高考数学人教A版（理）一轮复习：第五篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算 7页

第1讲 平面向量的概念及其线性运算 A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．(2013·合肥检测)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么 (　　)．‎ A.＝ B.＝2 C.＝3 D．2＝ 解析　由2＋＋＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故＝.‎ 答案　A ‎2．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则 (　　)．‎ A．a－b＋c－d＝0 B．a－b－c＋d＝0‎ C．a＋b－c－d＝0 D．a＋b＋c＋d＝0‎ 解析　依题意，得＝，故＋＝0，即－＋－＝0，即有－＋－＝0，则a－b＋c－d＝0.选A.‎ 答案　A ‎3．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为 ‎ ‎(　　)．‎ A. B. C. D. 解析　由＋2＝3，得－＝2－2，即＝2，所以＝.故选A.‎ 答案　A ‎4．(2011·山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是 (　　)．‎ A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点 C．C、D可能同时在线段AB上 D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上 解析　若A成立，则λ＝，而＝0，不可能；同理B也不可能；若C成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，＋＞2，与已知矛盾；若C，D同时在线段AB的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，＋＜2，与已知矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确．‎ 答案　D 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．(2013·泰安模拟)设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．‎ 解析　∵＝＋＝2a－b，又A，B，D三点共线，‎ ‎∴存在实数λ，使＝λ.‎ 即∴p＝－1.‎ 答案　－1‎ ‎6.如图，在矩形ABCD中，||＝1，||＝2，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________.‎ 解析　根据向量的三角形法则有|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝4.‎ 答案　4‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎7．(12分)如图，在平行四边形OADB中，设＝a，＝b，＝，＝.试用a，b表示，及.‎ 解　由题意知，在平行四边形OADB中，＝＝＝(－)＝(a－b)＝a－b，‎ 则＝＋＝b＋a－b＝a＋b.‎ ＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b，‎ ＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.‎ ‎8．(13分)(1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．‎ ‎(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．‎ ‎(1)证明　因为＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，‎ 所以＝＋＝10e1＋15e2.‎ 又因为＝2e1＋3e2，得＝5，即∥，‎ 又因为，有公共点B，所以A，B，D三点共线．‎ ‎(2)解　D＝－＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，‎ ＝2e1＋ke2，‎ 若A，B，D共线，则∥D，‎ 设D＝λ，所以⇒k＝－8.‎ B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．(2013·济南一模)已知A，B，C 是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为三角形ABC的 (　　)．‎ A．AB边中线的中点 B．AB边中线的三等分点(非重心)‎ C．重心 D．AB边的中点 解析　设AB的中点为M，则＋＝，∴＝(＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．‎ 答案　B ‎2．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　设AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2.如图所示，故C，M，D三点共线，且＝，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为，选C.‎ 答案　C 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎3．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．‎ 解析　＋－2＝－＋－＝＋，‎ －＝＝－，∴|＋|＝|－|.‎ 故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．‎ 答案　直角三角形 ‎4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．‎ 解析　∵O是BC的中点，‎ ‎∴＝(＋)．‎ 又∵＝m，＝n，∴＝＋.‎ ‎∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，则m＋n＝2.‎ 答案　2‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎5．(12分)如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．‎ 解　∵＝－＝(－)＝(＋)＝，＝－＝＋λ，‎ 又∵＝，∴＋λ＝，‎ 即λ＝，∴λ＝.‎ ‎6．(13分)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．‎ ‎(1)求＋＋；‎ ‎(2)若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.‎ ‎(1)解　∵＋＝2，又2＝－，‎ ‎∴＋＋＝－＋＝0.‎ ‎(2)证明　显然＝(a＋b)．因为G是△ABO的重心，所以＝＝(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得∥，所以，有且只有一个实数λ，使＝λ.‎ 而＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，‎ ＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b，‎ 所以a＋b＝λ.‎ 又因为a，b不共线，所以 消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎