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- 2021-06-11 发布
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第
1
讲 空间几何体的三视图、表面积和体积
高考定位
1.
三视图的识别和简单应用;
2.
简单几何体的表面积与体积计算,主要以选择题、填空题的形式呈现,在解答题中,有时与空间线、面位置证明相结合,面积与体积的计算作为其中的一问
.
1.
(2018·
全国
Ⅲ
卷
)
中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来
.
构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头
.
若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
(
)
真 题 感 悟
解析
由题意知,在咬合时带卯眼的木构件中,从俯视方向看,榫头看不见,所以是虚线,结合榫头的位置知选
A.
答案
A
答案
B
3.
(2018·
天津卷
)
已知正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
1
,除面
ABCD
外,该正方体其余各面的中心分别为点
E
,
F
,
G
,
H
,
M
(
如图
)
,则四棱锥
M
-
EFGH
的体积为
________.
4.
(2017·
全国
Ⅰ
卷
)
已知三棱锥
S
-
ABC
的所有顶点都在球
O
的球面上,
SC
是球
O
的直径
.
若平面
SCA
⊥
平面
SCB
,
SA
=
AC
,
SB
=
BC
,三棱锥
S
-
ABC
的体积为
9
,则球
O
的表面积为
________.
解析
如图,连接
OA
,
OB
,因为
SA
=
AC
,
SB
=
BC
,
SC
为球
O
的直径,所以
OA
⊥
SC
,
OB
⊥
SC
.
因为平面
SAC
⊥
平面
SBC
,平面
SAC
∩
平面
SBC
=
SC
,且
OA
⊂
平面
SAC
,所以
OA
⊥
平面
SBC
.
设球的半径为
r
,则
OA
=
OB
=
r
,
SC
=
2
r
,
答案
36π
1.
空间几何体的三视图
(1)
几何体的摆放位置不同,其三视图也不同,需要注意长对正、高平齐、宽相等
.
(2)
由三视图还原几何体:一般先从俯视图确定底面,再利用正视图与侧视图确定几何体
.
考 点 整 合
2.
空间几何体的两组常用公式
热点一 空间几何体的三视图与直观图
【例
1
】
(1)
(2018·
兰州模拟
)
中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为
“
堑堵
”.
已知某
“
堑堵
”
的正视图和俯视图如图所示,则该
“
堑堵
”
的侧视图的面积为
(
)
(2)
(2018·
全国
Ⅰ
卷
)
某圆柱的高为
2
,底面周长为
16
,其三视图如图
.
圆柱表面上的点
M
在正视图上的对应点为
A
,圆柱表面上的点
N
在左视图上的对应点为
B
,则在此圆柱侧面上,从
M
到
N
的路径中,最短路径的长度为
(
)
解析
(1)
在俯视图
Rt
△
ABC
中,
作
AH
⊥
BC
交于
H
.
由三视图的意义
,则
BH
=
6
,
HC
=
3
,
答案
(1)C
(2)B
探究提高
1.
由直观图确定三视图,一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认
.
二要熟悉常见几何体的三视图
.
2.
由三视图还原到直观图的思路
(1)
根据俯视图确定几何体的底面
.
(2)
根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置
.
(3)
确定几何体的直观图形状
.
【训练
1
】
(1)
如图,在底面边长为
1
,高为
2
的正四棱柱
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中,点
P
是平面
A
1
B
1
C
1
D
1
内一点,则三棱锥
P
-
BCD
的正视图与侧视图的面积之和为
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)
(2017·
北京卷
)
某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为
(
)
解析
(1)
设点
P
在平面
A
1
ADD
1
的射影为
P
′
,在平面
C
1
CDD
1
的射影为
P
″
,如图所示
.
∴
三棱锥
P
-
BCD
的正视图与侧视图分别为
△
P
′
AD
与
△
P
″
CD
,
答案
(1)B
(2)B
热点二 几何体的表面积与体积
考法
1
空间几何体的表面积
【例
2
-
1
】
(1)
(2017·
全国
Ⅰ
卷
)
某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为
2
,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
(
)
A.10
B.12
C.14
D.16
(2)
(2018·
西安模拟
)
如图,网格纸上正方形小格的边长为
1
,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为
(
)
A.20π
B.24π
C.28π
D.32π
(2)
由三视图知,该几何体由一圆锥和一个圆柱构成的组合体,
故几何体的表面积
S
=
15π
+
4π
+
9π
=
28π.
答案
(1)B
(2)C
探究提高
1.
由几何体的三视图求其表面积:
(1)
关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小;
(2)
还原几何体的直观图,套用相应的面积公式
.
2.(1)
多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理
.
(2)
旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用
.
A.17π
B.18π
C.20π
D.28π
(2)
(2018·
烟台二模
)
某几何体的三视图如图所示,其中俯视图右侧曲线为半圆弧,则几何体的表面积为
(
)
答案
(1)A
(2)A
考法
2
空间几何体的体积
【例
2
-
2
】
(1)
(2018·
河北衡水中学调研
)
某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
(
)
探究提高
1.
求三棱锥的体积:等体积转化是常用的方法,转换原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上
.
2.
求不规则几何体的体积:常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解
.
【训练
3
】
(1)
(2018·
江苏卷
)
如图所示,正方体的棱长为
2
,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为
________.
(2)
(2018·
北京燕博园质检
)
某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
(
)
球与三棱柱的上、下底面相切时,球的半径
R
最大
.
解析
由
AB
⊥
BC
,
AB
=
6
,
BC
=
8
,得
AC
=
10.
要使球的体积
V
最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若球与三个侧面相切
,
设
底面
△
ABC
的内切圆的半径为
r
.
答案
B
【
迁移探究
1
】
若本例中的条件变为
“
直三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
的
6
个顶点都在球
O
的球面上
”
,若
AB
=
3
,
AC
=
4
,
AB
⊥
AC
,
AA
1
=
12
,求球
O
的表面积
.
解
将直三棱柱补形为长方体
ABEC
-
A
1
B
1
E
1
C
1
,
则球
O
是长方体
ABEC
-
A
1
B
1
E
1
C
1
的外接球
.
∴
体对角线
BC
1
的长为球
O
的直径
.
【
迁移探究
2
】
若将题目的条件变为
“
如图所示是一个几何体的三视图
”
试求该几何体外接球的体积
.
解
该几何体为四棱锥,如图所示,设正方形
ABCD
的中心为
O
,连接
OP
.
由三视图,
PH
=
OH
=
1
,
探究提高
1.
与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接
.
球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心,或
“
切点
”
、
“
接点
”
作出截面图,把空间问题化归为平面问题
.
2.
若球面上四点
P
,
A
,
B
,
C
中
PA
,
PB
,
PC
两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题
.
答案
D
1.
求解几何体的表面积或体积
(1)
对于规则几何体,可直接利用公式计算
.
(2)
对于不规则几何体,可采用割补法求解;对于某些三棱锥,有时可采用等体积转换法求解
.
(3)
求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形的应用
.
(4)
求解几何体的表面积时要注意
S
表
=
S
侧
+
S
底
.