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- 2021-06-11 发布
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第二次仿真模拟试卷
数 学(理工类)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合,Z为整数集,则中元素的个数是( )
A、3 B、4 C、5 D、6
2、=( )
A.﹣3﹣i B.3+i C.3﹣i D.﹣3+i
3.下列四个几何体中,三视图都是相同图形的是( )
A.长方体 B.圆柱 C.球 D.三棱柱
4.已知tanα=,则tan2α=( )
A.- B. C.- D.
A.-80 B.80 C.40 D.-40
6、若直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
7、函数的部分图象可能是( )
A. B.
C. D.
8、已知随机变量,若,则实数 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
9、设, 则( )
A. B. C. D.
10. 已知函数()的最小正周期为,则下列说法正确的是( )
A. B.函数在上单调递增
C.函数的图象关于直线对称 D.函数的图象关于点对称
11. 已知是球的球面上两点,且球的半径为,,为该球面上的动点.当三棱锥的体积取得最大值时,则过三点的截面的面积为( )
A. B. C. D.
12. 已知函数,若成立,则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13、已知向量且则的值为__________.
14、已知数列{an}的前n项和Sn满足2an=2+Sn.求an= 。
15、函数的零点的个数是__________.
16、设双曲线:()的左、右焦点分别为,以为圆心作一圆,使该圆过线段的中点,若该圆与双曲线的两渐近线有公共点,则双曲线的离心率的取值范围是 ____________.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
17.(本小题满分12分)在锐角中, 分别为角所对的边,且.
(1)确定角的大小;
(2)若,且的面积为,求的值.
19.(本小题满分12分)
如图,在三棱锥中, ,,
为的中点.
(1)证明: 平面;
(2)若点在棱上,且,求点到平面的距离.
20.(本小题满分12分)椭圆长轴右端点为A,上顶点为M,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且,离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线交椭圆于两点,判断是否存在直线,使点F恰为的垂心?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若恒成立,求的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为(为参数),以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)将曲线的参数方程化为极坐标方程;
(2)已知直线的极坐标方程为(),若曲线上至少有3个点到直线的距离为1,求的取值范围.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)关于的不等式的解集不是空集,求实数的取值范围.
第二次仿真模拟试卷
数 学(理工类)答案
一、 选择题
1-5 CBCBA 6-10 DACAD 11-12 AC
二、填空题
13、-10 14、 15、1 16、
三、解答题
17.答案:1.由及正弦定理得,
,
∵是锐角三角形,
2. ∵,
由面积公式得即,①
由余弦定理得即,②
由②变形得,
故;
18、
.(1)由,
解得
令得分中位数为,由解得
故综合评分的中位数为
(2)由(1)与频率分布直,优质花苗的频率为,即概率为,
设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为X,则,于是,
;
;
其分布列为:
X
0
1
2
3
P
所以,所抽取的花苗为优质花苗的数学期望
(3)结合(1)与频率分布直方图,优质花苗的频率为,则样本种,优质花苗的颗数为60棵,列联表如下表所示:
优质花苗
非优质花苗
合计
甲培育法
20
30
50
乙培育法
40
10
50
合计
60
40
100
可得
所以,有的把握认为优质花苗与培育方法有关系.
19、
(1)证明:连接,
由于,为的中点,则。
由勾股定理得:,
而,,
所以。
在中,为中点,,
所以,
由勾股定理得。
由于,,则,
故是直角三角形,且。
由于,则平面。
(2)连接,过作于点,
因为平面
所以,
又,
所以平面。
由于,,
则。
在中,由于,,
则是等腰直角三角形,且。
则,
则。
在中,由勾股定理有:
。
由于,则。
而
。
设点到平面的距离为。
则。
故。
即点到平面的距离为。
20.设椭圆的方程为,半焦距为c.
则
由,即,又
解得,
椭圆的方程为
2.为的垂心,
又
,
设直线
将直线方程代入,得
且
又
,即
由韦达定理得
解之得:或(舍去)
存在直线使F为的垂心.
21.答案:1. 时,函数,可得,
所以时, .
曲线则处的切线方程;
,即.
2.由条件可得,
则当时, 恒成立,
令,则,
令,
则当时, ,
所以在上为减函数.
又,所以在上, ;
在上, .
所以在上为增函数;
在上为减函数.
所以,所以.
21、
(1)当时,,定义域为x>0;
因为,
所以令f'(x)=0,得.
当f'(x)>0时,为增区间;
当f'(x)<0时,为减区间。
(2)由题可知的定义域为,
因为恒成立,
所以恒成立。
令,则(),
令(),
则,
所以当时,,单调递减,
令,得,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以。
因为恒成立,
所以,即。
23、1.∵,∴,
当时,不等式可化为,解得,所以;
当,不等式可化为,解得,无解;
当时,不等式可化为,解得,所以
综上所述, .
2.因为,
且的解集不是空集,
所以,即的取值范围是.