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- 2021-06-11 发布
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一、选择题
1.y=2sinx2的值域是( )
A.[-2,2] B.[0,2]
C.[-2,0] D.R
[答案] A
[解析] ∵x2≥0,∴sinx2∈[-1,1],
∴y=2sinx2∈[-2,2].
2.函数y=是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
[答案] A
[解析] 定义域为R,f(-x)===-f(x),则f(x)是奇函数.
3.已知a∈R,函数f(x)=sinx-|a|,x∈R为奇函数,则a等于( )
A.0 B.1 C.-1 D.±1
[答案] A
[解析] 解法一:易知y=sinx在R上为奇函数,
∴f(0)=0,∴a=0.
解法二:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即sin(-x)-|a|=-sinx+|a|,-sinx-|a|=-sinx+|a|.
∴|a|=0,即a=0.
4.(重庆高考)下列函数中,周期为π,且在[,]上为减函数的是( )
A.y=sin(2x+) B.y=cos(2x+)
C.y=sin(x+) D.y=cos(x+)
[答案] A
[解析] C、D两项中函数的周期都为2π,不合题意,排除C、D;B项中y=cos(2x+)=-sin2x,该函数在[,]上为增函数,不合题意;A项中y=sin(2x+)=cos2x,该函数符合题意,选A.
5.(陕西高考)对于函数f(x)=sin2x,下列选项中正确的是( )
A.f(x)在(,)上是递增的
B.f(x)的图象关于原点对称
C.f(x)的最小正周期为2π
D.f(x)的最大值为2
[答案] B
[解析] 由于函数y=sinx在(,π)上是递减的,所以f(x)=sin2x在(,)上是递减的,故A选项错误.
因为f(-x)=sin2(-x)=sin(-2x)=-sin2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故B选项正确.
6.函数y(x)=-cos xln x2的部分图象大致是图中的( )
[答案] A
[解析] 函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),
f(-x)=-cos(-x)ln(-x)2=-cos xln x2=f(x),
则函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,排除选项C和D;当x∈(0,1)时,cosx>0,00,此时函数f(x)的图象位于x轴的上方,排除选项B.
二、填空题
7.(西南大学附中2012-2013期中)函数f(x)=2cosωx(ω>0)在x∈[-,]上的最大、最小值之和为0,则ω的最小值为________.
[答案] 3
8.(2012·长沙调研)已知函数f(x)=3sin(ωx-)(ω>0)和g(x
)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同,若x∈[0,],则f(x)的取值范围是____________.
[答案] [-,3]
[解析] ∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同,
∴f(x)与g(x)的最小正周期相等,
∵ω>0,∴ω=2,∴f(x)=3sin(2x-),
∵0≤x≤,∴-≤2x-≤,
∴-≤sin(2x-)≤1,
∴-≤3sin(2x-)≤3,
即f(x)的取值范围是[-,3].
9.(2011~2012·无锡高一检测)函数y=sin(x-),x∈[0,π]的值域为________.
[答案] [-,1]
三、解答题
10.求函数y=cos+1的最大值,及此时自变量x的取值集合.
[解析] ∵x∈R,∴-1≤cos≤1.
∴≤cos+1≤.
∴函数y=cos+1的最大值是.
此时2x-=2kπ(k∈Z),∴x=kπ+.
即此时自变量x的取值集合是
.
11.已知函数f(x)=log|sinx|.
(1)求其定义域和值域;
(2)判断其奇偶性;
(3)求其周期;
(4)写出单调区间.
[解析] (1)由|sinx|>0得sinx≠0,∴x≠kπ(k∈Z).
即函数定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.
又0<|sinx|≤1,∴log|sinx|≥0.
∴函数的值域为[0,+∞).
(2)∵f(x)的定义域关于原点对称,
且f(-x)=log|sin(-x)|=log|-sinx|
=log|sinx|=f(x).
∴f(x)为偶函数.
(3)函数f(x)是周期函数,
∵f(x+π)=log|sin(x+π)|=log|-sinx|
=log|sinx|=f(x),
∴f(x)的周期T=π.
(4)∵y=logu在(0,+∞)上是减函数,
u=|sinx|在(k∈Z)上是增函数,
在(k∈Z)上是减函数.
∴f(x)在(k∈Z)上是增函数,
在(k∈Z)上是减函数.
即f(x)的单调增区间是(k∈Z),
单调减区间是(k∈Z).
12.设函数f(x)=sin2x+acosx+a-,x∈[0,]的最大值是1,试确定a的值.
[解析] f(x)=sin2x+acosx+a-=1-cos2x+acosx+a-=-(cosx-)2+(2a2+5a-4).(1)若0≤≤1,即0≤a≤2,当cosx=时,
f(x)最大,此时(2a2+5a-4)=1,解得a=;
(2)若>1,即a>2,当x=0时,即cosx=1时,
f(x)最大,此时-(1-)2+(2a2+5a-4)=1,
解得a=(不符合条件,舍去);
(3)若<0,即a<0,当x=时,即cosx=0时,
f(x)最大,此时-(0-)2+(2a2+5a-4)=1,
解得a=(不符合条件,舍去).综上可得a=.