2018届二轮复习（理）考前数学思想领航二、数形结合思想学案（全国通用）(1) 5页

二、数形结合思想 以形助数(数题形解)‎ 以数辅形(形题数解)‎ ‎　　借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想 ‎　　借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想 ‎　　数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合 方法一　函数图象数形沟通法 模型解法 函数图象数形沟通法，即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的沟通方法．破解此类题的关键点：‎ ‎①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题．‎ ‎②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象．‎ ‎③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化．‎ ‎④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．‎ 典例1　设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1；当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)>0.则函数y＝f(x)－sin x在[－3π，3π]上的零点个数为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．8‎ 解析　∵当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1，f(x)是最小正周期为2π的偶函数，‎ ‎∴当x∈[－3π，3π]时，0≤f(x)≤1.‎ ‎∵当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)>0，‎ ‎∴当x∈时，f(x)为单调减函数；‎ 当x∈时，f(x)为单调增函数，‎ ‎∵当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1，‎ 定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y＝sin x和y＝f(x ‎)的草图如图，‎ 由图知y＝f(x)－sin x在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C.‎ 答案　C 思维升华　由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．‎ 跟踪演练1　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解之和为(　　)‎ A．－7 B．－6‎ C．－3 D．－1‎ 答案　A 解析　因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝|cos πx|的图象，‎ 由图知关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的实数解有7个．不妨设7个解中x1