2015届高考数学二轮专题训练：专题七 第2讲 概率、随机变量及其分布 14页

第2讲　概率、随机变量及其分布 考情解读　1.该部分常考内容有几何概型、古典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何、定积分交汇命题，古典概型常与排列、组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量的分布列、期望(均值)、方差，常与相互独立事件的概率、n次独立重复试验交汇考查.2.从考查形式上来看，三种题型都有可能出现，选择题、填空题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量的分布列等，都属于中、低档题．‎ ‎1．随机事件的概率 ‎(1)随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.‎ ‎(2)古典概型的概率 P(A)＝＝.‎ ‎(3)几何概型的概率 P(A)＝.‎ ‎2．条件概率 在A发生的条件下B发生的概率：‎ P(B|A)＝.‎ ‎3．相互独立事件同时发生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)．‎ ‎4．独立重复试验 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.‎ ‎5．超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.‎ ‎6．离散型随机变量的分布列 ‎(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi的概率为P(X＝xi)＝pi，则称下表：‎ X x1‎ x2‎ x3‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ p3‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 为离散型随机变量X的分布列．‎ ‎(2)离散型随机变量X的分布列具有两个性质：①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1,2,3，…，n)．‎ ‎(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为X的均值或数学期望(简称期望)．‎ D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2·pn叫做随机变量ξ的方差．‎ ‎(4)性质 ‎①E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；‎ ‎②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；‎ ‎③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．‎ ‎7．正态分布 若X～N(μ，σ2)，则正态总体在三个特殊区间内取值的概率 ‎①P(μ－σp2，E(ξ1)E(ξ2)‎ C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D．p10，所以p1>p2.‎ 押题精练 ‎ ‎1．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有C＝210种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件A为“取出球的编号互不相同，”‎ 则事件A包含了C·C·C·C·C＝80个基本事件，‎ 所以P(A)＝＝.‎ ‎2．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意得任取两球有C种情况，取出两球号码之积是4的倍数的情况为(1,4)，(2,4)，(3,4)，(2,6)，(4,6)，(4,5)共6种情况，故每人摸球一次中奖的概率为＝，故4人中有3人中奖的概率为C()3×＝.故选B.‎ ‎3．甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．‎ ‎(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；‎ ‎(2)设总决赛中获得的门票总收入为X，求X的均值E(X)．‎ 解　(1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．‎ 设此数列为{an}，则易知a1＝40，an＝10n＋30，∴Sn＝＝300.‎ 解得n＝－12(舍去)或n＝5，∴总决赛共比赛了5场．‎ 则前4场比赛的比分必为1∶3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为 C()4＝.‎ ‎(2)随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220,300,390,490.‎ 又P(X＝220)＝2·()4＝，‎ P(X＝300)＝C()4＝，‎ P(X＝390)＝C()5＝，P(X＝490)＝C()6＝.‎ 所以，X的分布列为 X ‎220‎ ‎300‎ ‎390‎ ‎490‎ P 所以X的均值为E(X)＝220×＋300×＋390×＋490×＝377.5(万元)．‎ ‎(推荐时间：50分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2014·课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－＝.‎ ‎2．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为(　　)‎ A. B．1－ C. D．1－ 答案　D 解析　P＝＝1－.‎ ‎3．已知Ω＝{(x，y)|}，直线y＝mx＋2m和曲线y＝有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P(M)，若P(M)∈[，1]，则实数m的取值范围为(　　)‎ A．[，1] B．[0，]‎ C．[，1] D．[0,1]‎ 答案　D 解析　如图，由题意得m≥0，根据几何概型的意义，‎ 知P(M)＝＝，‎ 又P(M)∈[，1]，‎ 所以S弓形∈[π－2,2π]．故0≤m≤1.‎ ‎4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，‎ 则P(A)＝，P(AB)＝×＝.‎ 则所求概率为P(B|A)＝＝＝.‎ ‎5．将三个骰子各掷一次，设事件A为“三个骰子掷出的点数都不同”，事件B为“至少有一个骰子掷出3点”，则条件概率P(A|B)，P(B|A)分别是(　　)‎ A.， B.， C.， D.， 答案　A 解析　根据条件概率的含义，P(A|B)的含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少有一个骰子掷出3点”的情况下，“三个骰子掷出的点数都不同”的概率．因为“至少有一个骰子掷出3点”的情况共有6×6×6－5×5×5＝91(种)，“‎ 三个骰子掷出的点数都不相同且只有一个3点”的情况共有C×5×4＝60(种)，‎ 所以P(A|B)＝.‎ P(B|A)的含义为在A发生的情况下，B发生的概率，即在“三个骰子掷出的点数都不同”的情况下，“至少有一个骰子掷出3点”的概率，所以P(B|A)＝＝，故选A.‎ ‎6．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c)＝P(ξc)＝P(ξ