专题9-8+直线与圆锥曲线（测）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版） 6页

‎ ‎ 一、填空题 ‎1．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则＝______．‎ ‎【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，结合题意，由点差法得，＝－·＝－·＝－·＝－1，所以＝.‎ ‎2．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于______．‎ ‎【解析】依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴·＝－，同理，直线 l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－. ‎ ‎3．已知抛物线y2＝2px的焦点F与椭圆16x2＋25y2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则点A的横坐标为______．‎ ‎4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为______．‎ ‎【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵两点在抛物线上，‎ ‎∴ ‎①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，‎ 又线段AB的中点的纵坐标为2，∴y1＋y2＝4，‎ 又直线的斜率为1，∴＝1，∴2p＝4，p＝2，‎ ‎∴抛物线的准线方程为x＝－＝－1.‎ ‎5．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是______．‎ ‎【解析】∵y2＝4x，∴F(1,0)，准线l：x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1：y＝(x－1)，与y2＝4x联立，解得A(3,2)，∴AK＝4，∴S△AKF＝×4×2＝4.‎ ‎6．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是______．‎ ‎7．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】c＝5，设过点F平行于一条渐近线的直线方程为y＝(x－5)，即4x－3y－20＝0，联立直线与双曲线方程，求得yB＝－，则S＝×(5－3)×＝.‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0，c)任作一条直线，与抛物线y＝x2相交于A，B两点，若·＝2，则c的值为________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设过点C的直线为y＝kx＋c(c>0)，代入y＝x2得x2＝kx＋c，即x2－kx－c＝0，设A(x1，y1)，‎ B(x2，y2)，则x1＋x2＝k，x1x2＝－c，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，因为·＝2，所以x1x2＋y1y2＝2，即x1x2＋(kx1＋c)(kx2＋c)＝2，即x1x2＋k2x1x2＋kc(x1＋x2)＋c2＝2，所以－c－k‎2c＋kc·k＋c2＝2，即c2－c－2＝0，所以c＝2或c＝－1(舍去)．‎ ‎9．中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为________．‎ ‎【答案】＋＝1‎ ‎【解析】由已知得c＝5，设椭圆的方程为＋＝1，联立得消去y得(‎10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数关系得x1＋x2＝，由题意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，所以该椭圆方程为＋＝1. ‎ ‎10．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·＝0，则k＝________.‎ ‎【答案】2‎ 二、解答题 ‎11．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2,0)，离心率为.过点F2的直线l(斜率不为0)与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．‎ ‎12．(2016·大连双基测试)已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于A，B两点，直线l2：x＝－2交x轴于点Q.‎ ‎(1)设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值；‎ ‎(2)点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点，·＝2，求抛物线C的方程．‎ ‎＝ ‎＝＝－2，‎ 故p＝，所以抛物线C的方程为y2＝x. ‎ ‎ ‎