北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学高一下学期期中考试数学（A）试题 15页

北京首师附中2019-2020学年度第二学期期中考试试题 高一数学A卷1-6班用 一、单选题 ‎1.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将条件中所给的式子的两边平方后化简得，解得后再根据两角差的正切公式求解．‎ ‎【详解】条件中的式子两边平方，得，‎ 即，‎ 所以，‎ 即，‎ 解得或，‎ 所以，‎ 故．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】解答本题的关键是根据条件进行适当的三角恒等变换，得到后再根据公式求解，考查变换能力和运算能力，属于基础题．‎ ‎2.已知,则的最大值为（　　）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简xy=（2x•y），再利用基本不等式求最大值得解.‎ ‎【详解】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y=2，‎ ‎∴xy=（2x•y）≤（）2=，当且仅当x=，y=1时取等号，‎ 故则xy最大值为，‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎3.设，，，则（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再求出即可．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查补集与并集的混合运算，求解时根据集合运算的定义进行求解即可，属于基础题．‎ ‎4.已知函数，则的值是（ ）‎ A. B. 4‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据分段函数解析式可知，，所以，故选C.‎ 考点：分段函数.‎ ‎5.已知为实数，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解出，中，的关系，然后根据，的范围，确定充分条件，还是必要条件．‎ ‎【详解】解：，‎ 当或时，不能得到，‎ 反之由即：可得成立．‎ 故是的必要不充分条件 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．‎ ‎6.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合，由此求得 ‎【详解】由，解得或，即或.所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎7.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作实验基地，这座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为，，…，，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（ ）‎ A. ，，…，的标准差 B. ，，…，的平均数 C. ，，…，的最大值 D. ，，…，的中位数 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度可得出选项.‎ ‎【详解】表示一组数据的稳定程度是方差或标准差，标准差越小，数据越稳定 故选：A ‎【点睛】本题考查了用样本估计总体，需掌握住数据的稳定程度是用方差或标准差估计的，属于基础题.‎ ‎8.集合A={|}，B={|}，则= ( )‎ A. [-2,-1] B. [-1,2） C. [-1,1] D. [1,2）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，，‎ ‎,∴=[-2,-1].‎ ‎9.某位居民站在离地‎20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为，小高层底部的俯角为，那么这栋小高层的高度为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意作出简图，根据已知条件和三角形的边角关系解三角形 ‎【详解】依题意作图所示：，仰角，俯角，‎ 在等腰直角中，，‎ 在直角中，，‎ ‎，‎ 小高层的高度为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】解决解三角形实际应用问题注意事项：‎ ‎1.首先明确方向角或方位角的含义；‎ ‎2.分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图；‎ ‎3.将实际问题转化为可用数学方法解决的问题 ‎10.关于函数，下列说法错误的是（ ）‎ A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 有零点 D. 在上单调递增 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性定义可判断选项A正确；依据周期性定义，选项B错误；，选项C正确；求，判断选项D正确.‎ ‎【详解】，‎ 则为奇函数，故A正确；‎ 根据周期的定义，可知它一定不是周期函数，‎ 故B错误；‎ 因为，在 上有零点，故C正确；‎ 由于，故在 上单调递增，故D正确.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的性质，涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎11.设函数是定义在上的偶函数，记，且函数在区间上是增函数，则不等式的解集为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得为偶函数，进而分析可得原不等式转化为，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，解可得的取值范围．‎ ‎【详解】根据题意，且是定义在上的偶函数，‎ 则，则函数为偶函数，‎ ‎，‎ 又由为增函数且在区间上是增函数，则，‎ 解可得：或，‎ 即的取值范围为，‎ 故答案为；‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析的奇偶性与单调性，属于中档题．‎ ‎12.设，不等式对满足条件的，恒成立，则实数m的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式对满足条件的，恒成立，利用，转化为不等式对满足条件的恒成立，即不等式对满足条件的恒成立，然后用二次函数的性质求的最大值即可。‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 因为不等式对满足条件的，恒成立，‎ 所以不等式对满足条件的恒成立，‎ 即不等式对满足条件的恒成立，‎ 令，‎ 所以，，‎ 所以实数m的最小值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数的应用，还考查了换元的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中，在x轴、y轴正方向上的投影分别是–3、4，则与平行的单位向量是_______．‎ ‎【答案】±‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由题意可得，再除以向量的模，再考虑反向的情况即可.‎ ‎【详解】∵在x轴、y轴正方向上的投影分别是–3、4，∴=（–3，4），||5．‎ 则的单位向量±．故答案为±．‎ ‎【点睛】本题考查单位向量，与的平行的单位向量为，考查了运算能力.‎ ‎14.为了了解家庭月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的关系，从某居民区随机抽取10个家庭，根据测量数据的散点图可以看出与之间具有线性相关关系，其回归直线方程为，若该居民区某家庭月收入为7千元，据此估计该家庭的月储蓄为__________千元.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接代入即得答案.‎ ‎【详解】由于，代入，于是得到，故答案为1.7.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性回归方程的理解，难度很小.‎ ‎15.已知函数，若，则实数的值是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数解析式，分类讨论可得；‎ ‎【详解】解：因，‎ 当时，，解得；当时，，解得 综上可得 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查分段函数值求自变量的值，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎16. 我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：‎ 付款方式 ‎ 分1期 ‎ 分2期 ‎ 分3期 ‎ 分4期 ‎ 分5期 ‎ 频数 ‎ ‎35 ‎ ‎25 ‎ ‎ ‎ ‎10 ‎ ‎ ‎ 已知分3期付款的频率为，请以此100人作为样本，以此来估计消费人群总体，并解决以下问题：‎ ‎（Ⅰ）从消费人群总体中随机抽选3人，求“这3人中（每人仅购买一部手机）恰好有1人分4期付款”概率；‎ ‎（Ⅱ）若销售一部苹果6S手机，顾客分1期付款(即全款），其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X表示销售一部苹果6S手机的利润，求X的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设事件为“购买一部手机的名顾客中，恰好有一名顾客分期付款”，由题意得：随机抽取一位购买者，分期付款的概率为，由此能求出“购买一部手机的名顾客中，恰好有一名顾客分期付款”的概率；（Ⅱ）记分期付款的期数为，依题意得，‎ ‎，的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望.‎ 试题解析： （Ⅰ）由题意得，所以，又，所以．设事件为“购买一部手机的3名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”，由题意得：随机抽取一位购买者，分期付款的概率为，所以．‎ ‎（Ⅱ）记分期付款的期数为，依题意得，，，，，‎ 因为可能取得值为元，元，元，‎ 并且易知，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以的分布列为 所以的数学期望 考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列. ‎ ‎【易错点睛】本题考查统计表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，历年高考中都是必考题型之一.‎ ‎ 在求离散型随机变量概率分布列时，需充分运用分布列的性质，一是可以减少运算量；二是可验证所求的分布列是否正确.本题难度不大，是高考中重要得分项.‎ ‎17.中，内角，，的对边分别为，，．已知．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用余弦定理将条件化为，然后化简即可 ‎（2）由得，由的面积为和可推出，然后用余弦定理求出即可.‎ ‎【详解】（1）因为 由余弦定理得，‎ 整理得，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎（2）因为，由（1）知，‎ 又的面积为，‎ 所以．‎ 又，‎ 所以，‎ 所以．‎ 由余弦定理，得，‎ 所以，‎ 所以的周长为．‎ ‎【点睛】本题考查的是正余弦定理及三角形的面积公式，较为典型.‎ ‎18.如图,等腰直角三角形中, ,点在线段上. ‎ ‎(1)若,求的长；‎ ‎(2)若点在线段上,且,求△的面积.‎ ‎【答案】（1）或； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中，由题设条件及余弦定理得，OM2=OP2+MP2-2•OP•MPcos45°，解得MP即可；（2）在△OMP中，由正弦定理求出OM，同理求出ON，即可求出三角形的面积.‎ ‎【详解】(1)在中,,,,‎ 由余弦定理得,, ‎ 得, 解得或 ‎(2)在中,由正弦定理,得, ‎ 所以, 同理. ‎ 故=‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎19.已知，‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的最大值．‎ ‎【答案】(1)1;（2）的最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由 得，‎ 于是=.‎ ‎（2）因为 所以 的最大值为.‎ ‎20.已知定义在上的偶函数满足:当时,.‎ ‎（1）求实数的值;‎ ‎（2）用定义法证明在上是增函数;‎ ‎（3）求函数在上的值域.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为当时,,可得,即可求得答案;‎ ‎（2）根据函数单调性定义,即可求得答案;‎ ‎（3）因为,根据在为减函数,在为增函数,即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）当时,‎ ‎,‎ 解得:‎ ‎（2）任取 ‎.‎ 又,‎ ‎,‎ 得:‎ ‎,‎ 在上是增函数.‎ ‎（3）‎ 在为减函数,在为增函数,‎ 的值域为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了定义法证明函数单调性和求函数的值域,解题关键是掌握函数基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎21.已知函数 ‎（1） 求函数的定义域；‎ ‎（2） 若对任意恒有，试确定的取值范围．‎ ‎【答案】（1）当时，定义域为，当时，定义域为；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求函数的定义域即解的含参数的不等式，关键是要注意参数受本身函数对数式的条件限制；（2）求解不等式在区间恒成立，本质是转化为求函数最值问题．‎ 试题解析：（1）由，即，‎ 当时，定义域为，‎ 当时，定义域为．‎ ‎（2）①当时，即，即，又，‎ 即恒成立，所以即，‎ ‎②当时，由得，即，，矛盾 综上．‎ 考点：函数的定义域、解含参不等式、不等式恒成立、转化与化归思想、分类讨论思想．‎