2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第三章 第2节第1课时 导数与函数的单调性 8页

www.ks5u.com 多维层次练17‎ ‎[A级　基础巩固]‎ ‎1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(　　)‎ 解析：由函数f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上，f′(x)>0；在(0，＋∞)上，f′(x)<0，选项D满足．‎ 答案：D ‎2．(多选题)设函数f(x)＝x3－12x＋b，则下列结论错误的是(　　)‎ A．函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增 B．函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减 C．若b＝－6，则函数f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝10‎ D．若b＝0，则函数f(x)的图象与直线y＝10只有一个公共点 解析：易知f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，‎ 所以f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上递增，在(－2，2)上单调递减．‎ 因此A项，B项都不正确．‎ 易求f′(－2)＝0，当b＝－6时，f(x)在x＝－2处的切线为y＝10，C正确．‎ 作出函数f(x)＝x3－12x(b＝0)与y＝10的图象，有三个交点，D 不正确．‎ 答案：ABD ‎3．(2020·深圳中学调研)设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(1，2] B．[4，＋∞)‎ C．(－∞，2] D．(0，3]‎ 解析：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－.‎ 因为函数f(x)在区间[a－1，a＋1]上单调递减，所以f′(x)≤0在[a－1，a＋1]上恒成立，即00时，xf′(x)－f(x)<0，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)‎ A．a0时，xf′(x)－f(x)<0，‎ 所以g′(x)<0.‎ 所以g(x)在(0，＋∞)上是减函数．‎ 由f(x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(－3)＝g(3)，‎ 又a＝g(e)，b＝g(ln 2)，c＝g(－3)＝g(3)，‎ 所以g(3)0)．‎ 令y′>0，得1－ln x>0，所以00时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是________．‎ 解析：因为当x>0时，′＝<0，‎ 所以φ(x)＝在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，‎ 所以在(0，＋∞)上，当且仅当00，‎ 此时x2f(x)>0.‎ 又f(x)为奇函数，所以h(x)＝x2f(x)也为奇函数．‎ 故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2)．‎ 答案：(－∞，－2)∪(0，2)‎ ‎9．已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)．‎ ‎(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；‎ ‎(2)求f(x)的单调区间．‎ 解：(1)由已知得f′(x)＝2＋(x>0)，f′(1)＝2＋1＝3，所以切线斜率k＝3，‎ 又切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y－2＝3(x－1)，‎ 即3x－y－1＝0，‎ 故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为3x－y－1＝0.‎ ‎(2)由已知得f′(x)＝a＋＝(x>0)，‎ ‎①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，‎ 所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．‎ ‎②当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－.‎ 在区间上，f′(x)>0，在区间上，f′(x)<0，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎10．设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)证明：当x>1时，g(x)>0.‎ ‎(1)解：由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0)．‎ 当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．‎ 当a>0时，由f′(x)＝0有x＝，‎ 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；‎ 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．‎ ‎(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.‎ 当x>1时，s′(x)>0，所以s(x)>s(1)，即ex－1>x，‎ 从而g(x)＝－＝>0.‎ ‎[B级　能力提升]‎ ‎11．(2020·雅礼中学质检)已知函数f(x)＝sin 2x＋4cos x－ax在R上单调递减，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：f′(x)＝2cos 2x－4sin x－a＝2(1－2sin2x)－4sin x－a＝－4sin2x－4sin x＋2－a＝－(2sin x＋1)2＋3－a.‎ 由题设，f′(x)≤0在R上恒成立，‎ 因此a≥3－(2sin x＋1)2恒成立，则a≥3.‎ 答案：[3，＋∞)‎ ‎12．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2，则不等式f(ln x)＋f <2f(1)的解集为________．‎ 解析：f(x)＝xsin x＋cos x＋x2是偶函数，‎ 所以f ＝f(－ln x)＝f(ln x)．‎ 则原不等式可变形为f(ln x)0，得x>0时，f′(x)>0.‎ 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ 所以|ln x|<1⇔－12时，f′(x)>0，f(x)单调递增；‎ 当10时恒成立，‎ 所以a≤(x2－2x)＝(x－1)2－恒成立．‎ 令φ(x)＝(x－1)2－，x∈(0，＋∞)，则其最小值为－.‎ 所以当a≤－时，g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立．‎ 又当a＝－时，g′(x)＝，‎ 当且仅当x＝1时，g′(x)＝0.‎ 故当a∈时，g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递增．‎ ‎[C级　素养升华]‎ ‎14．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．则m＝________，f(x)的单调递减区间为________．‎ 解析：由f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①‎ 又g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n为偶函数，‎ 所以2m＋6＝0，即m＝－3.②‎ 代入①式，得n＝0，‎ 所以f(x)＝x3－3x2－2，则f′(x)＝3x2－6x，‎ 令f′(x)<0，得0