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  • 2021-06-11 发布

北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学高一下学期期中考试数学(A)试题

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北京首师附中2019-2020学年度第二学期期中考试试题 高一数学A卷1-6班用 一、单选题 ‎1.已知,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将条件中所给的式子的两边平方后化简得,解得后再根据两角差的正切公式求解.‎ ‎【详解】条件中的式子两边平方,得,‎ 即,‎ 所以,‎ 即,‎ 解得或,‎ 所以,‎ 故.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】解答本题的关键是根据条件进行适当的三角恒等变换,得到后再根据公式求解,考查变换能力和运算能力,属于基础题.‎ ‎2.已知,则的最大值为(  )‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简xy=(2x•y),再利用基本不等式求最大值得解.‎ ‎【详解】解:∵x>0,y>0,且2x+y=2,‎ ‎∴xy=(2x•y)≤()2=,当且仅当x=,y=1时取等号,‎ 故则xy最大值为,‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查基本不等式求最值,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎3.设,,,则( )‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出,再求出即可.‎ ‎【详解】∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查补集与并集的混合运算,求解时根据集合运算的定义进行求解即可,属于基础题.‎ ‎4.已知函数,则的值是( )‎ A. B. 4‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:根据分段函数解析式可知,,所以,故选C.‎ 考点:分段函数.‎ ‎5.已知为实数,则是的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解出,中,的关系,然后根据,的范围,确定充分条件,还是必要条件.‎ ‎【详解】解:,‎ 当或时,不能得到,‎ 反之由即:可得成立.‎ 故是的必要不充分条件 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查对数函数的单调性与特殊点,必要条件、充分条件与充要条件的判断,是基础题.‎ ‎6.已知集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合,由此求得 ‎【详解】由,解得或,即或.所以.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.‎ ‎7.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”,为评估共享单车的使用情况,选了座城市作实验基地,这座城市共享单车的使用量(单位:人次/天)分别为,,…,,下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( )‎ A. ,,…,的标准差 B. ,,…,的平均数 C. ,,…,的最大值 D. ,,…,的中位数 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度可得出选项.‎ ‎【详解】表示一组数据的稳定程度是方差或标准差,标准差越小,数据越稳定 故选:A ‎【点睛】本题考查了用样本估计总体,需掌握住数据的稳定程度是用方差或标准差估计的,属于基础题.‎ ‎8.集合A={|},B={|},则= ( )‎ A. [-2,-1] B. [-1,2) C. [-1,1] D. [1,2)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎,,‎ ‎,∴=[-2,-1].‎ ‎9.某位居民站在离地‎20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为,小高层底部的俯角为,那么这栋小高层的高度为  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意作出简图,根据已知条件和三角形的边角关系解三角形 ‎【详解】依题意作图所示:,仰角,俯角,‎ 在等腰直角中,,‎ 在直角中,,‎ ‎,‎ 小高层的高度为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】解决解三角形实际应用问题注意事项:‎ ‎1.首先明确方向角或方位角的含义;‎ ‎2.分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图;‎ ‎3.将实际问题转化为可用数学方法解决的问题 ‎10.关于函数,下列说法错误的是( )‎ A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 有零点 D. 在上单调递增 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性定义可判断选项A正确;依据周期性定义,选项B错误;,选项C正确;求,判断选项D正确.‎ ‎【详解】,‎ 则为奇函数,故A正确;‎ 根据周期的定义,可知它一定不是周期函数,‎ 故B错误;‎ 因为,在 上有零点,故C正确;‎ 由于,故在 上单调递增,故D正确.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的性质,涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点,属于基础题.‎ 二、填空题 ‎11.设函数是定义在上的偶函数,记,且函数在区间上是增函数,则不等式的解集为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,分析可得为偶函数,进而分析可得原不等式转化为,结合函数的奇偶性与单调性分析可得,解可得的取值范围.‎ ‎【详解】根据题意,且是定义在上的偶函数,‎ 则,则函数为偶函数,‎ ‎,‎ 又由为增函数且在区间上是增函数,则,‎ 解可得:或,‎ 即的取值范围为,‎ 故答案为;‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,注意分析的奇偶性与单调性,属于中档题.‎ ‎12.设,不等式对满足条件的,恒成立,则实数m的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式对满足条件的,恒成立,利用,转化为不等式对满足条件的恒成立,即不等式对满足条件的恒成立,然后用二次函数的性质求的最大值即可。‎ ‎【详解】因为,‎ 所以,‎ 因为不等式对满足条件的,恒成立,‎ 所以不等式对满足条件的恒成立,‎ 即不等式对满足条件的恒成立,‎ 令,‎ 所以,,‎ 所以实数m的最小值为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数的应用,还考查了换元的思想和运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中,在x轴、y轴正方向上的投影分别是–3、4,则与平行的单位向量是_______.‎ ‎【答案】±‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由题意可得,再除以向量的模,再考虑反向的情况即可.‎ ‎【详解】∵在x轴、y轴正方向上的投影分别是–3、4,∴=(–3,4),||5.‎ 则的单位向量±.故答案为±.‎ ‎【点睛】本题考查单位向量,与的平行的单位向量为,考查了运算能力.‎ ‎14.为了了解家庭月收入(单位:千元)与月储蓄(单位:千元)的关系,从某居民区随机抽取10个家庭,根据测量数据的散点图可以看出与之间具有线性相关关系,其回归直线方程为,若该居民区某家庭月收入为7千元,据此估计该家庭的月储蓄为__________千元.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接代入即得答案.‎ ‎【详解】由于,代入,于是得到,故答案为1.7.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性回归方程的理解,难度很小.‎ ‎15.已知函数,若,则实数的值是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数解析式,分类讨论可得;‎ ‎【详解】解:因,‎ 当时,,解得;当时,,解得 综上可得 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查分段函数值求自变量的值,属于基础题.‎ 三、解答题 ‎16. 我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出分期付款购买方式,该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计(注:每人仅购买一部手机),统计结果如下表所示:‎ 付款方式 ‎ 分1期 ‎ 分2期 ‎ 分3期 ‎ 分4期 ‎ 分5期 ‎ 频数 ‎ ‎35 ‎ ‎25 ‎ ‎ ‎ ‎10 ‎ ‎ ‎ 已知分3期付款的频率为,请以此100人作为样本,以此来估计消费人群总体,并解决以下问题:‎ ‎(Ⅰ)从消费人群总体中随机抽选3人,求“这3人中(每人仅购买一部手机)恰好有1人分4期付款”概率;‎ ‎(Ⅱ)若销售一部苹果6S手机,顾客分1期付款(即全款),其利润为1000元;分2期或3期付款,其利润为1500元;分4期或5期付款,其利润为2000元.用X表示销售一部苹果6S手机的利润,求X的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)分布列见解析,.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)设事件为“购买一部手机的名顾客中,恰好有一名顾客分期付款”,由题意得:随机抽取一位购买者,分期付款的概率为,由此能求出“购买一部手机的名顾客中,恰好有一名顾客分期付款”的概率;(Ⅱ)记分期付款的期数为,依题意得,‎ ‎,的可能取值为,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和数学期望.‎ 试题解析: (Ⅰ)由题意得,所以,又,所以.设事件为“购买一部手机的3名顾客中,恰好有1名顾客分4期付款”,由题意得:随机抽取一位购买者,分期付款的概率为,所以.‎ ‎(Ⅱ)记分期付款的期数为,依题意得,,,,,‎ 因为可能取得值为元,元,元,‎ 并且易知,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以的分布列为 所以的数学期望 考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. ‎ ‎【易错点睛】本题考查统计表的应用,考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,历年高考中都是必考题型之一.‎ ‎ 在求离散型随机变量概率分布列时,需充分运用分布列的性质,一是可以减少运算量;二是可验证所求的分布列是否正确.本题难度不大,是高考中重要得分项.‎ ‎17.中,内角,,的对边分别为,,.已知.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,的面积为,求的周长.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)用余弦定理将条件化为,然后化简即可 ‎(2)由得,由的面积为和可推出,然后用余弦定理求出即可.‎ ‎【详解】(1)因为 由余弦定理得,‎ 整理得,‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎(2)因为,由(1)知,‎ 又的面积为,‎ 所以.‎ 又,‎ 所以,‎ 所以.‎ 由余弦定理,得,‎ 所以,‎ 所以的周长为.‎ ‎【点睛】本题考查的是正余弦定理及三角形的面积公式,较为典型.‎ ‎18.如图,等腰直角三角形中, ,点在线段上. ‎ ‎(1)若,求的长;‎ ‎(2)若点在线段上,且,求△的面积.‎ ‎【答案】(1)或; (2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)在中,由题设条件及余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2•OP•MPcos45°,解得MP即可;(2)在△OMP中,由正弦定理求出OM,同理求出ON,即可求出三角形的面积.‎ ‎【详解】(1)在中,,,,‎ 由余弦定理得,, ‎ 得, 解得或 ‎(2)在中,由正弦定理,得, ‎ 所以, 同理. ‎ 故=‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,考查转化思想以及计算能力.‎ ‎19.已知,‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求函数的最大值.‎ ‎【答案】(1)1;(2)的最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由 得,‎ 于是=.‎ ‎(2)因为 所以 的最大值为.‎ ‎20.已知定义在上的偶函数满足:当时,.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)用定义法证明在上是增函数;‎ ‎(3)求函数在上的值域.‎ ‎【答案】(1)(2)证明见解析(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)因为当时,,可得,即可求得答案;‎ ‎(2)根据函数单调性定义,即可求得答案;‎ ‎(3)因为,根据在为减函数,在为增函数,即可求得答案.‎ ‎【详解】(1)当时,‎ ‎,‎ 解得:‎ ‎(2)任取 ‎.‎ 又,‎ ‎,‎ 得:‎ ‎,‎ 在上是增函数.‎ ‎(3)‎ 在为减函数,在为增函数,‎ 的值域为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了定义法证明函数单调性和求函数的值域,解题关键是掌握函数基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎21.已知函数 ‎(1) 求函数的定义域;‎ ‎(2) 若对任意恒有,试确定的取值范围.‎ ‎【答案】(1)当时,定义域为,当时,定义域为;(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)求函数的定义域即解的含参数的不等式,关键是要注意参数受本身函数对数式的条件限制;(2)求解不等式在区间恒成立,本质是转化为求函数最值问题.‎ 试题解析:(1)由,即,‎ 当时,定义域为,‎ 当时,定义域为.‎ ‎(2)①当时,即,即,又,‎ 即恒成立,所以即,‎ ‎②当时,由得,即,,矛盾 综上.‎ 考点:函数的定义域、解含参不等式、不等式恒成立、转化与化归思想、分类讨论思想.‎

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