【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第四章　第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式学案 13页

第 2 讲　同角三角函数的基 本关系与诱导公式 一、知识梳理 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1． (2)商数关系：tan x＝ sin x cos x(其中x ≠ kπ＋π 2，k ∈ Z). 2．三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2kπ (k∈Z) π＋α －α π－α π 2－α π 2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 常用结论 1．同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2．诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数 名称的变化． 二、习题改编 1．(必修 4P19 例 6 改编)已知 sin α＝ 5 5 ，π 2≤α≤π，则 tan α＝(　　) A．－2　　　　　　　　 B．2 C.1 2 D．－1 2 解析：选 D.因为 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 1－( 5 5 )2 ＝－2 5 5 ，所以 tan α＝ sin α cos α＝－ 1 2. 2．(必修 4P20 练习 T4 改编)化简 1－cos22θ cos 2θtan 2θ＝ ． 解析： 1－cos22θ cos 2θtan 2θ＝ sin22θ cos 2θ· sin 2θ cos 2θ ＝sin 2θ. 答案：sin 2θ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的角 α，β，都有 sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)若 α∈R，则 tan α＝ sin α cos α恒成立．(　　) (3)sin(π＋α)＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角．(　　) (4)若 cos(nπ－θ)＝1 3(n∈Z)，则 cos θ＝1 3.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、易错纠偏 常见误区(1)不注意角的范围出错； (2)诱导公式记忆不熟出错． 1．已知 cos(π＋α)＝2 3，则 tan α＝(　　) A. 5 2 B.2 5 5 C．± 5 2 D．±2 5 5 解析：选 C.因为 cos(π＋α)＝2 3， 所以 cos α＝－2 3， 则 α 为第二或第三象限角， 所以 sin α＝± 1－cos2α＝± 5 3 . 所以 tan α＝ sin α cos α＝ ± 5 3 －2 3 ＝± 5 2 . 2．若 sin(π＋α)＝－1 2，则 sin(7π－α)＝ ，cos(α＋3π 2 )＝ ． 解析：由 sin(π＋α)＝－sin α＝－1 2，得 sin α＝1 2，则 sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝1 2，cos (α＋3π 2 )＝cos(α＋3π 2 －2π)＝cos(α－π 2 )＝cos(π 2－α )＝sin α＝1 2. 答案：1 2　1 2 　　　　　同角三角函数的基本关系式(多维探究) 角度一　公式的直接应用 (1)(2020·北京西城区模拟)已知 α∈(0，π)，cos α＝－3 5，则 tan α＝(　　) A.3 4　　　　　　　　　 B．－3 4 C.4 3 D．－4 3 (2)已知 α 是三角形的内角，且 tan α＝－1 3，则 sin α＋cos α 的值为 ． 【解析】　(1)因为 cos α＝－3 5且 α∈(0，π)， 所以 sin α＝ 1－cos2α＝4 5， 所以 tan α＝sin α cos α＝－4 3.故选 D. (2)由 tan α＝－1 3， 得 sin α＝－1 3cos α，且 sin α>0，cos α<0， 将其代入 sin2α＋cos2α＝1，得 10 9 cos2α＝1， 所以 cos α＝－3 10 10 ，sin α＝ 10 10 ， 故 sin α＋cos α＝－ 10 5 . 【答案】　(1)D　(2)－ 10 5 利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的 正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些 题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题 的目的． 角度二　sin α，cos α 的齐次式问题 已知 tan α tan α－1＝－1，求下列各式的值： (1) sin α－3cos α sin α＋cos α ； (2)sin2α＋sin αcos α＋2. 【解】　由已知得 tan α＝1 2. (1) sin α－3cos α sin α＋cos α ＝ tan α－3 tan α＋1＝－5 3. (2)sin2α＋sin αcos α＋2＝ sin2α＋sin αcos α sin2α＋cos2α ＋2＝ tan2α＋tan α tan2α＋1 ＋2＝ (1 2 )2 ＋1 2 (1 2 )2 ＋1 ＋ 2＝13 5 . 关于 sin α 与 cos α 的齐 n 次分式或齐二次 整式的化简求值的解题策略 已知 tan α，求关于 sin α 与 cos α 的齐 n 次分式或齐二次整式的值． 角度三　sin α±cos α，sin αcos α 之间的关系 已知 α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝1 5. (1)求 sin α－cos α 的值； (2)求 sin 2α＋2sin2α 1－tan α 的值． 【解】　(1)由 sin α＋cos α＝1 5， 平方得 sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝ 1 25， 整理得 2sin αcos α＝－24 25. 所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝49 25. 由 α∈(－π，0)，知 sin α<0，又 sin α＋cos α>0， 所以 cos α>0，则 sin α－cos α<0， 故 sin α－cos α＝－7 5. (2) sin 2α＋2sin2α 1－tan α ＝2sin α（cos α＋sin α） 1－sin α cos α ＝ 2sin αcos α（cos α＋sin α） cos α－sin α ＝ －24 25 × 1 5 7 5 ＝－ 24 175. sin α±cos α 与 sin αcos α 关系的应用技巧 (1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α 之间可建立联系，若令 sin α＋cos α ＝t，则 sin αcos α＝t2－1 2 ，sin α－cos α＝± 2－t2(注意根据 α 的范围选取正、负号)． (2)对于 sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α 这三个式子，可以知一求二． 1．(2020·长春模拟)已知 sin αcos α＝1 8，且5π 4 <α<3π 2 ，则 cos α－sin α 的值为(　　) A．－ 3 2 B. 3 2 C．－3 4 D．3 4 解析：选 B.因为5π 4 <α<3π 2 ，所以 cos α<0，sin α<0 且|cos α|<|sin α|，所以 cos α－sin α>0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×1 8＝3 4，所以 cos α－sin α＝ 3 2 .故选 B. 2．若 3sin α＋cos α＝0，则 1 cos2α＋2sin αcos α的值为 ． 解 析 ： 3sin α ＋ cos α ＝ 0 ⇒ cos α ≠ 0 ⇒ tan α ＝ － 1 3， 1 cos2α＋2sin αcos α＝ cos2α＋sin2α cos2α＋2sin αcos α＝ 1＋tan2α 1＋2tan α ＝ 1＋(－1 3 )2 1－2 3 ＝10 3 . 答案：10 3 3．已知 θ 为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则 tan θ＝ ． 解析：由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得 6sin θcos θ＝－8cos2θ，又因为 θ 为第四 象限角，所以 cos θ≠0，所以 6sin θ＝－8cos θ，所以 tan θ＝－4 3. 答案：－4 3 　　　　　　诱导公式的应用(典例迁移) (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝ ． (2)已知角 θ 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 3x－y＝0 上，则 sin(3π 2 ＋θ)＋2cos（π－θ） sin(π 2－θ )－sin（π－θ） 等于 ． 【解析】　(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210° ＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＝ 3 2 × 3 2 ＝3 4. (2)由题可知 tan θ＝3，原式＝ －cos θ－2cos θ cos θ－sin θ ＝ －3 1－tan θ＝3 2. 【答案】　(1)3 4　(2)3 2 【 迁 移 探 究 】 　 ( 变 问 法 ) 若 本 例 (2) 的 条 件 不 变 ， 则 cos(π 2＋θ )－sin（－π－θ） cos(11π 2 －θ)＋sin(9π 2 ＋θ) ＝ ． 解析：由题可知 tan θ＝3， 原式＝ －sin θ＋sin（π＋θ） cos(6π－π 2－θ)＋sin(4π＋π 2＋θ) ＝ －sin θ－sin θ cos(π 2＋θ )＋sin(π 2＋θ ) ＝ －2sin θ －sin θ＋cos θ＝ 2tan θ tan θ－1＝2 × 3 3－1 ＝3. 答案：3 (1)诱导公式用法的一般思路 ①化负为正，化大为小，化到锐角为止； ②角中含有加减π 2的整数倍时，用公式去掉π 2的整数倍． (2)常见的互余和互补的角 ①常见的互余的角：π 3－α 与π 6＋α；π 3＋α 与π 6－α；π 4＋α 与π 4－α 等； ②常见的互补的角：π 3＋θ 与2π 3 －θ；π 4＋θ 与3π 4 －θ 等． 1．若角 A，B，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　) A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C C．cosA＋C 2 ＝sinB 2 D．sinB＋C 2 ＝－cosA 2 解析：选 C.因为 A＋B＋C＝π，所以 A＋B＝π－C，A＋C 2 ＝π－B 2 ，B＋C 2 ＝π－A 2 ，所以 cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，cos A＋C 2 ＝cos(π 2－B 2 )＝sin B 2，sinB＋C 2 ＝sin(π 2－A 2 )＝cosA 2. 2．cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝ ． 解析：cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝－cos 1 020°sin 1 050°＝cos 60°sin 30°＝1 4. 答案：1 4 3．已知 cos(π 6－θ )＝a，则 cos(5π 6 ＋θ)＋sin (2π 3 －θ)的值是 ． 解析：因为 cos(5π 6 ＋θ)＝cos[π－(π 6－θ )] ＝－cos(π 6－θ )＝－a. sin(2π 3 －θ)＝sin[π 2＋(π 6－θ )]＝cos(π 6－θ )＝a， 所以 cos(5π 6 ＋θ)＋sin(2π 3 －θ)＝0. 答案：0 核心素养系列 10　数学运算——三角函数式的化简与求值 数学运算能让学生进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够 通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学 精神． 已知 sin α＝2 5 5 ，求 tan(α＋π)＋ sin(5π 2 ＋α) cos(5π 2 －α) 的值． 【解】　因为 sin α＝2 5 5 ＞0，所以 α 为第一或第二象限角． tan(α＋π)＋ sin(5π 2 ＋α) cos(5π 2 －α) ＝tan α＋ cos α sin α ＝ sin α cos α＋ cos α sin α＝ 1 sin αcos α. (1)当 α 是第一象限角时，cos α＝ 1－sin2α＝ 5 5 ， 原式＝ 1 sin αcos α＝5 2. (2)当 α 是第二象限角时，cos α＝－ 1－sin2α＝－ 5 5 ， 原式＝ 1 sin αcos α＝－5 2. 综合(1)(2)知，原式＝5 2或－5 2. 三角函数运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向， 灵活地选用三角函数公式，完成三角函数运算． 1．已知 sin(π＋α)＝－1 3，则 tan (π 2－α )的值为(　　) A．2 2 B．－2 2 C. 2 4 D．±2 2 解析：选 D.因为 sin(π＋α)＝－1 3，所以 sin α＝1 3，cos α＝±2 2 3 ，tan(π 2－α )＝ cos α sin α＝±2 2.故选 D. 2．化简：sin（π－α）＋sin αcos α [1＋sin(π 2＋α )]tan α ＝ ． 解析：sin（π－α）＋sin αcos α [1＋sin(π 2＋α )]tan α ＝ sin α＋sin αcos α （1＋cos α）tan α＝sin α tan α＝cos α. 答案：cos α [基础题组练] 1．计算：sin 11π 6 ＋cos 10π 3 ＝(　　) A．－1　　　　　　　　　 B．1 C．0 D．1 2－ 3 2 解析：选 A.原式＝sin(2π－π 6)＋cos(3π＋π 3)＝－sin π 6＋cos(π＋π 3 )＝－1 2－cos π 3＝－1 2－1 2＝ －1. 2．已知 sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)，|θ|＜π 2，则 θ 等于(　　) A．－π 6 B．－π 3 C.π 6 D．π 3 解析：选 D.因为 sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－ 3cos θ， 所以 tan θ＝ 3，因为|θ|＜π 2，所以 θ＝π 3. 3．已知 f(α)＝ sin（2π－α）cos(π 2＋α ) cos(－π 2＋α)tan（π＋α） ，则 f(π 3 )＝(　　) A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D．－1 2 解 析 ： 选 A.f(α) ＝ sin（2π－α）cos(π 2＋α ) cos(－π 2＋α)tan（π＋α） ＝ －sin α·（－sin α） sin α·tan α ＝ sin2α sin α· sin α cos α ＝cos α，则 f(π 3 )＝cosπ 3＝1 2. 4．已知 sin α＋cos α＝ 2，则 tan α＋ cos α sin α的值为(　　) A．－1 B．－2 C.1 2 D．2 解析：选 D.因为 sin α＋cos α＝ 2，所以(sin α＋cos α)2＝2，所以 sin αcos α＝1 2.所以 tan α＋ cos α sin α＝ sin α cos α＋ cos α sin α＝ 1 sin αcos α＝2.故选 D. 5．设 α 是第三象限角，tan α＝ 5 12，则 cos(π－α)＝ ． 解析：因为 α 为第三象限角，tan α＝ 5 12， 所以 cos α＝－12 13，所以 cos(π－α)＝－cos α＝12 13. 答案：12 13 6．化简： cos（α－π） sin（π－α）·sin(α－π 2)·cos(3π 2 －α)＝ ． 解析： cos（α－π） sin（π－α）·sin(α－π 2)·cos(3π 2 －α)＝ －cos α sin α ·(－cos α)·(－sin α)＝－cos2α. 答案：－cos2α 7．已知 sin(－π 2－α)cos(－7π 2 ＋α)＝12 25，且 0＜α＜ π 4，则 sin α＝ ，cos α ＝ ． 解析：sin(－π 2－α)cos(－7π 2 ＋α)＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝12 25. 因为 0＜α＜π 4，所以 0＜sin α＜cos α. 又因为 sin2α＋cos2α＝1，所以 sin α＝3 5，cos α＝4 5. 答案：3 5　4 5 8．已知 α 为第三象限角， f(α)＝ sin（α－π 2）·cos（3π 2 ＋α）·tan（π－α） tan（－α－π）·sin（－α－π） . (1)化简 f(α)； (2)若 cos(α－3π 2 )＝1 5，求 f(α)的值． 解：(1)f(α)＝ sin（α－π 2）·cos（3π 2 ＋α）·tan（π－α） tan（－α－π）·sin（－α－π） ＝ （－cos α）·sin α·（－tan α） （－tan α）·sin α ＝－cos α. (2)因为 cos(α－3π 2 )＝1 5， 所以－sin α＝1 5， 从而 sin α＝－1 5. 又 α 为第三象限角， 所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－2 6 5 ， 所以 f(α)＝－cos α＝2 6 5 . [综合题组练] 1．已知－π 2＜α＜0，sin α＋cos α＝1 5，则 1 cos2α－sin2α的值为(　　) A.7 5 B.25 7 C. 7 25 D．24 25 解析：选 B.因为－π 2＜α＜0， 所以 cos α＞0，sin α＜0，可得 cos α－sin α＞0， 因为(sin α＋cos α)2＋(cos α－sin α)2＝2， 所以(cos α－sin α)2＝2－(sin α＋cos α)2＝2－ 1 25＝49 25， cos α－sin α＝7 5，cos2α－sin2α＝1 5×7 5＝ 7 25， 所以 1 cos2α－sin2α的值为25 7 . 2．若 k∈Z 时， sin（kπ－α）·cos（kπ＋α） sin[（k＋1）π＋α]·cos[（k＋1）π＋α]的值为(　　) A．－1 B．1 C．±1 D．与 α 取值有关 解析：选 A.当 k 为奇数时， sin（kπ－α）·cos（kπ＋α） sin[（k＋1）π＋α]·cos[（k＋1）π＋α] ＝ sin α·（－cos α） sin α·cos α ＝－1； 当 k 为偶数时， sin（kπ－α）·cos（kπ＋α） sin[（k＋1）π＋α]·cos[（k＋1）π＋α] ＝ －sin α·cos α －sin α·（－cos α）＝－1. 3．化简 1－2sin 40°cos 40° cos 40°－ 1－sin250°＝ ． 解析：原式＝ sin240°＋cos240°－2sin 40°cos 40° cos 40°－cos 50° ＝|sin 40°－cos 40°| sin 50°－sin 40° ＝|sin 40°－sin 50°| sin 50°－sin 40° ＝ sin 50°－sin 40° sin 50°－sin 40° ＝1. 答案：1 4．若1＋cos α sin α ＝2，则 cos α－3sin α＝ ． 解析：因为1＋cos α sin α ＝2，所以 cos α＝2sin α－1，又 sin2α＋cos2α＝1，所以 sin2α＋(2sin α－1)2＝1，5sin2α－4sin α＝0，解得 sin α＝4 5或 sin α＝0(舍去)，所以 cos α－3sin α＝－sin α－ 1＝－9 5. 答案：－9 5