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  • 2021-06-11 发布

高中数学必修4同步练习:第三章 三角恒等变换(B)

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必修四 第三章 三角恒等变换(B)‎ 一、选择题 ‎1、若cos =,sin =-,则角θ的终边所在的直线方程为(  )‎ A.7x+24y=0 B.7x-24y=0‎ C.24x+7y=0 D.24x-7y=0‎ ‎2、sin 15°cos 75°+cos 15°sin 105°等于(  )‎ A.0 B. C. D.1‎ ‎3、若函数f(x)=sin2x-(x∈R),则f(x)是(  )‎ A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为2π的偶函数 D.最小正周期为π的偶函数 ‎4、已知α∈(,π),sin α=,则tan(α+)等于(  )‎ A. B.‎7 C.- D.-7‎ ‎5、函数f(x)=sin x-cos x(x∈[-π,0])的单调递增区间是(  )‎ A.[-π,-] B.[-,-]‎ C.[-,0] D.[-,0]‎ ‎6、化简:的结果为(  )‎ A.1 B. C. D.tan θ ‎7、若f(sin x)=3-cos 2x,则f(cos x)等于(  )‎ A.3-cos 2x B.3-sin 2x C.3+cos 2x D.3+sin 2x ‎8、若函数f(x)=sin(x+)+asin(x-)的一条对称轴方程为x=,则a等于(  )‎ A.1 B. C.2 D.3‎ ‎9、函数y=sin 2x+sin2x,x∈R的值域是(  )‎ A.[-,] B.[-+,+]‎ C.[-,] D.[--,-]‎ ‎10、已知3cos(2α+β)+5cos β=0,则tan(α+β)tan α的值为(  )‎ A.±4 B.‎4 C.-4 D.1‎ ‎11、使奇函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)在[-,0]上为减函数的θ的值为(  )‎ A.- B.- C. D. ‎12、若3sin θ=cos θ,则cos 2θ+sin 2θ的值等于(  )‎ A.- B. C.- D. 二、填空题 ‎13、函数f(x)=sin2(2x-)的最小正周期是______.‎ ‎14、已知sin αcos β=1,则sin(α-β)=________.‎ ‎15、若0<α<<β<π,且cos β=-,sin(α+β)=,则cos α=________.‎ ‎16、函数y=sin(x+10°)+cos(x+40°),(x∈R)的最大值是________.‎ 三、解答题 ‎17、已知向量m=(-1,cos ωx+sin ωx),n=(f(x),cos ωx),其中ω>0,且m⊥n,又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴的间距为.‎ ‎(1)求ω的值;‎ ‎(2)设α是第一象限角,且f(α+)=,求的值.‎ ‎18、已知函数f(x)=sin 2xsin φ+cos2xcos φ-sin(+φ)(0<φ<π),其图象过点(,).‎ ‎(1)求φ的值;‎ ‎(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在[0,]上的最大值和最小值.‎ ‎19、已知sin(α+)=-,α∈(0,π).‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求cos(2α-)的值.‎ ‎20、已知函数f(x)=2cos xsin x+2cos2x-.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值;‎ ‎(3)求函数f(x)的单调增区间.‎ ‎21、已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,-sin ),且x∈[-,].‎ ‎(1)求a·b及|a+b|;‎ ‎(2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.‎ ‎22、已知△ABC的内角B满足2cos 2B-8cos B+5=0,若=a,=b且a,b满足:a·b=-9,|a|=3,|b|=5,θ为a,b的夹角.‎ ‎(1)求角B;‎ ‎(2)求sin(B+θ).‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D [cos =,sin =-,tan =-,∴tan θ===.‎ ‎∴角θ的终边在直线24x-7y=0上.]‎ ‎2、D [原式=sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°=sin 90°=1.]‎ ‎3、D [f(x)=sin2x-=(2sin2x-1)=-cos 2x,‎ ‎∴T==π,f(x)为偶函数.]‎ ‎4、A [∵α∈(,π),sin α=,∴cos α=-,‎ tan α==-.∴tan(α+)===.]‎ ‎5、D [f(x)=sin x-cos x=2sin(x-).‎ 令2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z),‎ 得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),‎ 令k=0得-≤x≤.‎ 由此可得[-,0]符合题意.]‎ ‎6、B [原式===sin 60°=.]‎ ‎7、C [f(sin x)=3-(1-2sin2x)=2+2sin2x,‎ ‎∴f(x)=2x2+2,‎ ‎∴f(cos x)=2cos2x+2=1+cos 2x+2=3+cos 2x.]‎ ‎8、B [f(x)=sin(x+)-asin(-x)=sin(x+)-acos(+x)=sin(x+-φ)‎ ‎∴f()=sin +asin =a+=.‎ 解得a=.]‎ ‎9、B [y=sin 2x+sin2x=sin 2x+=sin 2x-cos 2x+=sin(2x-)+,‎ ‎∵x∈R,‎ ‎∴-1≤sin(2x-)≤1,‎ ‎∴y∈[-+,+].‎ ‎10、C [3cos(2α+β)+5cos β ‎=3cos(α+β)cos α-3sin(α+β)sin α+5cos(α+β)cos α+5sin(α+β)sin α=0,‎ ‎∴2sin(α+β)sin α=-8cos(α+β)cos α,‎ ‎∴tan(α+β)tan α=-4.]‎ ‎11、D [∵f(x)为奇函数,∴f(0)=sin θ+cos θ=0.‎ ‎∴tan θ=-.∴θ=kπ-,(k∈Z).‎ ‎∴f(x)=2sin(2x+θ+)=±2sin 2x.‎ ‎∵f(x)在[-,0]上为减函数,‎ ‎∴f(x)=-2sin 2x,∴θ=.]‎ ‎12、B [∵3sin θ=cos θ,∴tan θ=.‎ cos 2θ+sin 2θ=cos2θ-sin2θ+2sin θcos θ= ‎===.]‎ 二、填空题 ‎13、 解析 ∵f(x)=[1-cos(4x-)]=-sin 4x ∴T==.‎ ‎14、1‎ 解析 ∵sin αcos β=1,‎ ‎∴sin α=cos β=1,或sin α=cos β=-1,‎ ‎∴cos α=sin β=0.‎ ‎∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=sin αcos β=1.‎ ‎15、 解析 cos β=-,sin β=,‎ sin(α+β)=,cos(α+β)=-,‎ 故cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=(-)×(-)+×=.‎ ‎16、1‎ 解析 令x+10°=α,则x+40°=α+30°,‎ ‎∴y=sin α+cos(α+30°)‎ ‎=sin α+cos αcos 30°-sin αsin 30°‎ ‎=sin α+cos α ‎=sin(α+60°).‎ ‎∴ymax=1.‎ 三、解答题 ‎17、解 (1)由题意,得m·n=0,所以 f(x)=cos ωx·(cos ωx+sin ωx)=+=sin(2ωx+)+.‎ 根据题意知,函数f(x)的最小正周期为3π.‎ 又ω>0,所以ω=.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=sin(+)+,‎ 所以f(α+)=sin(α+)+=cos α+=.‎ 解得cos α=.‎ 因为α是第一象限角,故sin α=.‎ 所以====-.‎ ‎18、解 (1)因为f(x)=sin 2xsin φ+cos2xcos φ-sin(+φ)(0<φ<π),‎ 所以f(x)=sin 2xsin φ+cos φ-cos φ ‎=sin 2xsin φ+cos 2xcos φ ‎=(sin 2xsin φ+cos 2xcos φ)‎ ‎=cos(2x-φ).‎ 又函数图象过点(,),‎ 所以=cos(2×-φ),‎ 即cos(-φ)=1,‎ 又0<φ<π,所以φ=.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=cos(2x-),将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,可知g(x)=f(2x)=cos(4x-),‎ 因为x∈[0,],所以4x∈[0,π],‎ 因此4x-∈[-,],‎ 故-≤cos(4x-)≤1.‎ 所以y=g(x)在[0,]上的最大值和最小值分别为和-.‎ ‎19、解 (1)sin(α+)=-,α∈(0,π)⇒cos α=-,α∈(0,π)⇒sin α=.‎ ==-.‎ ‎(2)∵cos α=-,sin α=⇒sin 2α=-,cos 2α=-.‎ cos(2α-)=-cos 2α+sin 2α=-.‎ ‎20、解 (1)原式=sin 2x+cos 2x=2(sin 2x+cos 2x)=2(sin 2xcos +cos 2xsin )‎ ‎=2sin(2x+).‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)当2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)有最大值为2.‎ 当2x+=2kπ-,即x=kπ-(k∈Z)时,f(x)有最小值为-2.‎ ‎(3)要使f(x)递增,必须使2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),‎ 解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).‎ ‎∴函数f(x)的递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).‎ ‎21、解 (1)a·b=cos cos -sin sin =cos 2x,‎ ‎|a+b|===2|cos x|,‎ ‎∵x∈[-,],∴cos x>0,‎ ‎∴|a+b|=2cos x.‎ ‎(2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1=2(cos x-)2-.‎ ‎∵x∈[-,].∴≤cos x≤1,‎ ‎∴当cos x=时,f(x)取得最小值-;当cos x=1时,f(x)取得最大值-1.‎ ‎22、解 (1)2(2cos2B-1)-8cos B+5=0,即4cos2B-8cos B+3=0,得cos B=.‎ 又B为△ABC的内角,∴B=60°.‎ ‎(2)∵cos θ==-,∴sin θ=.∴sin(B+θ)=sin Bcos θ+cos Bsin θ=.‎

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