2020-2021学年高一数学单元复习真题训练：三角函数 6页

2020-2021 学年高一数学单元复习真题训练：三角函数 1．（ 2020•新课标Ⅱ）若 α 为第四象限角，则（ ） A．cos2α＞0 B．cos2α＜0 C．sin2α＞0 D．sin2α＜0 【答案】D 【解析】α 为第四象限角，则− 흅 ퟐ +2kπ＜α＜2kπ，k∈Z， 则﹣π+4kπ＜2α＜4kπ，∴2α 是第三或第四象限角或为 y 轴负半轴上的角，∴sin2α＜0，故选：D． 2．（ 2020•新课标Ⅲ）已知 2tanθ﹣tan（θ+ 흅 ퟒ）＝7，则 tanθ＝（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】D 【解析】由 2tanθ﹣tan（θ+ 흅 ퟒ）＝7，得 2tanθ− 풕풂풏휽+ퟏ ퟏ−풕풂풏휽 =7， 即 2tanθ﹣2tan2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，得 2tan2θ﹣8tanθ+8＝0， 即 tan2θ﹣4tanθ+4＝0，即（tanθ﹣2）2＝0，则 tanθ＝2，故选：D． 3．（ 2020•新课标Ⅲ）已知 sinθ+sin（θ+ 흅 ퟑ）＝1，则 sin（θ+ 흅 ퟔ）＝（ ） A．ퟏ ퟐ B．√ퟑ ퟑ C．ퟐ ퟑ D．√ퟐ ퟐ 【答案】B 【解析】∵sinθ+sin（휽 + 흅 ퟑ）＝1，∴sinθ+ ퟏ ퟐsinθ+ √ퟑ ퟐ cosθ＝1， 即ퟑ ퟐsinθ+ √ퟑ ퟐ cosθ＝1，得√ퟑ（ퟏ ퟐcosθ+ √ퟑ ퟐ sinθ）＝1， 即√ퟑsin（휽 + 흅 ퟔ）＝1，得 sin（휽 + 흅 ퟔ）= √ퟑ ퟑ 故选：B． 4．（ 2020•新课标Ⅰ）已知 α∈（0，π），且 3cos2α﹣8cosα＝5，则 sinα＝（ ） A．√ퟓ ퟑ B．ퟐ ퟑ C．ퟏ ퟑ D．√ퟓ ퟗ 【答案】A 【解析】由 3cos2α﹣8cosα＝5，得 3（2cos2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0， 即 3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得 cosα＝2（舍去），或 cos휶 = − ퟐ ퟑ． ∵α∈（0，π），∴α∈（흅 ퟐ，π），则 sinα= √ퟏ − 풄풐풔ퟐ휶 = √ퟏ − (− ퟐ ퟑ)ퟐ = √ퟓ ퟑ ．故选：A． 5．（ 2020•新课标Ⅰ）设函数 f（x）＝cos（ωx+ 흅 ퟔ）在[﹣π，π]的图象大致如图，则 f（x）的最小 正周期为（ ） A．ퟏퟎ흅 ퟗ B．ퟕ흅 ퟔ C．ퟒ흅 ퟑ D．ퟑ흅 ퟐ 【答案】C 【解析】由图象可得最小正周期小于 π﹣（− ퟒ흅 ퟗ ）= ퟏퟑ흅 ퟗ ，大于 2×（흅 − ퟒ흅 ퟗ ）= ퟏퟎ흅 ퟗ ，排除 A，D； 由图象可得 f（− ퟒ흅 ퟗ ）＝cos（− ퟒ흅 ퟗ ω+ 흅 ퟔ）＝0， 即为− ퟒ흅 ퟗ ω+ 흅 ퟔ =kπ+ 흅 ퟐ，k∈Z，（ *） 若选 B，即有 ω= ퟐ흅 ퟕ흅 ퟔ = ퟏퟐ ퟕ ，由− ퟒ흅 ퟗ × ퟏퟐ ퟕ + 흅 ퟔ =kπ+ 흅 ퟐ，可得 k 不为整数，排除 B； 若选 C，即有 ω= ퟐ흅 ퟒ흅 ퟑ = ퟑ ퟐ，由− ퟒ흅 ퟗ × ퟑ ퟐ + 흅 ퟔ =kπ+ 흅 ퟐ，可得 k＝﹣1，成立．故选 C． 6．（ 2019•新课标Ⅱ）已知 α∈（0，흅 ퟐ）， 2sin2α＝cos2α+1，则 sinα＝（ ） A．ퟏ ퟓ B．√ퟓ ퟓ C．√ퟑ ퟑ D．ퟐ√ퟓ ퟓ 【答案】B 【解析】∵2sin2α＝cos2α+1，∴可得：4sinαcosα＝2cos2α， ∵α∈（0，흅 ퟐ）， sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα， ∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，∴解得：sinα= √ퟓ ퟓ ．故选：B． 7．（ 2019•新课标Ⅱ）下列函数中，以흅 ퟐ为最小正周期且在区间（흅 ퟒ，흅 ퟐ）单调递增的是（ ） A．f（x）＝|cos2x| B．f（x）＝|sin2x| C．f（x）＝cos|x| D．f（x）＝sin|x| 【答案】A 【解析】f（x）＝sin|x|不是周期函数，可排除 D 选项；f（x）＝cos|x|的周期为 2π，可排除 C 选项； f（x）＝|sin2x|在흅 ퟒ处取得最大值，不可能在区间（흅 ퟒ，흅 ퟐ）单调递增，可排除 B．故选：A． 8．（ 2019•北京）如图，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大 小为 β，图中阴影区域的面积的最大值为（ ） A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ 【答案】B 【解析】由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线 QO⊥AB， 即有 QO＝2，Q 到线段 AB 的距离为 2+2cosβ，AB＝2•2sinβ＝4sinβ， 扇形 AOB 的面积为ퟏ ퟐ•2β•4＝4β，△ABQ 的面积为ퟏ ퟐ（2+2cosβ）• 4sinβ＝4sinβ+4sinβcosβ＝ 4sinβ+2sin2β， S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β− ퟏ ퟐ•2•2sin2β＝4sinβ，即有阴影区域的面积的最大值为 4β+4sinβ． 故选：B． 9．（ 2020•海南）如图是函数 y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则 sin（ωx+φ）＝（ ） A．sin（x+ 흅 ퟑ） B．sin（흅 ퟑ −2x） C．cos（2x+ 흅 ퟔ） D．cos（ퟓ흅 ퟔ −2x） 【答案】BC 【解析】由图象知函数的周期 T＝2×（ퟐ흅 ퟑ − 흅 ퟔ）＝π，即ퟐ흅 흎 =π，即 ω＝2， 由五点对应法得 2× 흅 ퟔ +φ＝π，得 φ= ퟐ흅 ퟑ ， 则 f（x）＝sin（2x+ ퟐ흅 ퟑ ）＝cos（흅 ퟐ −2x− ퟐ흅 ퟑ ）＝cos（﹣2x− 흅 ퟔ）＝cos（2x+ 흅 ퟔ）＝sin（흅 ퟐ −2x− 흅 ퟔ） ＝sin（흅 ퟑ − ퟐ풙）故选：BC． 10．（ 2020•北京）若函数 f（x）＝sin（x+φ）+cosx 的最大值为 2，则常数 φ 的一个取值为 흅 ퟐ ． 【答案】흅 ퟐ 【解析】f（ x）＝sin（ x+φ ） +cosx＝ sinxcosφ+cosxsinφ+cosx＝ sinxcosφ+（ 1+sinφ ） cosx = √풄풐풔ퟐ흋 + (ퟏ + 풔풊풏흋)ퟐsin（x+θ），其中 cosθ= 풄풐풔흋 √풄풐풔ퟐ흋+(ퟏ+풔풊풏흋)ퟐ ，sinθ= ퟏ+풔풊풏흋 √풄풐풔ퟐ흋+(ퟏ+풔풊풏흋)ퟐ ， 所以 f（x）最大值为√풄풐풔ퟐ흋 + (ퟏ + 풔풊풏흋)ퟐ =2，所以 cos2φ+（1+sinφ）2＝4， 即 2+2sinφ＝4，所以 sinφ＝1，所以 φ= 흅 ퟐ +2kπ，k∈Z 时 φ 均满足题意， 故可选 k＝0 时，φ= 흅 ퟐ．故答案为：흅 ퟐ． 11．（ 2020•新课标Ⅱ）若 sinx= − ퟐ ퟑ，则 cos2x＝ ퟏ ퟗ ． 【答案】ퟏ ퟗ 【解析】∵sinx= − ퟐ ퟑ，∴cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2×（− ퟐ ퟑ）2= ퟏ ퟗ．故答案为：ퟏ ퟗ． 12．（ 2020•浙江）已知 tanθ＝2，则 cos2θ＝ − ퟑ ퟓ ，tan（θ− 흅 ퟒ）＝ ퟏ ퟑ ． 【答案】− ퟑ ퟓ；ퟏ ퟑ 【解析】tanθ＝2， 则 cos2θ= 풄풐풔ퟐ휽−풔풊풏ퟐ휽 풄풐풔ퟐ휽+풔풊풏ퟐ휽 = ퟏ−풕풂풏ퟐ휽 ퟏ+풕풂풏ퟐ휽 = ퟏ−ퟒ ퟏ+ퟒ = − ퟑ ퟓ． tan（θ− 흅 ퟒ）= 풕풂풏휽−풕풂풏흅 ퟒ ퟏ+풕풂풏휽풕풂풏흅 ퟒ = ퟐ−ퟏ ퟏ+ퟐ×ퟏ = ퟏ ퟑ．故答案为：− ퟑ ퟓ；ퟏ ퟑ． 13．（ 2020•江苏）将函数 y＝3sin（2x+ 흅 ퟒ）的图象向右平移흅 ퟔ个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是 x= − ퟓ흅 ퟐퟒ ． 【答案】x= − ퟓ흅 ퟐퟒ 【解析】：因为函数 y＝3sin（2x+ 흅 ퟒ）的图象向右平移흅 ퟔ个单位长度可得 g（x）＝f（x− 흅 ퟔ）＝3sin（2x− 흅 ퟑ + 흅 ퟒ）＝3sin（2x− 흅 ퟏퟐ）， 则 y＝g（x）的对称轴为 2x− 흅 ퟏퟐ = 흅 ퟐ +kπ，k∈Z， 即 x= ퟕ흅 ퟐퟒ + 풌흅 ퟐ ，k∈Z，当 k＝0 时，x= ퟕ흅 ퟐퟒ，当 k＝﹣1 时，x= − ퟓ흅 ퟐퟒ， 所以平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是 x= − ퟓ흅 ퟐퟒ， 故答案为：x= − ퟓ흅 ퟐퟒ， 14．（ 2019•新课标Ⅰ）函数 f（x）＝sin（2x+ ퟑ흅 ퟐ ）﹣3cosx 的最小值为 ﹣4 ． 【答案】﹣4 【解析】∵f（x）＝sin（2x+ ퟑ흅 ퟐ ）﹣3cosx，＝﹣cos2x﹣3cosx＝﹣2cos2x﹣3cosx+1， 令 t＝cosx，则﹣1≤t≤1，令 g（t）＝﹣2t2﹣3t+1 的开口向下，对称轴 t= − ퟑ ퟒ，在[﹣1，1]上先增 后减，故当 t＝1 即 cosx＝1 时，函数有最小值﹣4．故答案为：﹣4