高中数学必修4同步练习：第三章　三角恒等变换(B) 8页

必修四 第三章　三角恒等变换(B)‎ 一、选择题 ‎1、若cos ＝，sin ＝－，则角θ的终边所在的直线方程为(　　)‎ A．7x＋24y＝0 B．7x－24y＝0‎ C．24x＋7y＝0 D．24x－7y＝0‎ ‎2、sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于(　　)‎ A．0 B. C. D．1‎ ‎3、若函数f(x)＝sin2x－(x∈R)，则f(x)是(　　)‎ A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为π的偶函数 ‎4、已知α∈(，π)，sin α＝，则tan(α＋)等于(　　)‎ A. B．‎7 C．－ D．－7‎ ‎5、函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　)‎ A．[－π，－] B．[－，－]‎ C．[－，0] D．[－，0]‎ ‎6、化简：的结果为(　　)‎ A．1 B. C. D．tan θ ‎7、若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)等于(　　)‎ A．3－cos 2x B．3－sin 2x C．3＋cos 2x D．3＋sin 2x ‎8、若函数f(x)＝sin(x＋)＋asin(x－)的一条对称轴方程为x＝，则a等于(　　)‎ A．1 B. C．2 D．3‎ ‎9、函数y＝sin 2x＋sin2x，x∈R的值域是(　　)‎ A．[－，] B．[－＋，＋]‎ C．[－，] D．[－－，－]‎ ‎10、已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为(　　)‎ A．±4 B．‎4 C．－4 D．1‎ ‎11、使奇函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)在[－，0]上为减函数的θ的值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎12、若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 二、填空题 ‎13、函数f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是______．‎ ‎14、已知sin αcos β＝1，则sin(α－β)＝________.‎ ‎15、若0<α<<β<π，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，则cos α＝________.‎ ‎16、函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．‎ 三、解答题 ‎17、已知向量m＝(－1，cos ωx＋sin ωx)，n＝(f(x)，cos ωx)，其中ω>0，且m⊥n，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴的间距为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)设α是第一象限角，且f(α＋)＝，求的值．‎ ‎18、已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(，)．‎ ‎(1)求φ的值；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值．‎ ‎19、已知sin(α＋)＝－，α∈(0，π)．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求cos(2α－)的值．‎ ‎20、已知函数f(x)＝2cos xsin x＋2cos2x－.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值；‎ ‎(3)求函数f(x)的单调增区间．‎ ‎21、已知向量a＝(cos ，sin )，b＝(cos ，－sin )，且x∈[－，]．‎ ‎(1)求a·b及|a＋b|；‎ ‎(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．‎ ‎22、已知△ABC的内角B满足2cos 2B－8cos B＋5＝0，若＝a，＝b且a，b满足：a·b＝－9，|a|＝3，|b|＝5，θ为a，b的夹角．‎ ‎(1)求角B；‎ ‎(2)求sin(B＋θ)．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D　[cos ＝，sin ＝－，tan ＝－，∴tan θ＝＝＝.‎ ‎∴角θ的终边在直线24x－7y＝0上．]‎ ‎2、D　[原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.]‎ ‎3、D　[f(x)＝sin2x－＝(2sin2x－1)＝－cos 2x，‎ ‎∴T＝＝π，f(x)为偶函数．]‎ ‎4、A　[∵α∈(，π)，sin α＝，∴cos α＝－，‎ tan α＝＝－.∴tan(α＋)＝＝＝.]‎ ‎5、D　[f(x)＝sin x－cos x＝2sin(x－)．‎ 令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 令k＝0得－≤x≤.‎ 由此可得[－，0]符合题意．]‎ ‎6、B　[原式＝＝＝sin 60°＝.]‎ ‎7、C　[f(sin x)＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x，‎ ‎∴f(x)＝2x2＋2，‎ ‎∴f(cos x)＝2cos2x＋2＝1＋cos 2x＋2＝3＋cos 2x.]‎ ‎8、B　[f(x)＝sin(x＋)－asin(－x)＝sin(x＋)－acos(＋x)＝sin(x＋－φ)‎ ‎∴f()＝sin ＋asin ＝a＋＝.‎ 解得a＝.]‎ ‎9、B　[y＝sin 2x＋sin2x＝sin 2x＋＝sin 2x－cos 2x＋＝sin(2x－)＋，‎ ‎∵x∈R，‎ ‎∴－1≤sin(2x－)≤1，‎ ‎∴y∈[－＋，＋]．‎ ‎10、C　[3cos(2α＋β)＋5cos β ‎＝3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0，‎ ‎∴2sin(α＋β)sin α＝－8cos(α＋β)cos α，‎ ‎∴tan(α＋β)tan α＝－4.]‎ ‎11、D　[∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝sin θ＋cos θ＝0.‎ ‎∴tan θ＝－.∴θ＝kπ－，(k∈Z)．‎ ‎∴f(x)＝2sin(2x＋θ＋)＝±2sin 2x.‎ ‎∵f(x)在[－，0]上为减函数，‎ ‎∴f(x)＝－2sin 2x，∴θ＝.]‎ ‎12、B　[∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝.‎ cos 2θ＋sin 2θ＝cos2θ－sin2θ＋2sin θcos θ＝ ‎＝＝＝.]‎ 二、填空题 ‎13、 解析　∵f(x)＝[1－cos(4x－)]＝－sin 4x ∴T＝＝.‎ ‎14、1‎ 解析　∵sin αcos β＝1，‎ ‎∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1，‎ ‎∴cos α＝sin β＝0.‎ ‎∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1.‎ ‎15、 解析　cos β＝－，sin β＝，‎ sin(α＋β)＝，cos(α＋β)＝－，‎ 故cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(－)×(－)＋×＝.‎ ‎16、1‎ 解析　令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°，‎ ‎∴y＝sin α＋cos(α＋30°)‎ ‎＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30°‎ ‎＝sin α＋cos α ‎＝sin(α＋60°)．‎ ‎∴ymax＝1.‎ 三、解答题 ‎17、解　(1)由题意，得m·n＝0，所以 f(x)＝cos ωx·(cos ωx＋sin ωx)＝＋＝sin(2ωx＋)＋.‎ 根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.‎ 又ω>0，所以ω＝.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin(＋)＋，‎ 所以f(α＋)＝sin(α＋)＋＝cos α＋＝.‎ 解得cos α＝.‎ 因为α是第一象限角，故sin α＝.‎ 所以＝＝＝＝－.‎ ‎18、解　(1)因为f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(＋φ)(0<φ<π)，‎ 所以f(x)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ ‎＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ ‎＝(sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ)‎ ‎＝cos(2x－φ)．‎ 又函数图象过点(，)，‎ 所以＝cos(2×－φ)，‎ 即cos(－φ)＝1，‎ 又0<φ<π，所以φ＝.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝cos(2x－)，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝cos(4x－)，‎ 因为x∈[0，]，所以4x∈[0，π]，‎ 因此4x－∈[－，]，‎ 故－≤cos(4x－)≤1.‎ 所以y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为和－.‎ ‎19、解　(1)sin(α＋)＝－，α∈(0，π)⇒cos α＝－，α∈(0，π)⇒sin α＝.‎ ＝＝－.‎ ‎(2)∵cos α＝－，sin α＝⇒sin 2α＝－，cos 2α＝－.‎ cos(2α－)＝－cos 2α＋sin 2α＝－.‎ ‎20、解　(1)原式＝sin 2x＋cos 2x＝2(sin 2x＋cos 2x)＝2(sin 2xcos ＋cos 2xsin )‎ ‎＝2sin(2x＋)．‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)有最大值为2.‎ 当2x＋＝2kπ－，即x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)有最小值为－2.‎ ‎(3)要使f(x)递增，必须使2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ ‎∴函数f(x)的递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．‎ ‎21、解　(1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x，‎ ‎|a＋b|＝＝＝2|cos x|，‎ ‎∵x∈[－，]，∴cos x>0，‎ ‎∴|a＋b|＝2cos x.‎ ‎(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1＝2(cos x－)2－.‎ ‎∵x∈[－，]．∴≤cos x≤1，‎ ‎∴当cos x＝时，f(x)取得最小值－；当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1.‎ ‎22、解　(1)2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0，即4cos2B－8cos B＋3＝0，得cos B＝.‎ 又B为△ABC的内角，∴B＝60°.‎ ‎(2)∵cos θ＝＝－，∴sin θ＝.∴sin(B＋θ)＝sin Bcos θ＋cos Bsin θ＝.‎