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- 2021-06-11 发布
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选修2-2 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
一、选择题
1.已知z1=a+bi,z2=c+di,若z1-z2是纯虚数,则有( )
A.a-c=0且b-d≠0
B.a-c=0且b+d≠0
C.a+c=0且b-d≠0
D.a+c=0且b+d≠0
[答案] A
[解析] z1-z2=(a+bi)-(c+di)
=(a-c)+(b-d)i,
∵z1-z2是纯虚数,
∴a-c=0且b-d≠0.
故应选A.
2.[(a-b)-(a+b)i]-[(a+b)-(a-b)i]等于( )
A.-2b-2bi
B.-2b+2bi
C.-2a-2bi
D.-2a-2ai
[答案] A
[解析] 原式=[(a-b)-(a+b)]+[-(a+b)+(a-b)]i=-2b-2bi.
3.如果一个复数与它的模的和为5+i,那么这个复数是( )
A.
B.i
C.+i
D.+2i
[答案] C
[解析] 设这个复数为a+bi(a,b∈R),
则|a+bi|=.
由题意知a+bi+=5+i
即a++bi=5+i
∴,解得a=,b=.
∴所求复数为+i.故应选C.
4.已知复数z1=3+2i,z2=1-3i,则复数z=z1-z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
[答案] A
[解析] ∵z1=3+2i,z2=1-3i,
∴z=z1-z2=3+2i-(1-3i)=(3-1)+(2+3)i=2+5i.
∴点Z位于复平面内的第一象限.故应选A.
5.▱ABCD中,点A,B,C分别对应复数4+i,3+4i,3-5i,则点D对应的复数是( )
A.2-3i
B.4+8i
C.4-8i
D.1+4i
[答案] C
[解析] 对应的复数为(3+4i)-(4+i)=(3-4)+(4-1)i=-1+3i,
设点D对应的复数为z,则对应的复数为(3-5i)-z.
由平行四边形法则知=,
∴-1+3i=(3-5i)-z,
∴z=(3-5i)-(-1+3i)=(3+1)+(-5-3)i=4-8i.故应选C.
6.已知z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i,其中m为实数,若z1-z2=0,则m的值为( )
A.4
B.-1
C.6
D.0
[答案] B
[解析] z1-z2=(m2-3m+m2i)-[4+(5m+6)i]
=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i=0
∴解得m=-1,故应选B.
7.已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=( )
A.-3i
B.3i
C.±3i
D.4i
[答案] B
[解析] 令z=a+bi(a,b∈R),则a2+b2=9 ①
又z+3i=a+(3+b)i是纯虚数
∴ ②
由①②得a=0,b=3,
∴z=3i,故应选B.
8.已知z1,z2∈C且|z1|=1,若z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是( )
A.6
B.5
C.4
D.3
[答案] C
[解析] 设z1=a+bi(a,b∈R,a2+b2=1)
z2=c+di(c,d∈R)
∵z1+z2=2i
∴(a+c)+(b+d)i=2i
∴∴,
∴|z1-z2|=|(a-c)+(b-d)i|=|2a+(2b-2)i|
==2
=2=2.
∵a2+b2=1,∴-1≤b≤1
∴0≤2-2b≤4,∴|z1-z2|≤4.
9.复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为( )
A.2
B.4
C.4
D.8
[答案] C
[解析] ∵|z-4i|=|z+2|,且z=x+yi
∴|x+(y-4)i|=|x+2+yi|
∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2
∴x=-2y+3,
∴2x+4y=2-2y+3+4y=8·+4y≥4.
10.若x∈C,则方程|x|=1+3i-x的解是( )
A.+i
B.x1=4,x2=-1
C.-4+3i
D.+i
[答案] C
[解析] 令x=a+bi(a,b∈R)
则=1+3i-a-bi
所以,解得
故原方程的解为-4+3i,故应选C.
二、填空题
11.若z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,x2,y1,y2∈R),则|z2-z1|=______________.
[答案]
[解析] ∵z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,
∴z2-z1=(x2-x1)+(y2-y1)i,
∴|z2-z1|=.
12.已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=4,则a+b=________.
[答案] 3
[解析] z1-z2=a+(a+1)i-[-3b+(b+2)i]=+[(a+1)-(b+2)i]
=+(a-b-1)i=4,
∴,解之得,
∴a+b=3.
13.计算:(2+7i)-|-3+4i|+|5-12i|i+3-4i=______.
[答案] 16i
[解析] 原式=2+7i-5+13i+3-4i
=(2-5+3)+(7+13-4)i=16i.
14.复平面内三点A、B、C,A点对应的复数为2+i,对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,则点C对应的复数为________.
[答案] 4-2i
[解析] ∵对应的复数是1+2i,
对应的复数为3-i,
∴对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.
又=+,
∴C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.
三、解答题
15.计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).
[解析] 解法1:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
=[(5-2)+(-6-1)i]-(3+4i)
=(3-7i)-(3+4i)
=(3-3)+(-7-4)i=-11i.
解法2:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
=(5-2-3)+[-6+(-1-4)]i
=0+(-11)i=-11i.
16.已知复数z1=2+3i,z2=a-2+i,若|z1-z2|<|z1|,求实数a的取值范围.
[解析] z1-z2=2+3i-[(a-2)+i]=[2-(a-2)]+(3-1)i=(4-a)+2i
由|z1-z2|<|z1|得
∴<,∴(4-a)2<9,∴1