2019届二轮复习高考四大数学思想回顾学案（全国通用） 12页

一、高考四大数学思想回顾 　‎ ‎1．函数与方程思想 ‎(对应学生用书第82页)‎ 函数思想 方程思想 ‎　　函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决.‎ ‎　　方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决.‎ ‎　　函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是动中求解，研究运动中的等量关系.‎ ‎【例1】　(1)(2018·衡水中学模拟)设f(x)，g(x)分别是定义在R内的奇函数和偶函数，当x<0时， f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________. ‎ ‎(2)(2018·郑州高三质量检测)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝70，且a1，a2，a6成等比数列．设bn＝，则数列{bn}最小项的值为________．‎ ‎(1)(－∞，－3)∪(0,3)　(2)23　[(1)设f(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R内的奇函数和偶函数，得 F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－f(x)，‎ 即f(x)为定义在R内的奇函数．‎ 又当x<0时，‎ F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，‎ 所以x<0时，f(x)为增函数．‎ 因为奇函数在对称区间上的单调性相同，‎ 所以当x>0时，f(x)也是增函数．‎ 因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)．‎ 所以由图可知f(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．‎ ‎(2)设公差为d，‎ 则有 即 解得或(舍去)，‎ 所以an＝3n－2，Sn＝[1＋(3n－2)]＝，‎ 所以bn＝＝3n＋－1≥2－1＝23，当且仅当3n＝，‎ 即n＝4时取等号，‎ 故数列{bn}最小项的值为23.]‎ ‎[方法归纳]　函数与方程思想在解题中的应用 ‎1．函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y＞0时，就化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题．‎ ‎2．与数列有关的基本量的运算，常采用方程思想解决；与数列有关的最值问题，常先建立有关变量的函数，再用函数的观点给予解决．‎ ‎3．立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．‎ ‎4．解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．‎ ‎■对点即时训练·‎ ‎1．已知正四棱锥SABCD中，SA＝2 ‎，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为(　　)‎ A．1　　　　　　　　 B． C．2 D．3‎ C　[设正四棱锥SABCD的底面边长为a(a＞0)，则高h＝＝，所以体积V＝a2h＝.设y＝12a4－a6(a＞0)，则y′＝48a3－3a5.令y′＞0，得0＜a＜4；令y′＜0，得a＞4.故函数y在(0,4]上单调递增，在[4，＋∞)上单调递减．可知当a＝4时，y取得最大值，即体积V取得最大值，此时h＝＝2，故选C．]‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)‎ A．16 B．14‎ C．12 D．10‎ A　[因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0)．‎ 由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－(x－1)．‎ 由 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，‎ 所以|AB|＝·|x1－x2|‎ ‎＝· ‎＝·＝.‎ 同理可得|DE|＝4(1＋k2)．‎ 所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)‎ ‎＝4＝8＋4≥8＋4×2＝16，‎ 当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得等号．‎ 故选A．]‎ ‎2.数形结合思想 ‎(对应学生用书第83页)‎ 以形助数(数题形解)‎ 以数辅形(形题数解)‎ ‎　　借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想.‎ ‎　　借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想.‎ ‎　　数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.‎ ‎【例2】　(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)‎ A．[－1,0)　　　　　 B．[0，＋∞)‎ C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)‎ ‎(2)(2018·浙江高考)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)‎ A．－1 B．＋1‎ C．2 D．2－ ‎(1)C　(2)A　[(1)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x ‎)＝－x－a有2个不同的实数根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C．‎ ‎(2)设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1,0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x＞0)上，如图，‎ 数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1.‎ 故选A．]‎ ‎[方法归纳]　数形结合思想的应用 ‎1．讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题. ‎ ‎2．应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．‎ ‎■对点即时训练·‎ ‎1．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0] B．(－∞，1]‎ C．[－2,1] D．[－2,0]‎ D　[先画出函数的图象，数形结合求解．‎ 作出函数y＝|f(x)|的图象，如图，当|f(x)|≥ax时，必有k≤a≤0，其中k是y＝x2－2x(x≤0)在原点处的切线斜率，显然，k＝－2.∴a的取值范围是[－2,0]．]‎ ‎2．(2017·北京高考)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．‎ 　[依题意，x2＋y2可视为原点到线段x＋y－1＝0(x≥0，y≥0)上的点的距离的平方，如图所示，‎ 故(x2＋y2)min＝2＝，(x2＋y2)max＝|OA|2＝|OB|2＝1，故x2＋y2∈.]‎ ‎3．分类与整合思想 ‎(对应学生用书第83页)‎ ‎　　分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.‎ ‎【例3】　(1)(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)‎ A．(0,1]∪[9，＋∞)　　 B．(0，]∪[9，＋∞)‎ C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)‎ ‎(2)(2018·山西高考适应性测试)已知函数f(x)＝x2－(2m＋1)x＋ln x(m∈R)．‎ ‎①当m＝－时，若函数g(x)＝f(x)＋(a－1)ln x恰有一个零点，求a的取值范围；‎ ‎②当x＞1时，f(x)＜(1－m)x2恒成立，求m的取值范围．‎ ‎(1)A　[易知当点M是椭圆C短轴的端点时∠AMB最大．‎ ‎①当椭圆焦点在x轴，即03时，‎ 由≥tan，得≥tan 60°，解得m≥9.‎ 综上，m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．]‎ ‎(2)[解]　①函数g(x)的定义域为(0，＋∞)．‎ 当m＝－时，g(x)＝aln x＋x2，所以g′(x)＝＋2x＝.‎ ‎(ⅰ)当a＝0时，g(x)＝x2，在x∈(0，＋∞)上，g(x)＝0无解．∴x＞0时无零点，即a≠0.‎ ‎(ⅱ)当a＞0时，g′(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，取x0＝e，则g＝－1＋＜0，‎ 因为g(1)＝1，所以g(x0)·g(1)＜0，此时函数g(x)恰有一个零点，即a＞0.‎ ‎(ⅲ)当a＜0时，令g′(x)＝0，‎ 解得x＝.‎ 当0＜x＜时， g′(x)＜0，所以g(x)在上单调递减；‎ 当x＞时，g′(x)＞0，所以g(x)在上单调递增．‎ 要使函数g(x)有一个零点，则g＝aln－＝0，即a＝－2e.‎ 综上所述，若函数g(x)恰有一个零点，则a＝－2e或a＞0.‎ ‎②令h(x)＝f(x)－(1－m)x2＝mx2－(2m＋1)x＋ln x，根据题意，当x∈(1，＋∞‎ ‎)时，h(x)＜0恒成立．‎ 又h′(x)＝2mx－(2m＋1)＋＝.‎ ‎(ⅰ)若0＜m＜，则x∈时，h′(x)＞0恒成立，所以h(x)在上是增函数，且h(x)∈，所以不符题意．‎ ‎(ⅱ)若m≥，则x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0恒成立，所以h(x)在(1，＋∞)上是增函数，且h(x)∈(h(1)，＋∞)，所以不符题意．‎ ‎(ⅲ)若m≤0，则x∈(1，＋∞)时，恒有h′(x)＜0，故h(x)在(1，＋∞)上是减函数，于是“h(x)＜0对任意x∈(1，＋∞)都成立”的充要条件是h(1)≤0，即m－(2m＋1)≤0，解得m≥－1，‎ 故－1≤m≤0.‎ 综上，m的取值范围是[－1,0]．‎ ‎[方法归纳]　分类讨论思想在解题中的应用 ‎1．由部分定理、公式、性质分类给出的，在不同的条件下结论不同，如等比数列的前n项和公式、指数函数(对数函数)的单调性等．‎ ‎2．含有参数的问题，主要包括：(1)含有参数的不等式的求解；(2)含有参数的方程的求解；(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题；(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，分类要合理、要不重不漏、要符合最简原则．‎ ‎3．涉及几何问题时，由于几何图形的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．‎ ‎■对点即时训练·‎ ‎1．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.‎ ‎－　[当a＞1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为增函数，由题意得无解．当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为减函数，由题意得解得 所以a＋b＝－.]‎ ‎2．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且A＝2B，b≠c，若a2＋c2＝b2＋2acsin C，则A＝________.‎ 　[∵a2＋c2＝b2＋2acsin C，‎ ‎∴＝sin C．‎ 由余弦定理得cos B＝sin C，‎ ‎∵0＜B＜π，0＜C＜π，‎ ‎∴C＝－B或C＝＋B.‎ ‎①当C＝－B时，由A＝2B且A＋B＋C＝π，‎ 得A＝，B＝C＝，这与“b≠c”矛盾．‎ ‎∴A≠.‎ ‎②当C＝＋B时，‎ 由A＝2B且A＋B＋C＝π，‎ 得B＝，C＝π，A＝.]‎ ‎4.转化与化归思想 ‎(对应学生用书第84页)‎ ‎　　转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.‎ ‎【例4】　(1)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则的最小值是(　　)‎ A．　　　　　 B． C． D． ‎(2)已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________．‎ ‎(1)B　(2)　[(1)如图，作PH⊥l于H，由抛物线的定义可知，|PH|＝|PF|，从而求的最小值即求的最小值，此时∠PAH最小，即∠PAF最大，即直线PA的斜率最大．此时直线PA与抛物线y2＝4x相切，由直线与抛物线的关系可知∠PAF＝45°，所以＝＝sin 45°＝.‎ ‎(2)由题意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5，‎ 令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.‎ 对－1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，‎ 所以 即 解得－