奇函数的性质，特称命题的否定，原命题的否命题，复合命题与简单命题的关系等知识，是基础题．‎ ‎4．已知函数，且，则=（ ）‎ A．1 B．2 C．-2 D．-1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，结合条件建立方程即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：,‎ 又 ‎∴，‎ ‎∴-2‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查导数的基本公式，考查计算能力，属于容易题.‎ ‎5．直线：与：平行，则m等于 ‎ A． B． C．或1 D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得m≠0，根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，可得，由此求得m的值．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可得m≠0，由 解得m＝1，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 两直线位置关系的判断： 和的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：‎ 垂直： ；‎ 平行： ，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！‎ ‎6．已知f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是( )‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，得到在[1，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，从而解得a≤3，故a的最大值为3．‎ ‎【详解】‎ 解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数 ‎∴f′（x）＝3x2﹣a≥0在[1，+∞）上恒成立．‎ 即a≤3x2‎ ‎∵x∈[1，+∞）时，3x2≥3恒成立 ‎∴a≤3‎ ‎∴a的最大值是3‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三次函数的单调性的应用、不等式的解法、恒成立问题的解决方法等基础知识，考查了运算求解能力，化归与转化思想．‎ ‎7．圆与直线位置关系是( )‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．由确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据正弦函数的值域及θ的取值可得d小于r ‎，从而判断出圆与直线相离．‎ ‎【详解】‎ 解：把圆的方程化为标准方程得：x2+y2，‎ ‎∴圆心坐标为（0，0），半径r，‎ 又，‎ ‎∴圆心到直线x•sinθ+y﹣1＝0的距离dr，‎ 则直线与圆的位置关系为相离．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，正弦函数的定义域及值域，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断：当0≤d＜r时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离．‎ ‎8．双曲线右支上点到其第一、三象限渐近线距离为，则a+b=( )‎ A． B．- C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．根据点到直线的距离公式能够求出a﹣b的值，由此能够得到a+b的值．‎ ‎【详解】‎ 解：P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．‎ d，‎ ‎∴|a﹣b|＝2．‎ 又P点在右支上，在渐近线y＝x的下方，则有a＞b，‎ ‎∴a﹣b＝2．‎ ‎∴|a+b|×2＝1，a+b，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的简单性质、不等式表示的区域、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．‎ ‎9．一个圆圆心为椭圆右焦点，且该圆过椭圆中心，交椭圆于P，直线为该椭圆左焦点是此圆切线，则椭圆离心率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意和椭圆定义可知根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a﹣c；利用特殊三角形可得：，进而建立等式求得e．‎ ‎【详解】‎ 设F2为椭圆的右焦点 由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，‎ 所以点P是切点，所以PF2＝c并且PF1⊥PF2．‎ 又因为F1F2＝2c，所以∠PF1F2＝30°，所以PF1c．‎ 根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a，‎ 所以|PF1|＝2a﹣c．‎ 所以2a﹣c，所以e．‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆的简单性质、直线与圆的相切、椭圆的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．‎ ‎10．设函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x＝﹣1为函数y＝f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f（x）的图象是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数f（x）ex的导函数，利用x＝﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）＝ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由y＝f（x）ex＝ex（ax2+bx+c）⇒y′＝f′（x）ex+exf（x）＝ex[ax2+（b+2a）x+b+c]，‎ 由x＝﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c＝0的一个根，‎ 所以有a﹣（b+2a）+b+c＝0⇒c＝a．‎ 法一：所以函数f（x）＝ax2+bx+a，对称轴为x，且f（﹣1）＝2a﹣b，f（0）＝a．‎ 对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）＝0，不矛盾，‎ 对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）＝0，不矛盾，‎ 对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x0⇒b＞0⇒f（﹣1）＜0，不矛盾，‎ 对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x1⇒b＞2a⇒f（﹣1）＜0与原图中f（﹣1）＞0矛盾，D不对．‎ 法二：所以函数f（x）＝ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．‎ ‎11．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM//平面A1DE,则动点M 的轨迹长度为（ ）‎ A． B．π C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设平面DA1E与直线B1C1交于点F，连接AF、EF，则F为B1C1的中点．分别取B1B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，可证出平面A1DE∥平面ANO，从而得到NO是平面BCC1B1内的直线．由此得到F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段是线段ON．‎ ‎【详解】‎ 解：设平面DA1E与直线B1C1交于点F，连接AF、EF，‎ 则F为B1C1的中点．‎ 分别取B1B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，‎ 则∵A1F∥AO，AN∥DE，A1F，DE⊂平面A1DE，‎ AO，AN⊂平面ANO，‎ ‎∴A1F∥平面ANO．同理可得DE∥平面ANO，‎ ‎∵A1F、DE是平面A1DE内的相交直线，‎ ‎∴平面A1DE∥平面ANO，‎ 所以NO∥平面A1DE，‎ ‎∴直线NO⊂平面A1DE，‎ ‎∴M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段是线段NO．‎ ‎∴M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长NO．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题给出正方体中侧面BCC1B1内动点M满足NO∥平面A1DE，求M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长，着重考查了正方体的性质，解题时要注意空间思维能力的培养．‎ ‎12．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用函数导数判断函数的单调性，将代入函数，根据单调性选出正确的选项.‎ ‎【详解】‎ 构造函数，依题意，故函数在定义域上为增函数，由得，即，排除A选项. 由得，即 ‎，排除B选项.由得，即，排除C，选项. 由得，即，D选项正确，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查构造函数法比较大小，考查函数导数的概念，考查函数导数运算，属于基础题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．如下图，矩形是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中，，则原图形是_____.‎ ‎ ‎ ‎【答案】菱形 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出原平面图形，结合图形即可判断该图形是菱形．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，直观图的两组对边分别平行，‎ 且O′A′＝6cm，C′D′＝O′C′＝2cm，∴O′D′＝2；‎ 还原为平面图形是邻边不垂直，且CD＝2，OD＝4，‎ 如图所示，‎ ‎∴OC＝6cm，‎ ‎∴四边形OABC是菱形．‎ 故答案为：菱形．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面图形与它的直观图应用问题，是基础题．‎ ‎14．在正方体AC1中，棱长为2，点M在DD1上，点N在面ABCD上，MN=2，点P为MN的中点，则点P的轨迹与正方体的面围成的几何体的体积为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1，从而P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的，由此能求出结果 ‎【详解】‎ 解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点，‎ 由ND，DM，MN构成一个直角三角形，‎ 设P为MN的中点，‎ 根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半，‎ 得不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．‎ 故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的．‎ 其体积Vπ×13．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养，明确动点P的轨迹是解题的关键．‎ ‎15．已知点P是抛物线y2＝﹣8x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x+y﹣10＝0的距离是d2，则dl+d2的最小值是__.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的方程，得到焦点为F（﹣2，0），准线方程是x＝2．然后作PQ与垂直准线，交于点Q，过作PM与直线x+y﹣10＝0垂直，交于点M，可得PQ＝d1，PM＝d2．连接PF，根据抛物线的定义可得d1+d2＝PF+PM，因此当P、F、M三点共线且与直线x+y﹣10＝0垂直时，dl+d2最小，最后用点到直线的距离公式，可求出这个最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：∵抛物线方程是y2＝﹣8x，‎ ‎∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线方程是x＝2‎ P是抛物线y2＝﹣8x上一点，过P点作PQ与准线垂直，垂足为Q，‎ 再过P作PM与直线x+y﹣10＝0垂直，垂足为M 则PQ＝d1，PM＝d2‎ 连接PF，根据抛物线的定义可得PF＝PQ＝d1，所以d1+d2＝PF+PM，‎ 可得当P、F、M三点共线且与直线x+y﹣10＝0垂直时，dl+d2最小．（即图中的F、P0、M0位置）‎ ‎∴dl+d2的最小值是焦点F到直线x+y﹣10＝0的距离，‎ 即（dl+d2）min 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题借助于求抛物线上一动点到两条定直线的距离之和的最小值问题，考查了抛物线的定义与简单几何性质和点到直线距离公式等知识点，属于中档题．‎ ‎16．已知函数，其图像与轴切于非原点的一点，且该函数的极小值是，那么切点坐标为______．‎ ‎【答案】（-3，0）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点（a，0）（a≠0），f（x）＝x（x2+px+q）．由题意得：方程x2+px+q＝0有两个相等实根a，故可得f（x）＝x（x﹣a）2＝x3﹣2ax2+a2x，再利用y极小值＝﹣4，可求a＝﹣3，从而得到切点．‎ ‎【详解】‎ 解：设切点（a，0）（a≠0），‎ f（x）＝x（x2+px+q），‎ 由题意得：方程x2+px+q＝0有两个相等实根a，‎ 故可得f（x）＝x（x﹣a）2＝x3﹣2ax2+a2x f′（x）＝3x2﹣4ax+a2＝（x﹣a）（3x﹣a），‎ 令f′（x）＝0，则x＝a或，‎ ‎∵f（a）＝0≠﹣4，‎ ‎∴f（）＝﹣4，‎ 于是（a）2＝﹣4，‎ ‎∴a＝﹣3，‎ 即有切点为（﹣3，0），‎ 故答案为：（﹣3，0）．‎ ‎【点睛】‎ 本题以函数为载体，考查函数的极值，考查导数的几何意义，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设a，命题p：x，满足,命题q：x，.‎ ‎(1若命题是真命题，求a的范围；‎ ‎2为假，为真，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）原问题等价于命题p,q均为真命题，据此讨论计算可得实数a的取值范围是.‎ ‎（2）由题意可得p、q同时为假或同时为真，据此分类讨论可得实数a的取值范围是或.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）p真，则或得； ‎ q真，则a2﹣4＜0，得﹣2＜a＜2， ‎ ‎∴p∧q真，． ‎ ‎（2）由（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，‎ 若p假q假，则，⇒a≤﹣2， ‎ 若p真q真，则，⇒ ‎ 综上a≤﹣2或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由复合命题的真假求解参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18．如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AD⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) ；(Ⅲ) ．‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC．‎ ‎（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．由几何关系可知∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．计算可得．则异面直线BC与MD所成角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）连接CM．由题意可知CM⊥平面ABD．则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．计算可得．即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．‎ 详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．‎ ‎（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．‎ 在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．‎ 在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．‎ 在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．‎ 所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．‎ 在Rt△CAD中，CD==4．‎ 在Rt△CMD中， ．‎ 所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．‎ 点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．‎ ‎19．已知函数为常数，e=2.71828…，曲线在点处的切线与x轴平行.‎ ‎（Ⅰ）求k的值；‎ ‎（Ⅱ）求的单调区间；‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 单调递增区间是，单调递减区间是 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求出函数的导函数，函数在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，说明f′（1）=0，则k值可求；（2）求出函数的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数f（x）的单调区间 试题解析：（I） ，‎ 由已知，，‎ ‎（II）由（I）知，.‎ 设，则，即在上是减函数，‎ 由知，当时，，‎ 当时，从而.‎ 综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ 考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义 ‎20．已知点A（﹣2，0），B（2，0），曲线C上的动点P满足=﹣3．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）若过定点M（0，﹣2）的直线l与曲线C有公共点，求直线l的斜率k的取值范围；‎ ‎（3）若动点Q（x，y）在曲线C上，求u= 的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)设点，利用直接法求动点轨迹；(2)设直线方程，利用圆心到直线的距离和半径的大小进行求解；（3）将求斜率问题转化为判定直线和圆有公共点问题，再利用圆心到直线的距离和半径的大小进行求解.‎ 试题解析：(1)设P(x，y)，A·B＝(x＋2，y)(x－2，y)＝x2－4＋y2＝－3，‎ 得P点轨迹(曲线C)方程为x2＋y2＝1，‎ 即曲线C是圆．‎ ‎(2)可设直线l的方程为y＝kx－2，‎ 其一般方程为kx－y－2＝0，‎ 由直线l与曲线C有交点，得≤1，得k≤－或k≥，‎ 即所求k的取值范围是(－∞，－ ]∪[，＋∞)．‎ ‎(3)由动点Q(x，y)，设定点N(1，－2)，‎ 则直线QN的斜率kQN＝＝u，‎ 又点Q在曲线C上，故直线QN与圆有交点，‎ 设直线QN的方程为y＋2＝u(x－1)，‎ 即ux－y－u－2＝0.‎ 当直线与圆相切时，＝1，‎ 解得u＝－，‎ 当u不存在时，直线与圆相切，‎ 所以u∈(－∞，－]．‎ ‎21．设函数．‎ ‎（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；‎ ‎（2）讨论函数零点的个数．‎ ‎【答案】(1)2;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；‎ ‎（2）令g（x）＝0，得到；设，通过讨论m的范围，根据函数的单调性结合函数的草图求出函数的零点个数即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当m＝e时，，∴‎ 当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上是减函数；‎ 当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在x∈（e，+∞）上是增函；‎ ‎∴当x＝e时，f（x）取最小值．‎ ‎（2）∵函数，‎ 令g（x）＝0，得；‎ 设，则′（x）＝﹣x2+1＝﹣（x﹣1）（x+1）‎ 当x∈（0，1）时，′（x）＞0，（x）在x∈（0，1）上是增函数；‎ 当x∈（1，+∞）时，′（x）＜0，（x）在x∈（1，+∞）上是减函数；‎ 当x＝1是（x）的极值点，且是唯一极大值点，∴x＝1是（x）的最大值点；‎ ‎∴（x）的最大值为，又（0）＝0结合y＝（x）的图象，‎ 可知：①当时，函数g（x）无零点；‎ ‎②当时，函数g（x）有且只有一个零点；‎ ‎③当时，函数g（x）有两个零点；‎ ‎④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；‎ 综上：当时，函数g（x）无零点；‎ 当或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；‎ 当时，函数g（x）有且只有两个零点；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查函数的零点个数问题，是一道中档题．‎ ‎22．已知平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点．‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；‎ ‎（3）过原点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）面积的最大值为，‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）分别设点P，线段PA的中点M（x，y）．利用中点坐标公式及“代点法”即可得出；（3）对直线BC的斜率分存在于不存在两种情况讨论，当直线BC的斜率存在时，把直线BC的方程与椭圆的方程联立，解得点B，C的坐标，利用两点间的距离公式即可得出|BC|，再利用点到直线的距离公式即可得出点A到直线BC的距离，利用三角形的面积计算公式即可得出，再利用导数得出其最值 试题解析：（1）设椭圆的方程为 由题意可知：，‎ 故 所以椭圆的方程为：‎ ‎（2）设，则有：‎ ‎①‎ 又因为：②‎ 将②代入①得到点的轨迹方程：‎ ‎（3）当直线的斜率不存在时，‎ 当斜率存在时，设其方程为：设 由 不妨设，则 设点到直线的距离为，则：‎ ‎=‎ 当时，‎ 当时，‎ 上式当且仅当时，等号成立 综上可知，面积的最大值为，此时直线的方程为：‎ 考点：直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程；椭圆的标准方程