数学（理）卷·2017届黑龙江省双鸭山市一中高三上学期期末考试（2017 10页

双鸭山市第一中学高三数学上期末考试题 （理） ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷共150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.设集合，则 ( ).‎ ‎ A B C D ‎ ‎2．复数 ( 为虚数单位) ，则 =（ ）‎ A B C D ‎ ‎3．平面向量，共线的充要条件是（ ）‎ ‎ A ，方向相同 B ，两向量中至少有一个为零向量 ‎ C ，使得 D 存在不全为零的实数，，‎ ‎4．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( ) ‎ A 3 B 4 C 5 D 6‎‎ ‎ ‎ ‎ ‎5.已知下列命题：‎ ‎①命题“ ＞3x”的否定是“ ＜3x”；‎ ‎②“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；‎ ‎③“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题.‎ ‎④已知p、q为两个命题，若“ ”为假命题，则 “ ”为 ‎ 真命题。 其中真命题的个数为（ ）‎ A 3个 B 2个 C 1个 D 0个 ‎6．已知数列{}满足，且，‎ 则的值是（ ）‎ A B C 5 D ‎ ‎7. —空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（ ）‎ ‎8. 设 为公比为q＞1的等比数列，若 和 是方程 的两根，则 ‎ + =（ ）‎ A 18 B 10 C 25 D 9‎ ‎9．已知 是实数，则函数 的图像可能是 ( )‎ A B C D ‎10.若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于（　　）‎ A B C D ‎ ‎11.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则的值为（ ）‎ ‎ A -1 B -2 C 2 D 1‎ ‎12.如图，、分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于、两点，若△是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）.‎ A B 2 C D ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)‎ ‎13.已知抛物线 的准线方程为 ，则实数a的值为 ‎ ‎14.已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 ‎ ‎15. 设向量＝(sin15°，cos15°)， ＝(cos15°，sin15°)，则向量+与-的夹角为 ‎ ‎16.已知点M（a,b）由确定的平面区域内运动，则动点N（a+b,a-b）所在平面区域的面积为_____‎ 三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）求f（x）的周期和及其图象的对称中心；‎ ‎（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．‎ ‎18. （本题满分12分）如图，三棱柱中，⊥平面，，，，D为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得⊥平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．‎ ‎19．（本题满分12分）某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数x之间的一组数据如下：‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ y ‎66‎ ‎69‎ ‎73‎ ‎81‎ ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ 已知：‎ ‎(1)求，；‎ ‎(2)纯利润y与每天销售件数x之间线性相关，求出线性回归方程．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎20．（本题满分12分）已知椭圆的右焦点为F（1,0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在直线交椭圆于P,Q两点，且使F为△PQM的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎21．（本题满分12分）已知函数[]‎ ‎（1）求函数的极值点；‎ ‎（2）若直线过点（0，—1），并且与曲线 相切，求直线的方程；‎ ‎（3）设函数其中，求函数在上的最小值.（其中 为自然对数的底数）‎ 四、选考题:（请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时请写清题号，满分10分.）‎ ‎22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程:‎ 在直角坐标系中，以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为 ，直线与曲线分别交于 ‎（1）写出曲线和直线的普通方程； ‎ ‎（2）若成等比数列, 求的值．‎ ‎23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲:‎ 已知函数 ‎（1）求不等式 的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ 高三学年数学答案2017. 1.4‎ 一．B C D B C B A A CB A D 二． 13 14 15.90° 16. 16 _‎ 三．17. 15．（本小题共13分）‎ ‎17．（12分）‎ 考点：‎ 三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）化简函数f（x）的解析式为 sin（+）+1，故f（x）的周期为4π，由，故f（x）图象的对称中心为．‎ ‎（2）利用正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，化简可得，从而得到 的范围，进而得到函数f（A）的取值范围．‎ 解答：‎ 解：（1）由，∴f（x）的周期为4π．‎ 由，故f（x）图象的对称中心为．‎ ‎（2）由（2a﹣c）cosB=bcosC，得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，‎ ‎∴2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，‎ ‎∴．∴，‎ 故函数f（A）的取值范围是．‎ 点评：‎ 本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）证明：连接，与相交于，连接．‎ ‎∵是矩形，∴是的中点．‎ 又是的中点，∴∥． ………2分 ‎∵平面，平面， ………3分 ‎∴∥平面． ………4分 ‎（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，， ………5分 设是平面的一个法向量，‎ 则即 令，则， ………7分 易知是平面的一个法向量， ………8分 ‎∴， ………9分 由题意知二面角为锐角，‎ ‎∴二面角的余弦值为． ………10分 ‎（Ⅲ）假设侧棱上存在一点 ()，使得平面．‎ 则，即∴． ………12分 ‎∴方程组无解．∴假设不成立．‎ ‎∴侧棱上不存在点，使⊥平面．‎ ‎19. 【解析】　(1)＝(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，‎ ＝(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86. 6分 ‎(2)根据已知x＝280，y＝45 309，‎ xiyi＝3 487， ‎ 利用已知数据可求得线性回归方程为＝4.75x＋51.36. 12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎ 解：（1）由△OMF是等腰直角三角形得b=1，a =‎ 故椭圆方程为……………………………………………………4分 ‎（2）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且使F为△PQM的垂心 设P（,）,Q（,）‎ 因为M（0,1），F（1,0），故，故直线l的斜率 于是设直线l的方程为 由得--------------------6分 由题意知△＞0，即＜3，且………8分 由题意应有，又 故 解得或 -------------------10分 ‎ 经检验，当时，△PQM不存在，故舍去；‎ ‎ 当时，所求直线满足题意 ‎ 综上，存在直线L，且直线L的方程为………………………12分 ‎21. 解：（1）＞0.……………………1分 ‎ 而＞0lnx+1＞0＞＜0＜00＜＜‎ ‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.……………3分 ‎ 所以是函数的极小值点，极大值点不存在.………………4分 ‎（2）设切点坐标为，则切线的斜率为 ‎ 所以切线的方程为……………………5分 ‎ 又切线过点，所以有 ‎ 解得 ‎ 所以直线的方程为…………………………………………7分 ‎ （3），则 ‎ ＜0＜00＜＜＞0＞‎ ‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.…………9分 ‎ ①当即时，在上单调递增，‎ 所以在上的最小值为 ‎②当1＜＜e，即1＜a＜2时， 在上单调递减，在上单调递增.‎ 在上的最小值为 ‎③当即时，在上单调递减，‎ 所以在上的最小值为[]‎ 综上，当时，的最小值为0；当1＜a＜2时，的最小值为；‎ 当时，的最小值为……………………………………12分 ‎22.解：（Ⅰ）. ……………..5分 ‎（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数）,‎ 代入, 得到， ………………7分 则有.‎ 因为，所以.‎ 解得 . ………………10分 ‎23 解：（Ⅰ）原不等式等价于 或 解之得.‎ 即不等式的解集为. ………………5分 ‎（Ⅱ）.‎ ‎，解此不等式得. ………………10分 ‎（本题利用图像法或几何意义法仍然可解，请酌情给分.）‎