高中数学人教a版选修4-1知能达标演练：1-1平行线等分线段定理 含解析 4页

一、选择题 ‎1．如图所示，已知a∥b∥c，直线AB与a、b、c交于点A、E、B，直线CD与a、b、c交于点C、E、D，若AE＝EB，则有 ‎(　　)．‎ A．AE＝CE B．BE＝DE C．CE＝DE D．CE>DE 解析　由平行线等分线段定理可直接得到答案．‎ 答案　C ‎2．若顺次连接等腰梯形各边中点，则得到的四边形是 (　　)．‎ A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 解析　如图，由等腰梯形的性质可得AC＝BD，∵EH綉AC，FG綉AC，∴EH綉FG，同理EF綉GH.‎ 又∵AC＝BD，EF＝BD，EH＝AC，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形．‎ 答案　B ‎3．如图所示，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，BC＝6，则BE等于(　　)．‎ A．9 B．10‎ C．11 D．12‎ 解析　过点O作一条与CD平行的直线，然后结合平行线等分线段定理即可解得BE＝9.‎ 答案　A ‎4．如图，已知AB∥CD∥EF，AF，BE相交于点O，若AO＝OD＝DF，BE＝‎10 cm，则BO的长为 (　　)．‎ A. cm　　　　　　　 B．‎‎5 cm C. cm　　　　　　　 D．‎‎3 cm 解析　∵CD∥EF，OD＝DF，‎ ‎∴C为OE中点，∴OC＝CE.‎ ‎∵AB∥CD，AO＝OD，‎ ‎∴O为BC中点，‎ ‎∴BO＝OC，∴OB＝BE＝ cm.‎ 答案　A 二、填空题 ‎5.如图所示，已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝，则B′C′＝________.‎ 解析　由平行线等分线段定理可直接得到B′C′＝.‎ 答案　 ‎6．在梯形ABCD中，M、N分别是腰AB和腰CD的中点，且AD＝2，BC＝4，则MN＝________.‎ 解析　由梯形的中位线定理直接可得MN＝＝3.‎ 答案　3‎ ‎7．已知梯形的中位线长‎10 cm，一条对角线将中位线分成的两部分之差是‎3 cm，则该梯形中的较大的底是________ cm.‎ 解析　设梯形较大，较小的底分别为a，b，‎ 则有可得：a＝13.‎ 答案　13‎ ‎8．如图，在△ABC中，点E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于点G，CD＝AD，若EG＝‎5 cm，则AC＝________cm；若BD＝‎20 cm，则EF＝________cm.‎ 解析　∵E为AB的中点，EF∥BD，∴F为AD的中点．∵E为AB的中点，EG∥AC，∴G为BD的中点，当EG＝‎5 cm时，则AD＝‎10 cm.又CD＝AD＝‎5 cm，∴AC＝‎15 cm.当BD＝‎20 cm时，则EF＝BD＝‎10 cm.‎ 答案　15　10‎ 三、解答题 ‎9．如图所示，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝AB，E为AB的中点．‎ 求证：△ECD为等边三角形．‎ 证明　过E作EF∥BC交DC于F，连接AC，如图所示．‎ ‎∵AD∥BC，E为AB中点，∴F是DC中点．①‎ 又∵DC⊥BC，EF∥BC，∴EF⊥DC.②‎ ‎∴由①②知，EF是DC的垂直平分线，‎ ‎∴△ECD为等腰三角形．③‎ ‎∵BC＝AB，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．‎ 又∵E是AB中点，‎ ‎∴CE是∠ACB的平分线，‎ ‎∴∠BCE＝30°.∴∠ECD＝60°.④‎ 由③④知，△ECD为等边三角形．‎ ‎10．如图，在▱ABCD中，设E和F分别是边BC和AD的中点，BF和DE分别交AC于P、Q两点．‎ 求证：AP＝PQ＝QC.‎ 证明　∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD边上的中点，‎ ‎∴DF綉BE，∴四边形BEDF是平行四边形．‎ ‎∵在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ.‎ ‎∴P是AQ的中点，∴AP＝PQ.‎ ‎∵在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP，‎ ‎∴Q是CP的中点，∴CQ＝PQ，∴AP＝PQ＝QC.‎ ‎11．(拓展深化)如图，以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于点F，求证：EF＝BF.‎ 证明　如图所示，连接AE交DC于O.‎ ‎∵四边形ACED是平行四边形．‎ ‎∴O是AE的中点．‎ ‎∵在梯形ABCD中，‎ DC∥AB，在△EAB中，‎ OF∥AB，‎ 又∵O是AE的中点，‎ ‎∴F是EB的中点，‎ ‎∴EF＝BF.‎