数学北师大版（2019）必修第二册：6-3-2 刻画空间点、线、面位置关系的公理（基本事实4、定理） 学案与作业 12页

3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实 4、 定理) (15 分钟 30 分) 1.如图所示,在三棱锥 S-MNP 中,E,F,G,H 分别是棱 SN,SP,MN,MP 的中点, 则 EF 与 HG 的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 【解析】选 A.因为 E,F 分别是 SN 和 SP 的中点, 所以 EF∥PN.同理可证 HG∥PN, 所以 EF∥HG. 2.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB= BB1,则 AB1 与 BC1 所成的角的大小 是( ) A.60° B.75° C.90° D.105° 【解析】选 C.设 BB1=1, 如图,延长 CC1 至 C2,使 C1C2=CC1=1, 连接 B1C2,则 B1C2∥BC1, 所以∠AB1C2 为 AB1 与 BC1 所成的角(或其补角), 连接 AC2, 因为 AB1= ,B1C2= ,AC2= , 所以 A =A +B1 ,则∠AB1C2=90°. 3.已知直线 a,b,c,下列三个命题: ①若 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 异面; ②若 a∥b,a 和 c 相交,则 b 和 c 也相交; ③若 a⊥b,a⊥c,则 b∥c. 其中,正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选 A.①不正确如图;②不正确,有可能相交也有可能异面;③不 正确,可能平行,可能相交也可能异面. 4. 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中 ,E,F 分 别 是 AB,AC 上 的 点 , 且 AE∶EB=AF∶FC,则 EF 与 B1C1 的位置关系是________. 【解析】在△ABC 中,因为 AE∶EB=AF∶FC,所以 EF∥BC. 又在三棱柱 ABC-A1B1C1 中 BC∥B1C1, 所以 EF∥B1C1. 答案:平行 5.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,H 分别为棱 C1D1,C1C,DD1 的中点, 有以下四个结论: ①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线;④∠DAH=∠CBN. 其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论的序号都填 上). 【解析】因为 A,M,C,C1 四点不共面, 所以直线 AM 与 CC1 是异面直线,故①错误; 同理,直线 AM 与 BN 也是异面直线,故②错误; 同理,直线 BN 与 MB1 是异面直线,故③正确; 易得∠DAH=∠CBN,故④正确. 答案:③④ 6.如图所示,在正方体 ABCD-EFGH 中,O 为侧面 ADHE 的中心,求: (1)BE 与 CG 所成的角; (2)FO 与 BD 所成的角. 【解析】(1)因为 CG∥BF, 所以∠EBF(或其补角)为异面直线 BE 与 CG 所成的角, 又在△BEF 中,∠EBF=45°, 所以 BE 与 CG 所成的角为 45°. (2)如图,连接 FH, 因为 HD∥EA,EA∥FB,所以 HD∥FB, 又 HD=FB,所以四边形 HFBD 为平行四边形. 所以 HF∥BD, 所以∠HFO(或其补角)为异面直线 FO 与 BD 所成的角. 连接 HA,AF,易得 FH=HA=AF, 所以△AFH 为等边三角形, 又知 O 为 AH 的中点, 所以∠HFO=30°,即 FO 与 BD 所成的角为 30°. (30 分钟 60 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 20 分) 1.在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,E,F 分别是侧面 AA1D1D,侧面 CC1D1D 的中 心,G,H 分别是线段 AB,BC 的中点,则直线 EF 与直线 GH 的位置关系是 ( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 【解析】选 C.如图,连接 AD1,CD1,AC, 则 E,F 分别为 AD1,CD1 的中点. 由三角形的中位线定理,知 EF∥AC,GH∥AC, 所以 EF∥GH. 2.已知在空间四边形 ABCD 中 M,N 分别是 AB,CD 的中点,且 AC=4,BD=6, 则( ) A.1FG,所以四边形 EFGH 为梯形. 关闭 Word 文档返回原板块