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- 2021-06-11 发布
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课后限时集训20
任意角、弧度制及任意角的三角函数
建议用时:45分钟
一、选择题
1.角-870°的终边所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C [由-870°=-1 080°+210°,知-870°角和210°角的终边相同,在第三象限.]
2.已知角α的始边与x轴的正半轴重合,顶点在坐标原点,角α终边上的一点P到原点的距离为,若α=,则点P的坐标为( )
A.(1,) B.(,1)
C.(,) D.(1,1)
D [设P(x,y),则sin α==sin ,∴y=1.
又cos α==cos ,∴x=1,∴P(1,1).]
3.已知角θ的终边经过点P(4,m),且sin θ=,则m等于( )
A.-3 B.3
C. D.±3
B [sin θ==,且m>0,解得m=3.]
4.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( )
A.2 B.4
C.6 D.8
C [设扇形的半径为R,则×4×R2=2,
∴R=1,弧度l=4,∴扇形的周长为l+2R=6.]
5.sin 2·cos 3·tan 4的值( )
A.小于0 B.大于0
C.等于0 D.不存在
A [∵sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,
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∴sin 2·cos 3·tan 4<0.]
二、填空题
6.若α=1 560°,角θ与α终边相同,且-360°<θ<360°,则θ=________.
120°或-240° [因为α=1 560°=4×360°+120°,
所以与α终边相同的角为360°×k+120°,k∈Z,
令k=-1或k=0可得θ=-240°或θ=120°.]
7.已知扇形的圆心角为,面积为,则扇形的弧长等于________.
[设扇形半径为r,弧长为l,
则
解得]
8.函数y=的定义域为________.
[利用三角函数线(如图),
由sin x≥,可知
2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z.]
三、解答题
9.若角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0).
(1)求sin θ+cos θ的值;
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号.
[解](1)因为角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0),
所以x=-4a,y=3a,r=5|a|,
当a>0时,r=5a,sin θ+cos θ=-.
当a<0时,r=-5a,sin θ+cos θ=.
(2)当a>0时,sin θ=∈,
cos θ=-∈,
则cos(sin θ)·sin(cos θ)=cos ·sin<0;
当a<0时,sin θ=-∈,
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cos θ=∈,
则cos(sin θ)·sin(cos θ)=cos·sin >0.
综上,当a>0时,cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负;当a<0时,cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正.
10.已知sin α<0,tan α>0.
(1)求角α的集合;
(2)求终边所在的象限;
(3)试判断tan sin cos 的符号.
[解](1)因为sin α<0且tan α>0,所以α是第三象限角,故角α的集合为.
(2)由(1)知2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,
故kπ+<<kπ+,k∈Z,
当k=2n(n∈Z)时,2nπ+<<2nπ+,n∈Z,即是第二象限角.
当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+<<2nπ+π,n∈Z,即是第四象限角,
综上,的终边在第二或第四象限.
(3)当是第二象限角时,
tan <0,sin >0,cos <0,
故tan sin cos >0,
当是第四象限角时,
tan <0,sin <0,cos >0,
故tan sin cos >0,
综上,tan sin cos 取正号.
1.点P的坐标为(2,0),射线OP顺时针旋转2 010°后与圆x2+y2=4相交于点Q,则点Q的坐标为( )
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A.(-,) B.(-,1)
C.(-1,) D.(1,-)
B [由题意可知Q(2cos(-2 010°),2sin(-2 010°)),
因为-2 010°=-360°×6+150°,
所以cos(-2 010°)=cos 150°=-,
sin(-2 010°)=sin 150°=.
∴Q(-,1),故选B.]
2.(2019·四川乐山、峨眉山二模)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦×矢+矢2),弧田由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径长为4的弧田(如图所示),按照上述公式计算出弧田的面积为________.
4+2 [由题意可得∠AOB=,OA=4.在Rt△AOD中,易得∠AOD=,∠DAO=,OD=OA=×4=2,可得矢=4-2=2.由AD=AOsin =4×=2,可得弦=2AD=4.所以弧田面积=(弦×矢+矢2)=×(4×2+22)=4+2.]
3.在直角坐标系xOy中,O是原点,A(,1),将点A绕O逆时针旋转90°到B点,则B点坐标为________.
(-,1) [如图所示,|OA|=|OB|=2,∵∠AOx=60°,
∴∠BOx=150°,由三角函数的定义可得
xB=2cos 150°=-,yB=2sin 150°=1,
∴B点坐标为(-,1).]
4.已知=-,且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α所在的象限;
(2)若角α的终边上一点M,且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sin α的值.
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[解](1)由=-,得sin α<0,
由lg(cos α)有意义,可知cos α>0,
所以α是第四象限角.
(2)因为|OM|=1,所以+m2=1,解得m=±.
又α为第四象限角,故m<0,
∴m=-,sin α===-.
1.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( )
A.若α,β是第一象限的角,则cos α>cos β
B.若α,β是第二象限的角,则tan α>tan β
C.若α,β是第三象限的角,则cos α>cos β
D.若α,β是第四象限的角,则tan α>tan β
D [如图,当α在第四象限时,作出α,β的正弦线M1P1,M2P2和正切线AT1,AT2,
观察知当sin α>sin β时,tan α>tan β.
]
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点,它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动,终边在运动.
(1)若点B的横坐标为-,求tan α的值;
(2)若△AOB为等边三角形,写出与角α终边相同的角β的集合;
(3)若α∈,请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.
[解](1)由题意可得B,
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根据三角函数的定义得tan α==-.
(2)若△AOB为等边三角形,则∠AOB=,
故与角α终边相同的角β的集合为
.
(3)若α∈,
则S扇形=αr2=α,
而S△AOB=×1×1×sin α=sin α,
故弓形AB的面积
S=S扇形-S△AOB=α-sin α,α∈.
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