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  • 2021-06-11 发布

高一数学(人教A版)必修4能力提升:1-4-2-2 正、余弦函数的性质

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能 力 提 升 一、选择题 ‎1.y=2sinx2的值域是(  )‎ A.[-2,2] B.[0,2]‎ C.[-2,0] D.R ‎[答案] A ‎[解析] ∵x2≥0,∴sinx2∈[-1,1],‎ ‎∴y=2sinx2∈[-2,2].‎ ‎2.函数y=是(  )‎ A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 ‎[答案] A ‎[解析] 定义域为R,f(-x)===-f(x),则f(x)是奇函数.‎ ‎3.已知a∈R,函数f(x)=sinx-|a|,x∈R为奇函数,则a等于(  )‎ A.0    B.‎1 ‎   C.-1   D.±1‎ ‎[答案] A ‎[解析] 解法一:易知y=sinx在R上为奇函数,‎ ‎∴f(0)=0,∴a=0.‎ 解法二:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即sin(-x)-|a|=-sinx+|a|,-sinx-|a|=-sinx+|a|.‎ ‎∴|a|=0,即a=0.‎ ‎4.(重庆高考)下列函数中,周期为π,且在[,]上为减函数的是(  )‎ A.y=sin(2x+) B.y=cos(2x+)‎ C.y=sin(x+) D.y=cos(x+)‎ ‎[答案] A ‎[解析] C、D两项中函数的周期都为2π,不合题意,排除C、D;B项中y=cos(2x+)=-sin2x,该函数在[,]上为增函数,不合题意;A项中y=sin(2x+)=cos2x,该函数符合题意,选A.‎ ‎5.(陕西高考)对于函数f(x)=sin2x,下列选项中正确的是(  )‎ A.f(x)在(,)上是递增的 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的最小正周期为2π D.f(x)的最大值为2‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由于函数y=sinx在(,π)上是递减的,所以f(x)=sin2x在(,)上是递减的,故A选项错误.‎ 因为f(-x)=sin2(-x)=sin(-2x)=-sin2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故B选项正确.‎ ‎6.函数y(x)=-cos xln x2的部分图象大致是图中的(  )‎ ‎[答案] A ‎[解析] 函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),‎ f(-x)=-cos(-x)ln(-x)2=-cos xln x2=f(x),‎ 则函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,排除选项C和D;当x∈(0,1)时,cosx>0,00,此时函数f(x)的图象位于x轴的上方,排除选项B.‎ 二、填空题 ‎7.(西南大学附中2012-2013期中)函数f(x)=2cosωx(ω>0)在x∈[-,]上的最大、最小值之和为0,则ω的最小值为________.‎ ‎[答案] 3‎ ‎8.(2012·长沙调研)已知函数f(x)=3sin(ωx-)(ω>0)和g(x ‎)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同,若x∈[0,],则f(x)的取值范围是____________.‎ ‎[答案] [-,3]‎ ‎[解析] ∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同,‎ ‎∴f(x)与g(x)的最小正周期相等,‎ ‎∵ω>0,∴ω=2,∴f(x)=3sin(2x-),‎ ‎∵0≤x≤,∴-≤2x-≤,‎ ‎∴-≤sin(2x-)≤1,‎ ‎∴-≤3sin(2x-)≤3,‎ 即f(x)的取值范围是[-,3].‎ ‎9.(2011~2012·无锡高一检测)函数y=sin(x-),x∈[0,π]的值域为________.‎ ‎[答案] [-,1]‎ 三、解答题 ‎10.求函数y=cos+1的最大值,及此时自变量x的取值集合.‎ ‎[解析] ∵x∈R,∴-1≤cos≤1.‎ ‎∴≤cos+1≤.‎ ‎∴函数y=cos+1的最大值是.‎ 此时2x-=2kπ(k∈Z),∴x=kπ+.‎ 即此时自变量x的取值集合是 .‎ ‎11.已知函数f(x)=log|sinx|.‎ ‎(1)求其定义域和值域;‎ ‎(2)判断其奇偶性;‎ ‎(3)求其周期;‎ ‎(4)写出单调区间.‎ ‎[解析] (1)由|sinx|>0得sinx≠0,∴x≠kπ(k∈Z).‎ 即函数定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.‎ 又0<|sinx|≤1,∴log|sinx|≥0.‎ ‎∴函数的值域为[0,+∞).‎ ‎(2)∵f(x)的定义域关于原点对称,‎ 且f(-x)=log|sin(-x)|=log|-sinx|‎ ‎=log|sinx|=f(x).‎ ‎∴f(x)为偶函数.‎ ‎(3)函数f(x)是周期函数,‎ ‎∵f(x+π)=log|sin(x+π)|=log|-sinx|‎ ‎=log|sinx|=f(x),‎ ‎∴f(x)的周期T=π.‎ ‎(4)∵y=logu在(0,+∞)上是减函数,‎ u=|sinx|在(k∈Z)上是增函数,‎ 在(k∈Z)上是减函数.‎ ‎∴f(x)在(k∈Z)上是增函数,‎ 在(k∈Z)上是减函数.‎ 即f(x)的单调增区间是(k∈Z),‎ 单调减区间是(k∈Z).‎ ‎12.设函数f(x)=sin2x+acosx+a-,x∈[0,]的最大值是1,试确定a的值.‎ ‎[解析] f(x)=sin2x+acosx+a-=1-cos2x+acosx+a-=-(cosx-)2+(‎2a2+‎5a-4).(1)若0≤≤1,即0≤a≤2,当cosx=时,‎ f(x)最大,此时(‎2a2+‎5a-4)=1,解得a=;‎ ‎(2)若>1,即a>2,当x=0时,即cosx=1时,‎ f(x)最大,此时-(1-)2+(‎2a2+‎5a-4)=1,‎ 解得a=(不符合条件,舍去);‎ ‎(3)若<0,即a<0,当x=时,即cosx=0时,‎ f(x)最大,此时-(0-)2+(‎2a2+‎5a-4)=1,‎ 解得a=(不符合条件,舍去).综上可得a=.‎

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