数学文卷·2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考（2017 12页

‎2017学年高三文科9月月考数学卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 一、选择题（每小题5分共60分）‎ ‎1．下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．若复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（ ）‎ A. 所有实数的平方都不是正数 B. 有的实数的平方是正数 C. 至少有一个实数的平方是正数 D. 至少有一个实数的平方不是正数 ‎4．若满足约束条件，则的最大值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm3‎ A. B.C. D. ‎ ‎6．定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则的值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．已知，则的最小值为 ( )‎ A. 4 B. 8 C. 9 D. 6‎ ‎8．若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知单位向量满足，则与的夹角是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．设的内角的对边分别是， ， ， ，若是的中点，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．若双曲线的左支与圆相交于两点， 的右焦点为，且为正三角形，则双曲线的离心率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．若曲线上两个不同的点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，则下列方程对应的曲线中存在自公切线的为（ ）‎ ‎①； ②； ③； ④.‎ A. ②③ B. ①② C. ①②④ D. ①②③‎ 二、填空题（每小题5分共20分）‎ ‎13．函数的最小正周期为_____________.‎ ‎14．若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝________． ‎ ‎15．设是圆上任意一点，定点，则的概率是__________．‎ ‎16．已知函数，，，记函数，则函数所有零点的和为____________.‎ 三、解答题 ‎17．已知递增的等比数列和等差数列，满足， 是和的等差中项，且.（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和.（本题12分）‎ ‎18．在如图所示的正方体中，‎ ‎（1）过点C作与面平行的截面；（2）求证： ‎ ‎（3）若正方体的棱长为2，求四面体的体积。（本题12分）‎ ‎19．某班20名同学某次数学测试的成绩可绘制成如下茎叶图，由于其中部分数据缺失，故打算根据茎叶图中的数据估计全班同学的平均成绩.‎ ‎(1)完成频率分布直方图；‎ ‎(2)根据(1)中的频率分布直方图估计全班同学的平均成绩 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；‎ ‎(3)设根据茎叶图计算出的全班的平均成绩为，并假设，且各自取得每一个可能值的机会相等，在(2)的条件下，求概率.（12分）‎ ‎20．已知椭圆经过点， 的四个顶点构成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程；‎ ‎(2) 为椭圆上的两个动点，是否存在这样的直线，使其满足：①直线的斜率与直线的斜率互为相反数；②线段的中点在直线上，若存在，求出直线和的方程；若不存在，请说明理由. （本题12分）‎ ‎21．设函数.‎ ‎（Ⅰ）当曲线在点处的切线与直线垂直时，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围. （本题12分）‎ ‎22．选修4—4：极坐标与参数方程 已知直线l：，曲线C：‎ ‎（Ⅰ）当m＝3时，判断直线l与曲线C的位置关系； ‎ ‎（Ⅱ）若曲线C上存在到直线l的距离等于的点，求实数m的范围．（本题10分）‎ 参考答案 ‎1．A ‎2．C【解析】试题分析： ，故选C.‎ ‎3．D ‎4．C【解析】由约束条件，作出可行域如图，‎ 由，得A（0，1）‎ 化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，‎ 由图可知，当直线y=﹣x+z过A（0，1）时，目标函数有最大值，为z=1+0=1．‎ 故选：C．‎ ‎5．D【解析】试题分析：由三视图还原原几何体如图， 是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体， 半圆柱的底面半径为，高为；直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为），高为．∴‎ ‎．故本题选D.‎ ‎6．B【解析】由程序框图可得， ‎ 故选B.‎ ‎7．B【解析】=,当且仅当成立时，等号成立，即。选B.‎ ‎8．C ‎【解析】‎ ‎9．D【解析】∵单位向量满足,∴⊥，‎ 则与的夹角是α=π−=，‎ ‎10．B【解析】由， ，易得： ，所以为等腰三角形，且BA=BC=1‎ 在△ACD中， ，即 ‎11．A【解析】设左焦点为,易得： ， ，根据双曲线定义有： ，即.‎ ‎12．B【解析】①. ,在和处的切线都是，故有自公切线；②. ，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线，③. 为对勾函数，分别位于一三象限,图象关于原点对称且导数为，在递增， 递减，存在平行的切线，不存在自公切线；④. 由于，即，结合图象可得，此曲线没有自公切线，故选B. ‎ ‎13．‎ ‎14．【解析】因为，所以曲线在点处的切线为的斜率为故切线为的方程为： ，又坐标原点在直线上，所以 ‎，即m=0‎ ‎15．【解析】设点坐标为， ‎ 易得： ， ， ，故活动区域是圆O周长的，‎ 的概率是.‎ ‎16．5【解析】∵函数，，关于直线y=x对称，‎ 记函数 ，，‎ ‎∴可知h(x)关于直线y=x对称。‎ ‎∵y=x与y=5−x,交点为A(2.5,2.5)‎ ‎∴y=5−x,与函数h(x)交点关于A对称，‎ ‎，‎ ‎∴函数F(x)=h(x)+x−5的零点。‎ 设h(x)与y=5−x交点问题,可以解决函数F(x)=h(x)+x−5零点问题。‎ 绘制函数图像，观察可得函数F(x)=h(x)+x−5所有零点的和为5.‎ 故答案为：5.‎ ‎17．(1) ,;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用等差数列等比数列基本公式求通项；（2）利用裂项相消法求和.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意知， ，解得，设等比数列的公比为，∴，∴；由题意知， ，则等差数列的公差,∴.‎ ‎（Ⅱ）∵，∴‎ ‎ .‎ ‎18．（1）见解析；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由平行的性质即可得解；‎ ‎（2）易证得， 即可证明线面垂直；‎ ‎（3）由（2）知，设垂足为O,由等积法知即可求解.‎ 试题解析：‎ ‎(1)见下图 ‎ ‎(2)证明： 正方体， 又有,,‎ 同理,而, 。‎ ‎(3)法一（直接计算）由（2）知，设垂足为O,由等积法知 ‎ 法二：（间接计算）用正方体体积减去四个角落的体积 ‎19．(1) ;(2) 78分；（3）0.7.‎ ‎【解析】试题分析：(1)利用茎叶图提供的数据完成频率分布直方图；（2）；（3）‎ ‎.‎ 试题解析：‎ ‎(1)频率分布直方图如下：‎ ‎(2) ，‎ 即全班同学平均成绩可估计为78分.‎ ‎(3) ，‎ 故.‎ ‎20．(1) ;(2) 直线的方程分别为， 或， .‎ 试题解析：(1)由已知得，‎ 解得，∴椭圆的方程.‎ ‎(2)设直线的方程为，代入，得 ‎.(*)‎ 设， ，且是方程(*)的根，‎ ‎∴，用代替上式中的，可得，‎ 故中点横坐标为，解得，‎ ‎∴直线的方程分别为， 或， .‎ ‎21．(1) ;(2) .‎ ‎（Ⅰ）由题意知，函数的定义域为， ，∴，解得.（Ⅱ）若函数有两个零点，则方程恰有两个不相等的正实根，即方程恰有两个不相等的正实根.设函数，∴ .‎ 当时， 恒成立，则函数在上是增函数，∴函数最多一个零点，不合题意，舍去；当时，令，解得，令，解得，则函数在内单调递减，在上单调递增.易知时， 恒成立，要使函数有2个正零点，则的最小值，即，即，∵，∴，解得，即实数的取值范围为.‎ ‎22．（1）见解析（2）‎ ‎ （2）曲线C上存在到直线l的距离等于的点,可得圆心C到直线l的距离，解出m即可.‎ 试题解析:解：（Ⅰ）当时，直线：，展开可得：‎ ‎，‎ 化为直角坐标方程： ， ‎ 曲线C：，利用平方关系化为：． ‎ 圆心到直线的距离， 因此直线与曲线相切． ‎ ‎（Ⅱ）∵ 曲线上存在到直线的距离等于的点，∴ 圆心到直线的距离， 解得．∴实数的范围是．‎